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1、豆丁网 迟来的豆客 精心整理制作人教版高中数学必修4知识点+新课程高中数学测试题组（必修4）含答案人教版高中数学必修4知识点2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度6、半径为的圆
2、的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是7、弧度制与角度制的换算公式：，8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正Pvx y A O M T 11、三角函数线：，12、同角三角函数的基本关系：；13、三角函数的诱导公式：，口诀：函数名称不变，符号看象限，口诀：正弦与余弦互换，符号看象限总结：奇变偶不变，符号看象限.14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横
3、坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象函数的性质：振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期
4、性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为的向量单位向量：长度等于个单位的向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：运算性质：交换律：；结合律：； 坐标运算：设，则18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐
5、标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则19、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，其中，则当且仅当时，向量、共线21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当时，点的坐标是23、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当与
6、同向时，；当与反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或设，则设、都是非零向量，是与的夹角，则24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：；（）；（）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(，）26、辅助角公式，其中新课程高中数学测试题组（必修4）含答案特别说明： 新课程高中数学训练题组是由李传牛老师根据最新课程标准，参考独家内部资料，结合自己颇具特色的教学实践和卓有成效的综合辅导经验精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料!本套资料所诉求的数学理念是：（1）解题活动是高中数学教与学的核心环节，（2）精选的优秀试题兼有巩固所学知识和检测知识点缺漏的
7、两项重大功能。本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修4系列的章节编写，每章分三个等级：基础训练A组， 综合训练B组， 提高训练C组建议分别适用于同步练习，单元自我检查和高考综合复习。 本套资料配有详细的参考答案，特别值得一提的是：单项选择题和填空题配有详细的解题过程，解答题则按照高考答题的要求给出完整而优美的解题过程。 本套资料对于基础较好的同学是一套非常好的自我测试题组：可以在90分钟内做完一组题，然后比照答案，对完答案后，发现本可以做对而做错的题目，要思考是什么原因：是公式定理记错？计算错误？还是方法上的错误？对于个别不会做的题目，要引起重视，这是一个强烈的信号：你在这道题所涉及的知识点
8、上有欠缺，或是这类题你没有掌握特定的方法。本套资料对于基础不是很好的同学是一个好帮手，结合详细的参考答案，把一道题的解题过程的每一步的理由捉摸清楚，常思考这道题是考什么方面的知识点，可能要用到什么数学方法，或者可能涉及什么数学思想，这样举一反三，慢慢就具备一定的数学思维方法了。本套资料酌收复印工本费。李传牛老师保留本作品的著作权，未经许可不得翻印！联络方式：（移动电话）13976611338，69626930 李老师。 （电子邮件）lcn111目录：数学4（必修）数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）基础训练A组数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）综合训练B组 数学4（必修）第一章：三角
