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1、人教版高中数学必修四教案三角函数 1.11 任意角教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.（二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写（三） 情感与态度目标1 提高学生的推理能力； 2培养学生应用意识教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写教学过程一、引入：1回顾角的定义角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.角的第二种定义是角可以看成平面正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针
2、方向旋转形成的角 注意：在不引起混淆的情况下，“角 ”或“ ”可以简化成“ ”；零角的终边与始边重合，如果是零角 =0；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角练习：请说出角、各是多少度?2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角例1如图中的角分别属于第几象限角？例2在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角 60； 120； 240； 300； 420； 480； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角3探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同在k360 ，kZ，
3、即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和注意： kZ 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍； 角 + k720与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角例3在0到360范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角120；640；95012答：240,第三象限角；280,第四象限角；12948,第二象限角；例4写出终边在y轴上的角的集合(用0到360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ例5写出终边在y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式360720的元素写出来4课堂小结角的定义；角的分类：
4、正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 象限角；终边相同的角的表示法 1.1.2弧度制（一）教学目标（四） 知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数（五） 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题（六） 情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美教学重点弧度的概念弧长公式及
5、扇形的面积公式的推导与证明教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系教学过程一、复习角度制： 初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的1作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制 360二、新课：1引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度弧度制，它是如何定义呢？2定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1弧度记做1rad在实际运算中，常常将rad单位省略3思考：（1）一定大小的圆心角a所对应的弧长与
6、半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳：弧度制的性质： 半圆所对的圆心角为prr=p; 整圆所对的圆心角为2pr=2p. rlr正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是零 角的弧度数的绝对值|= .4角度与弧度之间的转换：将角度化为弧度：360=2p； 180=p；1=将弧度化为角度： p1800.01745rad；n=nprad 180180n ) p1802p=360 ；p=180 ；1rad=()盎57.30?p57 18；n=(5常规写法： 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少 的形式, 不必写成小数 弧度与角度不能混用
7、l?lrr a a=弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积例1把6730化成弧度例2把p rad化成度例3计算： 35(1)sinp4；(2)tan1.5例4将下列各角化成0到2的角加上2k（kZ）的形式： (1)19p；(2)-315 3例5将下列各角化成2k + (kZ,02)的形式,并确定其所在的象限31p19p；(2)- 36lR19p7p=2p+, 解: (1)36O7p19p而是第三象限的角,是第三象限角. 6331p5p31p=-6p+,-(2) -是第二象限角. 6661例 6.利用弧度制证明扇形面积公式S=lR,其中l是扇形弧长,R是圆的半径. 212pR2,
8、又扇形弧长为l,半径为证法一:圆的面积为pR,圆心角为1rad的扇形面积为2p(1)R,ll121rad, 扇形面积S=R=lR RR22npR2证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为S=，又此时弧长360npR1npR1l=R=lR ，S=18021802 扇形的圆心角大小为可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多11扇形面积公式:S=lR=R2 227课堂小结什么叫1弧度角? 任意角的弧度的定义“角度制”与“弧度制”的联系与区别8课后作业：阅读教材P6 P8；教材P9练习第1、2、3、6题；教材P10面7、8题及B2、3题 4-
9、1.2.1任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。 德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。教学过程：一、复习引入： 1. 三角函数的定义2. 诱导公式sin(2kp+a)=sina(kZ)cos(2kp+a)=cosa(kZ)tan(
10、2kp+a)=tana(kZ)_. D 练习1. tan600的值是_oA.-3B. C.- D. 33. B 练习2. 若sincos0,则在_A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限若cos0，且sin2q1. 例3.比较大小：24(1)sinp与sinp3524(3)tanp与tanp35 24(2)cosp与cosp 351例4.在0，2p上满足sinx的x的取值范围是(2pp5pA.0, B. C.666 ) p2p D.63 5p，p6例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围 11(1)sinx. 22 答案：（1）7p11ppp+2kpx+2kp
