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1、参考答案第一章 梅涅劳斯定理及应有习题A1延长，交于，与截线，有，有，即对及截线，求得2设，的延长线交于，又，对与截线，有，即；，即由此求得3对于截线，有，知对与截线，有，知而，故在中，由中线长公式，得，即又，即，4直线分别与和的三边延长线都相交，有，即由，有，从而，即，有，故5直线截，有，即，故直线截，有，所以6设，则，。，由求得直线截，有，即，直线截，有，可得，又，即，而，故7直线截，有，即，亦即直线截，有，即，亦即又，故而，故8显然，若时，有设，三直线共点于，设，相交于由直线截，直线截，直线截，有，三式相乘，得对应用梅涅劳斯定理只逆，知，共线，由此知，共点于9由，公用，知，有同理，故由梅
2、涅劳斯定理之逆，知，三点共线10设，分别是的，的内角平分线和的外角平分线与边，或延长线的交点，则由内分和外分性质有由梅涅劳斯定理之逆，知，共线11设与，分别交于，由切线长定理知，由题设，有，从而对又由梅涅劳斯定理之逆，知，共线，即，共点12设与交于，与交于，且，即在中，由梅涅劳斯定理之逆，知，共线，即，三线共点13延长交于，只需证对及支线，应用梅涅劳斯定理，有又由，有，而，故，即，也就是（*）由平分，有，由此式及*式，知，故14由梅涅劳斯定理，有，由，得，此两式相乘，并注意由，有，即有，亦即，亦即，故15直线截，应用梅涅劳斯定理，有由切线长相等，有，于是，由梅涅劳斯定理之逆，知，三点共线16由
3、，应用梅内劳斯定理之逆，知，三点共线17设交于点，设，不妨设，由平分，有，即，即由切线长定理有，注意到，则，由梅涅劳斯定理之逆，知，三点共线18设与相交时，交点为对及截线应用梅涅劳斯定理，有令，有，则，由梅涅劳斯定之逆，知，三点共线，即，三四按共点若，则假设与相交，由上面证明，知与相交于同一点，矛盾，故19设与相交于，交于，交于直线截，应用梅内劳斯定理，有，从而同理，于是与重合，即过，的交点和位置时对称的（相对于和而言），因而亦过，的交点，即，四线共点习题B1设，分别与交于，分别对于截线，对于截线，由梅涅劳斯定理，有，又，故，由合比定理得，从而，与重合，即，共点2设于，于，于，交于，交于，下面
4、证明，从而是的垂心对于截线，由梅涅劳斯定理，得，但，故又，所以，从而，即，也即，与重合，因此由线段任一点所得到的的垂心都在线段上反之，由不在线段上的任一点所得到的的垂心都不在上故点的轨迹为线段为3由题设，对及截线应用梅涅劳斯定理，有，因此，于是同理，可得，因而由题意得，即，注意，求得4取中点，连交于对及截线应用梅涅劳斯定理，有，而，所以，即（*）同理对及截线，有及，得，即注意，有，由此式及（*）式有，又，故，因此5由，知由知，而，则又公用，知，有对及截线，对及截线分别应用梅涅劳斯定理，有，此两式相乘，即，亦即（注点为直线上除点以外任意一点结论都成立；和为的外角平分线时，结论仍成立）6（）设交于
5、点，交于点，对与直线应用梅涅劳斯定理，有又由于，为切点，故对与直线，应用梅涅劳斯定理，得从而，因此，重合，故，三线共点再证，三线共点设交于，交于，对与直线应用梅涅劳斯定理，有又由于，为切点，故，对与直线应用梅涅劳斯定理，得因此，故，重合，即，共点，即证（）将（）中，分别重新标作，使用（）的证明即可（）将（），分别重新标作，重新使用（）的证明即可7由已知条件知，四点共圆，有在中，由，有由，得 延长交直线于，交直线于，由，四点共圆，有， 有，则，故在及截线和及截线中分别应用梅涅劳斯定理，有，又由式，有，故同理，从而同理，注：若时，由，有又，有，由此得同理，故8设，对及直线应用梅涅劳斯定理，有，即对
6、及直线应用梅涅劳斯定理，有，即而，由题设，得，从而又本题即在条件下求的最大值利用均值不等式于式，有，由此得，则，因此当且仅当时，等号成立当时，取得最大值，最大值是9由直线截，有，求得直线截，有，有，求得10（）设是，的中垂线交点即可；（）由4条平分线性质有假设与交于，由直线解，有，即对应用梅涅劳斯之逆，知，共线，得与交于，这显然不可能故，由此有，即同理，即点轨迹是，中垂线的交点11设直线交于，直线交于，直线交于由直线截，直线截，有，有令，则，故12对=1，2，3，记为的圆心，为的外心，显然在的内角平分线上可证也在的内角平分线上由直线截，直线截，直线截，有，三式相乘，有对应用梅内劳斯定理之逆，知
7、，共线由于是的中垂线，而是的中垂线，因此，恰好分别为，的外心第二章 塞瓦定理及应用习题A1对及点，由塞瓦定理可得，又对与截线，由梅涅劳斯定理得，故，由此可知又，所以2在中由题设及塞瓦定理有又有，故由塞瓦定理之逆知，三线共点3由割线定理有，即同理，三式相乘并适当交换位置，有由塞瓦定理知，再由塞瓦定理之逆知，三线共点4设的边，周长为，过顶点，且平分周长的直线分别交，于点，则由，求得，同理，故有由塞瓦定理之逆，知，共点5令，由角平分线性质有，由正弦定理，有，于是由塞瓦定理之逆，值，三线共点6令，由平分线性质有，设的外接圆半径为，由正弦定理有，子啊中，由余弦定理及公式，求得由，知，故同理，于是，由塞瓦