9、函数（上、下）提高训练C组数学4（必修）第二章：平面向量 基础训练A组数学4（必修）第二章：平面向量 综合训练B组数学4（必修）第二章：平面向量 提高训练C组数学4（必修）第三章：三角恒等变换 基础训练A组数学4（必修）第三章：三角恒等变换 综合训练B组数学4（必修）第三章：三角恒等变换 提高训练C组 子曰：学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？新课程高中数学训练题组根据最新课程标准，参考独家内部资料，精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料!辅导咨询电话：13976611338，李老师。（数学4必修）第一章 三角函数（上）基
10、础训练A组一、选择题1设角属于第二象限，且，则角属于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2给出下列各函数值：；.其中符号为负的有（ ）A B C D3等于（ ）A B C D4已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（ ）A. B. C. D.5若是第四象限的角，则是（ ）A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角6的值（ ）A.小于 B.大于 C.等于 D.不存在二、填空题1设分别是第二、三、四象限角，则点分别在第_、_、_象限2设和分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：； ；，其中正确的是_。3若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是_。4设
11、扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 。5与终边相同的最小正角是_。三、解答题1已知是关于的方程的两个实根，且，求的值2已知，求的值。3化简：4已知，求（1）；（2）的值。新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）（数学4必修）第一章 三角函数（上） 综合训练B组一、选择题1若角的终边上有一点，则的值是（ ）A B C D 2函数的值域是（ ）A B C D 3若为第二象限角，那么，中，其值必为正的有（ ）A个 B个 C个 D个4已知，那么（ ）A B C D 5若角的终边落在直线上，则的值等于（ ）A B C或 D6已知，那么的值是（ ）A B C D 二、填空题1若，且
12、的终边过点，则是第_象限角，=_。2若角与角的终边互为反向延长线，则与的关系是_。3设，则分别是第 象限的角。4与终边相同的最大负角是_。5化简：=_。三、解答题1已知求的范围。2已知求的值。3已知，（1）求的值。（2）求的值。4求证：新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）（数学4必修）第一章 三角函数（上） 提高训练C组一、选择题1化简的值是（ ）A B C D2若，则的值是（ ）A B C D3若，则等于（ ）A B C D4如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）A B C D5已知，那么下列命题成立的是（ ）A.若是第一象限角，则B.若是第二象限角，
13、则C.若是第三象限角，则D.若是第四象限角，则子曰：温故而知新，可以为师矣。6若为锐角且，则的值为（ ）A B C D二、填空题1已知角的终边与函数决定的函数图象重合，的值为_2若是第三象限的角，是第二象限的角，则是第 象限的角.3在半径为的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为，若要光源恰好照亮整个广场，则其高应为_(精确到)4如果且那么的终边在第 象限。5若集合，则=_。三、解答题1角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与关于直线对称，求之值2一个扇形的周长为，求扇形的半径，圆心角各取何值时，此扇形的面积最大？3求的值。4已知其中为锐角，求证：新课程
14、高中数学训练题组（咨询13976611338）（数学4必修）第一章 三角函数（下） 基础训练A组一、选择题1函数是上的偶函数，则的值是（ ）A B C. D.2将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ）A B C. D.3若点在第一象限,则在内的取值范围是（ ）A B.C. D.4若则（ ）A B C D5函数的最小正周期是（ ）A B C D6在函数、中，最小正周期为的函数的个数为（ ）A个 B个 C个 D个二、填空题1关于的函数有以下命题： 对任意，都是非奇非偶函数；不存在，使既是奇函数，又是偶函数；存在，使是偶