11、,kZ；（2）-+2kpxsin 23例2利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角 1 sina 解： 30a90或210a270 补充：1利用余弦线比较cos64,cos285的大小；2若p4qp2，则比较sinq、cosq、tanq的大小；3分别根据下列条件，写出角q的取值范围：（1）cosq-1 ； （3）sinq- 224-1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （2）树立映射观点，正确理解三角函数
12、是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt
13、ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为sinA=aba,cosA=,tanA= ccb角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。二、讲解新课：1三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r(r=0)，那么yy叫做的正弦，记作sina，即sina=； rrxx（2）比值叫做的余弦，记作cosa，即cosa=； rryy（3）比值叫做的正切，记作tana，即tana=； xxxx（4）比值叫做的余切，记作cota，即cota=； yy说明：的始边与x轴的非负半轴重合，
14、的终边没有表明一定是正角或负角，以及（1）比值的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；根据相似三角形的知识，对于确定的角，四个比值不以点P(x,y)在的终边上的位置的改变而改变大小； 当a=于0， p2+kp(kZ)时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等yx无意义；同理当a=kp(kZ)时，cota=无意义； xyyxyx除以上两种情况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的实rrxy所以tana=数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。 2三角函数的定义域、值域 注意：(1)在平面直角坐标系 （通过本例总结特殊角的三角函数值）（1
15、）0； （2）p； （3）解：（1）因为当a=0时，x=r，y=0，所以 3p 2sin0=0， cos0=1， tan0=0， cot0不存在。（2）因为当a=p时，x=-r，y=0，所以sinp=0， cosp=-1， tanp=0， cotp不存在，3p（3）因为当a=时，x=0，y=-r，所以 23p3p3p3psin=-1， cos=0， tan=0， 不存在， cot2222例2已知角的终边经过点P(2,-3)，求的四个函数值。解：因为x=2,y=-3，所以r=，于是 yx；cosa=； =-=r13r13y3x2tana=-； cota=- x2y3例3已知角的终边过点(a,2a
16、)(a0)，求的四个三角函数值。 sina=解：因为过点(a,2a)(a0)，所以ra|， x=a,y=2a当a0时，sina=y=r5cosa=x=r5； 1；5tana=2;cota=;seca=5;csca=22y当a0时，sina=rcosa=x15； tana=2;cota=;sec a=-5;csca=-=r5224三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限 （2）sin(-p4)； （3）tan(-672)； （4）tan11p 3例4求证：若sina0，则角q是第三象限角，反之也成立。5诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：sin(a+2kp)=
17、sina，cos(a+2kp)=cosa，其中kZtan(a+2kp)=tana，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题 例5求下列三角函数的值：（1）cos例6求函数y=9p11p)， ， （2）tan(-46cosxcosx+tanx的值域 tanx解： 定义域：cosx0 x的终边不在x轴上 又tanx0 x的终边不在y轴上当x是第象限角时，x0,y0 cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2,x0 |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx y=-2x0,y0,y0)，那么：sina=yxy，cosa=，tana=， rrx2当角
18、分别在不同的象限时，sin、cos、tg的符号分别是怎样的？3背景：如果sinA=3，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值； 54问题：由于的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角的三个三角函数之间有什么关系？二、讲解新课：（一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系：tana=说明：注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin4a+cos4a=1等；注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 22sina22 （2）平方关系：sina+cona=1 conatanacota=1(akp,kZ)
19、； 2sina等。 tana对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cosa= sin2a=1-cos2a， cosa=2例题分析：一、求值问题例1（1）已知sina=（2）已知cosa=-12，并且a是第二象限角，求cosa,tana,cota 134，求sina,tana 5221225222解：（1）sina+cosa=1， cosa=1-sina=1-()=() 1313 又a是第二象限角， cosa0，即有cosa=-5，从而 13tana=sina1215=-cota=-cosa5， tana122222（2）sina+cosa=1， sina=1-c
20、osa=1-(-)=()， 45235240，从而sina=，tana=5cosa43sina3= 当a在第四象限时，即有sina0，从而cosa=，= sina=tanacosa= 当a在第二、三象限时，即有cosa0，从而cosa=，=-1+tan2atan sina=tanacosa=- 21+tanasina-4cosa22例3、已知sina=2cosa，求 5sina+2cosa 2sina+2sinacosa-cosa解：Qsina=2cosatana=2sina-4cosatana-4-21=- 5sina+2cosa5tana+2126强调（指出）技巧：1 分子、分母是正余弦的
21、一次（或二次）齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以cosa,将分子、分母转化为tana的代数式；2 “化1法”可利用平方关系sina+cosa=1，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关 22 系化归为tana的分式求值；小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式+ (pq) 1+cosq1-cosq2解：原式三、证明恒等式 =cosx1+sinx= 1-sinxcosx证法一：由题义知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0cosx(1+sinx)cosx(1+sinx
