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1、一元二次方程知识点总结知识结构梳理 （1）含有 个未知数。（2）未知数的最高次数是 1、概念（3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。（1） 法，适用于能化为 的一元二次方程一元二次方程（2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法 （4） 法，其中求根公式是 根的判别式 当 时，方程有两个不相等的实数根。 （5） 当 时，方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根。 可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用（2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6） 知识点归类知识点一 一元二次方程的定义如果
2、一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程 ；（3）；（4）；（5）知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先
3、化为一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。例1 已知关于的方程是一元二次方程时，则 知识点三 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知识点四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例 如图（1），有一个面积为150的长方形鸡场 ，鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽
4、各为多少 鸡场 因式分解法、直接开平方法知识点一 因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2） 将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3） 令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程：（1）； （2）； （3）。知识点二 直接开平方法解一元二次方程若
5、，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。例 用直接开平方法解下列一元二次方程（1）； （2）； （3）（因式分解）知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。（1）； （2）知识点四 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。如：，将原方程变形为，由此可得出注意
6、：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。知识点五 形如“”的方程的解法。对于形如“”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则，即。注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“”型方程的特征。例 解下列方程：（1）； （2）配方法知识点一 配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上
7、一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2） 把原方程变为的形式。（3） 若，用直接开平方法求出的值，若n0，原方程无解。例 解下列方程：知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； (2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式
8、；（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）公式法知识点一 一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。例 用公式法解下列方程（1）； （2）； （3）知识点二 选择适合的方法解一元二次方程 直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵
9、循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。例 用适当的方法解下列一元二次方程：（1）； （2）； （3）知识点三 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 =运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） =0方程有两个不相等的实数根；（2） =0方程有两个相等的实数根；（3） =0方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定的值；计算的值；根据的符号判定方程根的情况。例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情
10、况：（1）；（2）；（3）知识点四 根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根0（2）方程有两个相等的实数根=0（3）方程没有实数根0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。例 为何值时，方程的根满足下列情况：（1） 有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；知识点五 一元二次方程的根与系数的关系若是一元二次方程的两个根，则有， 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1） （2）（3）；（4）=例 已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。（1） ； （2）。知识点六 根据代数式的关系
11、列一元二次方程 利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。例 当取什么值时，代数式与代数式的值相等一元二次方程的应用知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。例 某农
12、场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程为 知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价进货价）进货价100%；（3）销售额=售价销售量例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价元，其销量减少10件。（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多并求出最大利润。易错知识辨析
13、：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.一元二次方程测试题一、选择题1、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（ ） A、1 B、2 C、1或2 D、02、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）A B CD3、已知是关于的一元二次方程的两实数
14、根，则式子的值是（ ）ABCD4、 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)0的根的情况是（ ）A没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根5、已知是方程的两根，且，则的值等于 （ ）A5 6、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A B C D7、的估计正确的是 （ ）ABCD8、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）A1 B12 C13 D259、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题
15、意，列出方程为( )A、 B、 C、 D、10、若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ( )A1 B C1 D或11、设是方程的两个实数根，则的值为（ ）A2006B2007C2008D2009 12、对于一元二次方程ax2+bx+c=O(a0)，下列说法： 若a+c=0，方程ax2+bx+c=O必有实数根； 若b2+4ac0，则方程ax2+bx+c=O一定有实数根； 若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根；若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根 其中正确的是( ) A B C D二、填空题1、若一元二次方程(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= 2、设 是一元二次方程+4x3=0的两个根，则= 3、方程（x1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 4、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值为_5、在等腰ABC中，三边分别为、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，则ABC的周长为_6、已知关于的一元二次方程（为常数） 设为方程的两个实数根，且，则K的值为_ 7、已知m、n是方程的两根，则与的积是 .
