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1、2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学高三理科数学期中考试卷命题人：张培光第I卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ）A（1，3） B（1，4） C（2，3） D（2，4）2已知命题：:在中，“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件;:.则下列命题为真命题的是（ ）A B C D3已知平面向量，满足|=1，|=2，且，则与的夹角为（ ）A B C D4已知函数，则下列结论中正确的是( )A关于点中心对称 B关于直线轴对称C向左平移后得到奇函数 D向右平移后得到偶函数5已知函数是函数的
2、导函数，则的图象大致是( )(A)(B) (C) (D) 6某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是( )A16小时 B20小时 C24小时 D28小时7如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为 ( )A8 B9 C14 D88若是定义在上的奇函数，满足，当时，则的值等于（ ）A B C D9记maxx，y，minx，y，设a，b为平面向量，则( )Amin|a
3、b|，|ab|min|a|，|b| Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|210已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）A B C D 11定义在上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 12函数f(x)在a，b上有定义，若对任意x1，x2a，b，有f()f(x1)f(x2)，则称f(x)在a，b上具有性质P.设f(x)在1,3上具有性质P，现给出如下命题：f(x)在1,3上的图象是连续不断的；f(x2)在1， 上具
4、有性质P；若f(x)在x2处取得最大值1，则f(x)1，x1,3；对任意x1，x2，x3，x41,3，有f()f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)其中真命题的序号是 ( )A B C D第II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13由抛物线yx21，直线x0，x2及x轴围成的图形面积为 14曲线C：f(x)sin xex2在x0处的切线方程为 15若函数在区间内是减函数，则的取值范围是 16已知函数恰有两个不同的零点，则实数的取值
5、范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17(本小题满分12分）在ABC中， 、分别为角A、B、C的对边，若，且.(1)求角A的大小；(2)当，且ABC的面积时，求边的值和ABC的面积18(本小题满分12分）在四棱锥中，平面平面，为等边三角形,点是的中点（I）求证:平面；（II）求二面角的余弦值；19(本小题满分12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变
6、量，求的概率分布列及数学期望E()20(本小题满分12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段AB的垂直平分线通过点（）求椭圆的标准方程；（）求（为坐标原点）面积的最大值21（本题满分12分）已知函数(I) 求函数在上的最大值；(II)如果函数的图像与轴交于两点、，且.是的导函数，若正常数满足.求证：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上.（1）若，求的值；（2）若,证明: 23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在
7、平面直角坐标系中，取原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为： (为参数）(I )求曲线的直角坐标方程，直线的普通方程；(II)先将曲线上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，为曲线上一动点，求点到直线距离的最小值，并求出相应的点的坐标24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学高三理科数学期中考试答案一、选择题：题号123456789101112答案CDBDACACDBDB二、填空题：13.
8、 2 ； 14. 2xy30 ； 15. ； 16. 第10题解答：由新定义知，maxx，y是x与y中的较大值，minx，y是x，y中的较小值，据此可知A、B是比较|ab|与|ab|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与a，b有关，故A、B错；当a，b为锐角时，|ab|ab|，此时|ab|2|a|2|b|2.当a，b为钝角时，|ab|ab|，此时|ab|2|a|2|b|2|ab|2.当a，b90时，|ab|ab|，此时|ab|2|a|2|b|2.第12题解答：令f(x)，可知x1，x21,3都有f()f(x1)f(x2)但函数f(x)在1,3上的图象不连续，故不
9、正确排除A、C；取函数f(x)x,1x3，则函数满足题设条件具有性质P，但f(x2)x2,1x就不具有性质P，故为假命题，排除D.应选B.三、解答题：17解:(1)由于mn，所以mn = 2sin2+cos 2A+1=2sin2+2cos2A= 2cos2+2cos2A =2cos2Acos A1 = (2cos A+1)(cos A1) = 0. .4分所以cos A= -或1(舍去), .6分(2)由S=及余弦定理得 tan C=,C=B. .8分又由正弦定理=得，.10分所以ABC的面积S=acsin B= .12分18（）证明:取中点,连结.因为 为中点 ,所以 .因为.所以且.所以四
10、边形为平行四边形,所以 .因为 ,平面,所以平面. .5分（） 取中点,连结因为 ,所以.因为 平面平面,平面平面,平面,所以.6分取中点,连结,则以为原点,如图建立空间直角坐标系, .7分设则 .9分平面的法向量,设平面的法向量,由得令，则.10分 .11分 由图可知，二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. .12分19 解答(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.4分(2)由题意，的所有可能取值为0,1,2,35分P(0)C3， P(1)C2，P(2)C2， P(3)C3. 9分所以，随机变量的概率分布列为0123P10分故随机变量的数学期望：E()01
11、23.12分20解：（）由已知可得解得， 2分故椭圆的标准方程为 3分（）设，联立方程消去得 4分当，即时， 5分， 6分所以，当时，线段的垂直平分线显然过点 因为,所以，当时，取到等号. 8分当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得 由得 9分又原点到直线的距离为所以 10分而且， 则 所以当，即时，取得最大值 11分综上，最大值为 12分21解：() 的定义域为由得到：，令得（舍去）当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，是极大值，也是最大值.所以最大值为4分()，又有两个不等的实根，则，两式相减得到: 6分于是，8分要证：，只需证：只需证： 9分令，只需证：在上恒成立，又 10分，则，于是由可知，故知在*上为增函数，则，从而知，即成立，从而原不等式成立.12分22解：（1）:因为 四点共圆；,又,又.5分证明：（2）,又,又因为 四点共圆；.10分23.解：() , 由,得, 曲线的直角方程为.2分由,消去解得：直线的普通方程为.4分()由已知得曲线的方程为 ，6分设点()， 点到直线的距离为 =，8分由三角函数的性质知，当=时，取得最小值，此时, 所以点坐标为.10分24. 解： （1）由得 ， ，解得 所以原不等式的解集为. .4分 （2）因为对任意，都有，使得 成立所以 ，有,所以从而 或. 所以 实数的取值范围.10分