22、)1+sinx=右边 =左边=cosx(1-sinx)(1+sinx)cos2x例4求证：原式成立证法二：由题义知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0又(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx，cosx1+sinx= 1-sinxcosx证法三：由题义知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0 cosx1+sinxcosxcosx-(1+sinx)(1-sinx)cos2x-1+sin2x-=0， 1-sinxcosx(1-sinx)cosx(1-sinx)cosxcosx1+sinx= 1-sinxcosx总结：证明恒等式的过程就是分析、
23、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。四、小 结：本节课学习了以下内容：1同角三角函数基本关系式及成立的条件；2根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；五、课后作业：习案作业第 五 课时 参考资料 解：原式=|cos40-sin40|=cos40-sin40 1(0qp)，求tanq及sin3q-cos3q的值。 512p,0qp,得：cosq0q(,p) 解：1 由sinacosa=-2524972,得：sinq-cosq= 由(sina
24、-cosa)= 联立： 255思考1已知sina+cosa=sinq+cosq=sinq-cosq=3314sinq=55tanq=-4 733cosq=-554533391 51254-2mm-3,cosa=,a是第四象限角， 求tana的值。2、已知sina= m+5m+54-2m2m-3222)+()=1 解：sina + cosa = 1 (m+5m+52 sinq-cosq=()-(-)=化简，整理得：m(m-8)=0当m = 0时，sina=m1=0,m2=8 43,cosa=-，(与a是第四象限角不合） 5512512当m = 8时，sina=-,cosa=，tana=- 131
25、35 13诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标理解正弦、余弦的诱导公式培养学生化归、转化的能力（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式 教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明教学过程一、复习：诱导公式（一）sin(360k+a)=sina cos(360k+a)=c
26、osa诱导公式（二） tan(360k+a)=tanasin(180+a)=-sina cos(180+a)=-cosa tan(180+a)=tana 诱导公式（三）sin(-a)=-sina cos(-a)=cosa诱导公式（四）tan(-a)=-tanatan(180-a)=-tanasin(180-a)=sina cos(180-a)=-cosa对于五组诱导公式的理解 ： 公式中的a可以是任意角； 这四组诱导公式可以概括为：p+a,p-a,的三角函数值，等于它的同名 三角函数值， 前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。总结为一句话：函数名不变，符号看象限 练习1：P27面作业1、2
27、、3、4。2：P25面的例2：化简 二、新课讲授：1、诱导公式（五） sin(2、诱导公式（六） sin(2kp+a(kZ), -a,p2-a)=cosa cos(+a)=cosa cos(p2-a)=sina +a)=-sinap2p2总结为一句话：函数正变余，符号看象限例1将下列三角函数转化为锐角三角函数：(1)tan3p31p17, (2)sin, (3)cos519, (4)sin(-p). 5363练习3：求下列函数值：65p31p, (2)sin(-), (3)sin670, (4)tan580). 643p-a)=-cosa 例2证明：（1）sin(23p-a)=-sina （2
28、）cos(2p11psin(2p-a)cos(p+a)+a)-a)例3化简：.9cos(p-a)sin(3p-a)sin(-a-p)+a)2例4. 已知tan(p+a)=3,(1)cos2cos(p-a)-3sin(p+a) 的值。4cos(-a)+sin(2p-a)p+a)=3,tana=3. 解：Qtan(-2cosa+3sina-2+3tana-2+33原式= =7.4cosa-sina4-tana4-3小结：三角函数的简化过程图：三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小，化到锐角就行了. 练习4：教材P28页7三课堂小结熟记诱导公式五、六；公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；运用
29、诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数四课后作业：阅读教材；习案作业七 13诱导公式（二）教学目标（一）知识与技能目标理解正弦、余弦的诱导公式培养学生化归、转化的能力（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式 教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明教学过程一、复习：
30、诱导公式（一）sin(360k+a)=sina cos(360k+a)=cosa诱导公式（二） tan(360k+a)=tanasin(180+a)=-sina cos(180+a)=-cosa 诱导公式（三） tan(180+a)=tanasin(-a)=-sina cos(-a)=cosatan(-a)=-tana诱导公式（四）sin(pa)=sina cos(p a)=cosa tan (pa)=tana诱导公式(五)sin(p2-a)=cosa cos(p2-a)=sina诱导公式（六）sin(p2+a)=cosa cos(p2+a)=-sina二、新课讲授：练习1将下列三角函数转化为
31、锐角三角函数： (1)tan3p31p17, (2)sin, (3)cos519, (4)sin(-p). 5363练习2：求下列函数值：65p31p, (2)sin(-), (3)sin670, (4)tan580). 643p-a)=-cosa 例1证明：（1）sin(23p-a)=-sina （2）cos(2p11psin(2p-a)cos(p+a)+a)-a)例2化简：. 9cos(p-a)sin(3p-a)sin(-a-p)+a)22cos(p-a)-3sin(p+a) 例3. 已知tan(p+a)=3,的值。4cos(-a)+sin(2p-a)p+a)=3,tana=3. 解：Qt
32、an(-2cosa+3sina-2+3tana-2+33原式= =7. 4cosa-sina4-tana4-342sin(a-p)+3tan(3p-a)例4. 已知sin(a+p)=,且sinacosa0,求的值. 54cos(a-3p)(1)cos 小结：三角函数的简化过程图：三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小，化到锐角就行了.练习3：教材P28页7化简: pcosa-2(1)sin(a-2p)cos(2p-a); 5psin+a2tan(360o+a)(2)cos(-a)-. sin(-a)2 例5. 已知sina,cosa是关于x的方程x-ax+217p=0的两根，且3pa0) 22yy则比值叫做a的正弦 记作： sina= rrxx 比值叫做a的余弦 记作： cosa= rr3.正弦线、余弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有sina=yx=MP，cosa=OM rr向线段MP叫做角的正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线二、讲解新课：1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用