15、函数；对任意，都不是奇函数.其中一个假命题的序号是 ，因为当 时，该命题的结论不成立.2函数的最大值为_.3若函数的最小正周期满足,则自然数的值为_.4满足的的集合为_。5若在区间上的最大值是，则=_。三、解答题1画出函数的图象。2比较大小（1）；（2）3（1）求函数的定义域。（2）设，求的最大值与最小值。4若有最大值和最小值，求实数的值。新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）（数学4必修）第一章 三角函数（下） 综合训练B组一、选择题1方程的解的个数是（ ）A. B. C. D.2在内，使成立的取值范围为（ ）A B C D 3已知函数的图象关于直线对称，则可能是（ ）A. B
16、. C. D.4已知是锐角三角形，则（ ）A. B. C. D.与的大小不能确定5如果函数的最小正周期是,且当时取得最大值,那么（ ）子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。A. B. C. D.6的值域是（ ）A B C D 二、填空题1已知是第二、三象限的角，则的取值范围_。2函数的定义域为，则函数的定义域为_.3函数的单调递增区间是_.4设，若函数在上单调递增，则的取值范围是_。5函数的定义域为_。三、解答题1（1）求函数的定义域。 （2）设，求的最大值与最小值。2比较大小（1）；（2）。3判断函数的奇偶性。4设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值。 新课程高
17、中数学训练题组（咨询13976611338）（数学4必修）第一章 三角函数（下） 提高训练C组一、选择题1函数的定义城是（ ）A. B.C. D.2已知函数对任意都有则等于（ ）A. 或 B. 或 C. D. 或3设是定义域为，最小正周期为的函数，若则等于（ ）A. B. C. D.4已知， ，为凸多边形的内角，且，则这个多边形是（ ）A正六边形 B梯形 C矩形 D含锐角菱形5函数的最小值为（ ）A B C D6曲线在区间上截直线及所得的弦长相等且不为，则下列对的描述正确的是（ ）A. B. C. D.二、填空题1已知函数的最大值为，最小值为，则函数的最小正周期为_,值域为_.2当时，函数的最
18、小值是_，最大值是_。3函数在上的单调减区间为_。4若函数，且则_。5已知函数的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的倍，横坐标扩大到原来的倍，然后把所得的图象沿轴向左平移，这样得到的曲线和的图象相同，则已知函数的解析式为_.三、解答题1求使函数是奇函数。2已知函数有最大值，试求实数的值。3求函数的最大值和最小值。 4已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，xyo-1当时，函数，其图象如图所示.(1)求函数在的表达式；(2)求方程的解. 新课程高中数学训练题组 子曰：由！ 诲女知之乎！ 知之为知之，不 知为不知，是知也。根据最新课程标准，参考独家内部资料，精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系
19、列及部分选修4系列。欢迎使用本资料！辅导咨询电话：13976611338，李老师。（数学4必修）第二章 平面向量 基础训练A组一、选择题1化简得（ ）A B C D2设分别是与向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A B C D3已知下列命题中：（1）若，且，则或，（2）若，则或（3）若不平行的两个非零向量，满足，则（4）若与平行，则其中真命题的个数是（ ）A B C D4下列命题中正确的是（ ）A若ab0，则a0或b0 B若ab0，则abC若ab，则a在b上的投影为|a| D若ab，则ab(ab)25已知平面向量，且，则（ ）A B C D6已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（ ）A
20、B C D二、填空题1若=，=，则=_2平面向量中，若，=1，且，则向量=_。3若,，且与的夹角为，则 。4把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是_。5已知与，要使最小，则实数的值为_。三、解答题AGEFCBD1如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以，为基底表示、2已知向量的夹角为，,求向量的模。3已知点，且原点分的比为，又，求在上的投影。4已知,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？新课程高中数学训练题组（咨询13976611338） （数学4必修）第二章 平面向量 综合训练B组一、选择题1下列命题中正确的是（ ）A BC
21、D2设点，,若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）A B C或 D无数多个3若平面向量与向量的夹角是，且，则( )A B C D4向量，若与平行，则等于A B C D5若是非零向量且满足， ，则与的夹角是（ ）A B C D6设，且，则锐角为（ ）A B C D二、填空题1若，且，则向量与的夹角为2已知向量，若用和表示，则=_。3若,，与的夹角为，若，则的值为 4若菱形的边长为，则_。5若=，=，则在上的投影为_。三、解答题1求与向量，夹角相等的单位向量的坐标2试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和3设非零向量，满足，求证： 4已知，其中(1)求证： 与互相垂直；(2)若与的长度相等
