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1、反 正 弦 函 数教材:上海教育出版社高中一年级第二学期(试验本)第六章第四节教学目标1.理解学习反正弦函数的必要性;理解反正弦函数是函数的反函数而不是正弦函数的反函数;理解反正弦函数的概念,掌握符号的含义,并会用以表示角;2.知道反正弦函数的图像,并能形数结合掌握反正弦函数的性质;3.会用数学思想分析和思考问题。教学重点在教师的引导下,让学生发现为什么要学习反正弦函数、怎样学习反正弦函数。真正理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质。教学难点反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题。教学过程一、 回顾复习我们今天学习反正弦函数。三角学起源于测量,天文测量、航海测量都是利用三角形之
2、间的边角关系来测量的。即利用比值与角之间的关系测量得到距离、高度和角度。而在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两类相反的问题。一类是已知角值求比值,这是我们学习过的,例如,正弦函数它就是一个角值函数,任意角都有唯一确定的正弦值与之对应,即已知某一个角值都可以通过正弦函数,将其正弦值表示出。例如:,其正弦值可以表示为;,其正弦值表示为。而另一类相反的问题是已知比值求角值,例如:已知角的正弦值为,那么角如何表示呢?(可以表示为;)如果已知角的正弦值是,那么角又如何表示呢?这就产生了怎样用正弦值表示相应角的问题?我们说正弦函数研究的是角值如何确定正弦值,角值是自变量,正弦值是因变量,而现今要解决的是
3、正弦值如何确定相应的角值?所以,我们要反过来,由正弦函数的因变量去确定自变量。即需要我们考虑正弦函数的反函数。二、 引入课题我们学习过反函数,知道反函数的概念,也明确不是任何一个函数都存在反函数。函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。那么正弦函数是否存在反函数呢?(学生作答:答案是否定的。学生说出理由:因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应。正弦函数的自变量与因变量是多对一的。故而不存在反函数。)正弦函数不存在反函数,那么怎样利用正弦函数,由正弦值确定相应的角值呢?通过一个例子来说明问题。关于的式子,可以表示的角有无数多个,为,那么这个结果从何而来?首先你能写出的满足条件的是
4、哪个?,因为,由 ,还可以写出哪些满足条件的,是,为什么?(因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等)还有其他满足条件的吗?(有!,因为根据诱导公式,所以。)通过这个例子,我们说用正弦值表示相应角值时,只要能表示出一个相应的角值就可以了。根据三角比的定义和诱导公式可以用它将其余的角值表示出。所以正弦函数不存在反函数。但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量,正弦值可以表示相应的角值,并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了。那么选取怎样的区间,使得存在反函数呢?依据两个原则:(1)所取区间在该区间上存在反函数;(2)能取到的一切函数值。依据这两个原
5、则选择怎样的区间呢?学生回答、讨论,不断补充完善。(先选择,因为它包含了所有的正锐角和零角,但不符合原则(2),补上,因为取到的一切函数值,并且与是连接在一起的,且关于原点对称,应用方便)所以,选取闭区间,使得在该区间上存在反函数,而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。三、 认识符号1引进符号由于反正弦函数并不是正弦函数的反函数,而是函数,的反函数。用一个记号来表示,引进记号:。选择表示反正弦函数是有道理的。中sin是正弦,arc是什么意思呢?arc并不是“反”的意思,它是英文单词,解释为“圆弧”,圆弧即圆周上的一段,那么圆弧与圆心角有什么关系呢?,在单位圆中,即,所以此时弧即角,角即弧。我
6、们可以将arc理解作角,所以从字面上理解就是正弦值为所对应的角,因此用记反正弦函数是有道理的。 表示正弦值为所对应的角,等号是“是”的意思,所以, 即:正弦值为所对应的角是,是正弦值为所对应的角。因为反正弦函数是函数,的反函数。所以,自变量的取值范围就是原来函数的值域,因变量的取值范围就是原来函数的定义域,因为是,故而,且。2反正弦函数的值我们来看具体的例子:(1)反正弦函数值表示范围内的一个角,并且,这个角就是,即=。(2)反正弦函数值表示范围内的一个角,并且,要想知道这个角可以通过查表或计算器得到结果。而且可以解决前面上课时提出的问题:已知,如何表示?现在我们知道了,可以表示为。(3)式子
7、表示什么?等于多少呢?我说它等于1,对吗?因为中,所以无意义!对于反正弦函数值有如下需要我们注意的: 1) 当时,有意义;2) 表示的角值;3) 。3反正弦函数习惯上,表示自变量,表示因变量,将反正弦函数记作:,四、反正弦函数的性质1、 定义域;2、 值域:3、 奇偶性:奇函数(用定义证明,证明过程略)4、 单调性:增函数5、 最值:,五、反正弦函数的图象可以根据反正弦函数的性质描点得到图像,也可以利用原来函数图像与反函数图像关于直线对称翻折而得到。由学生自己画出图像,从反正弦函数的图像中,形数结合,再让学生直观了解反正弦函数的性质。六、提出问题(结束整节课)今天主要解决的问题是如何用正弦值表
8、示相应的角值以及反正弦函数的概念。现在我们能用任一正弦值表示这个范围内的角值,那么对于其它范围,其它区间上的角值如何去表示呢?例如:中的如何表示呢?大家思考一下,我们将在下节课中共同研究这个问题。教学设计说明1、教材分析我们使用的是上海市二期课改的教材。本教材的特点是:新颖、知识面广、图文并茂、引人入胜。而本章节教材,内容翔实,主次分明。在这个章节上,教材写的言简意赅,给了教师很大的发展空间。针对不同的学生有了更多的不一样的适合学生的设计!反正弦函数是紧接着学习了三角函数之后的内容。反正弦函数作为基本初等函数之一,对后继课程的学习有着重要的作用!特别是在反三角函数中,反正弦函数有着模本的作用。
9、而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点。本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系,通过对这一节课的学习,既可以让学生掌握反正弦函数的概念,又可使学生加深对反函数概念的理解,而且为学习其它反三角函数奠定了基础,起到承上启下的重要作用。2、教学目标的设计遵循二期课改的“以学生发展文本”的理念,根据本校(上海市示范性高中)学生的特点:个性活泼,思维活跃,学习数学的积极性高,初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力,以及学生的现有数学知识的准备:已掌握三角函数的概念及性质,反函数等,我设计了恰当的教学目标,使学生“学会学习、学会思考”,加强对数学概念的学习和理解。3、教学过程的设计知识是方
10、法的载体,我们不仅要学习数学知识,还需要通过学习发现问题,进而解决问题,本节课直入主题,以问题驱动,引导学生积极思考,共同解决问题,从正弦函数有无反函数到在怎样的区间上有反函数,从对记号的引入到反正弦函数,从反正弦函数的性质到反正弦函数的图像,问题步步深入,在此过程中使学生形成质疑精神,并共同参与其过程,整个教学过程遵循学生的思维过程,引导学生自己发现问题、解决问题,反正弦函数的概念通过多角度的思考,使得学生真正理解和掌握。4、本节课的特点强调过程教学,启发思维,调动学生学习数学的积极性。让学生真正参与其中;对整个“反正弦函数”概念的来龙去脉包括对反正弦函数记号、含义的理解都与学生一起经历,使学生不仅知其然,而且还知其所以然。本节课的密度强,但是是适合我校学生数学学习特点的。