8、定理之逆，知，三线共点7由正弦定理，有，两式相除并注意，有，则，即同理，三式相乘，得由于，共点于，则上式右边等于1，从而左边亦等于1由塞瓦定理之逆，知，共点8设，分别与，垂直于，且，共点于，分别与，垂直于，又锐角与的两边分别垂直，故，同理，从而类似地有，三式相乘并适当整理，有由重，共点及角元形式的塞瓦定理，知上式右边等于1，从而左边也等于1，也等于1由塞瓦定理之逆，知，三线共点9设，则，由，求得10设，则，由，求得11设，则，由，及，求得12连，设，则对及点，有，求得此时过作交于，则梯形为等腰梯形，有又，则，故13设，则，由，求的14设，则，由，求得15设，则，由及，求得15设，由及，求得分别
9、在，中由正弦定理，有，故17连，设，则，对及点有，求得连，设，则对及点有，求得此时，故，共线18设，则对及点有求得，即有连，设，则对及点有，求得，即有又，故19连，由及为内心，知又由，知设，则，对及点有，求得故为所求20设过，分别与，平行的直线交成，则，分别为，的中点又设过，与，平行的直线，分别与，交于，则有；而由，知，有从而，即，三点共线故有（因，）=同理，于是由塞瓦定理知，共点共点21因，有，即，又，则于是即由塞瓦定理，即得结论22令，则，由，得同理，在中，有由塞瓦定理之逆，知，共点，故，共点23设，在中，交于一点，由角元形式的塞瓦定理，有，即令，同理，有，注意到，交于一点，由角元形式的塞
10、瓦定理，有，由此即证24令，共线而，则，又由条件易知，由此即证注：此题也可以应用梅涅劳斯定理证分别延长和，和，和得交点，（交点可无穷远处）由，有同理，直线截，由梅涅劳斯定理，有同理，三式相乘并注意，得由梅涅劳斯定理之逆，知，共线又点，分别是和对应所在直线的交点，利用笛沙格逆定理可得和对应顶点的连线，共点25设与相交于，对应用塞瓦定理，有又由梅涅劳斯定理，点，共线的充要条件是从而转证即可因，这表明，即时的平分线，且，是的外角平分线，由此即证得结论26设，交边，于，由，三式相乘即证习题B1设直线，交，于，过作的切线交，于，由，知，则，即连，设的半径为则，；，分别四点共圆由，则，而，则，即同理，则由
11、塞瓦定理之逆，有，三线共点即，三线共点2设交圆于，连，由，有，而，则，即同理，于是对圆内接四边形和分别应用托勒密定理，有，所以，由此得，即由塞瓦定理的推论，知，三线共点同理，三线共点因与交点唯一，故，四线共点3设的内心为，则是的垂心令，（）由，有，即，有同理，故同理，三式相加即证（）令，则，对应用塞瓦定理，有，即，从而，（*）又由平均值不等式，有即，亦即，等号当且仅当为正三角形时成立注：其中（*）是三角形与其内接三角形的关系公式4延长交于，由塞瓦定理有由，知又，过作交直线于，作交直线于，有，于是得有，有，得5连交直线于令，由，有同理，又对及点应用塞瓦定理，有，得，即由此可得，即证6连，设，则，
12、对及点应用角元形式的塞瓦定理，有，求得，故为所求7由，及，注意应用塞瓦定理，从而8设直线与交于过作的垂线交于设圆的圆心为，由，有由有，即注意，有由塞瓦定理之逆，知，共点，直线重合于，点与重合又，共圆，且直径为，又，知也在此圆上故9设直线交于，直线交于，交于，由塞瓦定理的逆定理，只要证明设中心为的正方形边长为，顶点，分别在边和上，顶点，在上，且在，之间因过正方形的中心，若截边两段为，则它截边两段为，则同理，故有10作高，连，则，交于一点，即的垂心对应用塞瓦定理，有由，有由，有，即由，有对，考察点，有，由梅涅劳斯定理之逆即证11设关于边，的对称点分别为，则，均在外接圆上下证，满足要求设直线，与，的
13、交点为，由于，有（为半径）同理，由，有又，则，有同理，对及点应用塞瓦定理，有，即再由塞瓦定理之逆，知，共点，满足要求12连交于，连交于，连，由，知，四点共圆，有又，则，即且，有同理，在中，由塞瓦定理之逆，知，三线共点13显然，有，且，由正弦定理，有同理，又由于，故应用角元形式的塞瓦定理，知，三线共点14设与交于点，与交于点由，有又由，有，则，注意，有于是由塞瓦定理之逆即证15设非等边各定点处的外接圆切线，组成，直线与交于，与交于，与交于，连，因，分别在三边所在直线，上，从而由塞瓦定理的逆定理，知，共点再运用戴沙格定理，知，三点共线16必要性：设，又设，分别为，与各边的交点因，共点，则由塞瓦定理
14、，得即注意，故，即充分性：若，因上述证明各步均可逆，由塞瓦定理之逆，知，三线共点17设，由塞瓦定理及正弦定理，有，共点，三直线共点，且与点位置无关18设是的重心，分别为，的中点，则区域被划分为六个区域：，不妨设点落在区域此时，易知由塞瓦定理，有，分别过，在，内作，的平行线，则两平行线的交点必落在区域从而，有，结论成立19设交于对和点应用塞瓦定理，有对及截线应用梅涅劳斯定理，有，故有过作的平行线交于，交与，则于是，即又，则平分，即平分同理，当与相交时，平分；而当时，过作的平行线交于，则，即，为平行四边形，亦即为中点因此，平分20显然有，不妨设，则，为直角或锐角作于，易知，四点共圆，四点共圆则，故由平分，有，得，即而，则由塞瓦定理之逆，知，三线共点，即，故