22、，求的值(为非零的常数)新课程高中数学训练题组（咨询13976611338） （数学4必修）第二章 平面向量 提高训练C组一、选择题1若三点共线，则有（ ）A B C D2设，已知两个向量，则向量长度的最大值是（ ）A. B. C. D.3下列命题正确的是（ ）A单位向量都相等 B若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（ ） C，则 D若与是单位向量，则4已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ）A B C D5已知向量，满足且则与的夹角为A B C D6若平面向量与向量平行，且，则( )A B C D或二、填空题1已知向量，向量，则的最大值是 2若，试判断则ABC的形状_3若，则与垂直
23、的单位向量的坐标为_。4若向量则 。5平面向量中，已知，且，则向量_。三、解答题1已知是三个向量，试判断下列各命题的真假（1）若且，则（2）向量在的方向上的投影是一模等于（是与的夹角），方向与在相同或相反的一个向量2证明：对于任意的，恒有不等式3平面向量，若存在不同时为的实数和，使且，试求函数关系式。 4如图，在直角ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。新课程高中数学训练题组根据最新课程标准，参考独家内部资料，精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料！辅导咨询电话：1397
24、6611338，李老师。（数学4必修）第三章 三角恒等变换基础训练A组一、选择题1已知，则（ ）A B C D2函数的最小正周期是（ ）A. B. C. D.3在ABC中，则ABC为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法判定4设，则大小关系（ ）A B C D5函数是（ ）A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数6已知，则的值为（ ）A B C D二、填空题1求值：_。2若则 。3函数的最小正周期是_。4已知那么的值为 ,的值为 。5的三个内角为、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为 。三、解答题1已知求的值.2若求的取值范围。3求值：4已
25、知函数（1）求取最大值时相应的的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象.新课程高中数学训练题组子曰：由！ 诲女知之乎！ 知之为知之，不 知为不知，是知也。根据最新课程标准，参考独家内部资料，精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料！辅导咨询电话：13976611338，李老师。（数学4必修）第三章 三角恒等变换 综合训练B组一、选择题1设则有（ ）A. B. C. D.2函数的最小正周期是( )A B C D3（ ）A B C D4已知则的值为（ ）A. B. C. D.5若，且，则( )A B C D6函数的最小正周期为（ ）A B C
26、 D二、填空题1已知在中，则角的大小为 2计算：的值为_3函数的图象中相邻两对称轴的距离是 4函数的最大值等于 5已知在同一个周期内，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，则函数的一个表达式为_三、解答题1. 求值：（1）；（2）。2已知，求证：3求值：。4已知函数 （1）当时，求的单调递增区间；（2）当且时，的值域是求的值.新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）（数学4必修）第三章 三角恒等变换提高训练C组一、选择题1求值（ ）A B C D2函数的最小值等于（ ）A B C D3函数的图象的一个对称中心是（ ）A. B.C. D.4ABC中，则函数的值的情况（ ）A有最大值
27、，无最小值 B无最大值，有最小值C有最大值且有最小值 D无最大值且无最小值5 的值是( )A. B. C. D. 6当时,函数的最小值是（ ）A B C D二、填空题1给出下列命题：存在实数，使；若是第一象限角，且，则；函数是偶函数；函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象其中正确命题的序号是_（把正确命题的序号都填上）2函数的最小正周期是_。3已知，则=_。4函数在区间上的最小值为 5函数有最大值，最小值，则实数_，_。三、解答题 1已知函数的定义域为，（1）当时，求的单调区间；（2）若，且，当为何值时，为偶函数2已知ABC的内角满足，若，且满足：，为的夹角.求。3已知求的值。4已知函数(1
28、)写出函数的单调递减区间；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值数学4（必修）第一章 三角函数（上） 基础训练A组一、选择题 1.C 当时，在第一象限；当时，在第三象限；而，在第三象限；2.C ； ；3.B 4.A 5.C ，若是第四象限的角，则是第一象限的角，再逆时针旋转6.A 二、填空题1.四、三、二 当是第二象限角时，；当是第三象限角时，；当是第四象限角时，；2. 3. 与关于轴对称4. 5. 三、解答题1. 解：，而，则得，则，。2.解：3.解：原式 4.解：由得即（1）（2）数学4（必修）第一章 三角函数（上） 综合训练B组一、选择题 1.B 2.C 当是第一象限角时，；当是第二
29、象限角时，；当是第三象限角时，；当是第四象限角时，3.A 在第三、或四象限，可正可负；在第一、或三象限，可正可负4.B 5.D ，当是第二象限角时，；当是第四象限角时，6.B 二、填空题1.二， ，则是第二、或三象限角，而 得是第二象限角，则2.3.一、二 得是第一象限角；得是第二象限角4. 5. 三、解答题1.解： ，2.解： 3.解：（1）（2） 4.证明：右边 数学4（必修）第一章 三角函数（上） 提高训练C组一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.A 作出图形得5.D 画出单位圆中的三角函数线6.A 二、填空题1. 在角的终边上取点2.一、或三 3. 4.二 5. 三、解答题1.解：
30、。 2. 解：设扇形的半径为，则当时，取最大值，此时3.解： 4.证明：由得即而，得，即得而为锐角，数学4（必修）第一章 三角函数（下） 基础训练A组一、选择题 1.C 当时，而是偶函数2.C 3.B 4.D 5.D 6.C 由的图象知，它是非周期函数待添加的隐藏文字内容1二、填空题 1. 此时为偶函数2. 3. 4.5. 三、解答题1.解：将函数的图象关于轴对称，得函数的图象，再将函数的图象向上平移一个单位即可。2.解：（1）（2）3.解：（1） 或 为所求。 （2），而是的递增区间 当时，； 当时，。4.解：令，对称轴为当时，是函数的递减区间，得，与矛盾；当时，是函数的递增区间，得，与矛盾
31、；当时，再当，得；当，得 数学4（必修）第一章 三角函数（下） 综合训练B组一、选择题 1.C 在同一坐标系中分别作出函数的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计个2.C 在同一坐标系中分别作出函数的图象，观察：刚刚开始即时，；到了中间即时，；最后阶段即时，3.C 对称轴经过最高点或最低点，4.B 5.A 可以等于6.D 二、填空题1. 2. 3. 函数递减时，4. 令则是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即，则5 三、解答题1.解：（1） 得，或 （2），而是的递减区间 当时，； 当时，。2.解：（1）；（2）3.解：当时，有意义；而当时，无意义， 为非奇非偶函数。4.解
32、：令，则，对称轴， 当，即时，是函数的递增区间，；当，即时，是函数的递减区间， 得，与矛盾；当，即时， 得或，此时。数学4（必修）第一章 三角函数（下） 提高训练C组一、选择题 1.D 2.B 对称轴3.B 4.C 5.B 令，则，对称轴， 是函数的递增区间，当时；6.A 图象的上下部分的分界线为二、填空题1. 2. 当时，；当时，；3. 令，必须找的增区间，画出的图象即可4. 显然，令为奇函数 5 三、解答题1.解：，为奇函数，则。2.解：，对称轴为，当，即时，是函数的递减区间，得与矛盾；当，即时，是函数的递增区间，得；当，即时，得； 3.解：令得，对称轴，当时，；当时，。4.解：（1），且
33、过，则当时，而函数的图象关于直线对称，则即，（2）当时， 当时， 为所求。数学4（必修）第二章 平面向量 基础训练A组一、选择题 1.D 2.C 因为是单位向量，3.C （1）是对的；（2）仅得；（3） （4）平行时分和两种，4.D 若，则四点构成平行四边形； 若，则在上的投影为或，平行时分和两种 5.C 6.D ，最大值为，最小值为二、填空题1. 2. 方向相同，3. 4.圆 以共同的始点为圆心，以单位为半径的圆5 ，当时即可三、解答题1.解：是的重心， 2.解：3.解：设，得，即 得，4.解：（1），得（2），得此时，所以方向相反。 数学4（必修） 第二章 平面向量 综合训练B组一、选择题 1.D 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，； 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，2.C 设，由得，或，即；3.A 设，而，则4.D ，则5.B 6.D 二、填空题1. ,或画图来做2. 设，则 3. 4. 5 三、解答题1.解：设，则得，即或或2.证明：记则 3.证明： 4.（1）证明： 与互相垂直（2）；而，数学4（必修）
