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1、一次函数动点问题1模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图 ，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图，作B关于直线l的对称点B，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答（1）理由：如图，在直线L上另取任一点C，连接AC，BC，BC，直线l是点B，B的对称轴，点C，C在l上CB= ，CB= AC+CB=AC+CB= 在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即AC+CB最小归
2、纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB与l的交点，即A、C、B三点共线）本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型（2）模型应用如图 ，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段 的长度，EF+FB的最小值是 如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y
3、轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标2已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（4，9）两点，求此一次函数的解析式；若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式3已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4
4、，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小4已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若SOAP=2，求点P的坐标5阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k10）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k20）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且
5、与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为 （4）在x轴上找一点M，使BMP为等腰三角形，求M的坐标（直接写出答案）6阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k10）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k20）的图象为直线l2若k1k2=1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=x1互相垂直，且直线l的
6、图象过点P（1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P，请求出四边形ABOP的面积一次函数动点问题参考答案与试题解析一解答题（共6小题）1模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图 ，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这
7、问题如图，作B关于直线l的对称点B，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答（1）理由：如图，在直线L上另取任一点C，连接AC，BC，BC，直线l是点B，B的对称轴，点C，C在l上CB=CB，CB=CBAC+CB=AC+CB=AB在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB与l的交点，即A、C、B三点共线）本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定
8、点的距离和的最小值”问题的数学模型（2）模型应用如图 ，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是如图，已知O的直径CD为4，AOD的度数为60，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2；如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD的最小值，并写出取
9、得最小值时P点坐标【解答】解：（1）理由：如图，在直线L上另取任一点C，连接AC，BC，BC，直线l是点B，B的对称轴，点C，C在l上CB=CB，CB=CBAC+CB=AC+CB=AB在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即AC+CB最小故答案为：CB，CB，AB；（2）模型应用解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是 在正方形ABCD中，AB=AD=2，BAD=90点E是AB中点，AE=1，根据勾股定理得，DE=，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；如图，由圆
10、的对称性可知，A与A关于直径CD对称，连结AB交CD于F，则AE+EB的最小值就是线ABE的长度，AOD=AOD=60点B是的中点，AOB=BOD=AOD=30，AOB=90O的直径为4，OA=OA=OB=2，在RtAOB中，AB=2，BP+AP的最小值是2故答案为2，如图，由平面坐标系中的对称性可知，C与C关于直径y轴对称，连结CD交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线CD的长度，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，A（2，0），B（0，4），C（1，0），D（1，2），C与C关于直径y轴对称，C（1，0），CD=2，PC+PD的最小值为2，C（1，0），D（1，2），直
11、线CD的解析式为y=x+1，P（0，1）2已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（4，9）两点，求此一次函数的解析式；若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式【解答】解：设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得，解得，一次函数解析式为y=2x1；将点（a，2）代入y=2x1中，得2a1=2，解得a=；由y=2x1，令y=0得x=，C（，0），又点P（m，n）在直线y=2x1上，n=2m1，S=|n|=|（2m1）|=|m|3已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3
12、）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小【解答】解：（1）函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，解得：，一次函数的表达式为y=x1当x=2时，m=x1=21=1，m的值为1（2）作点B关于x轴的对称点B，连接AB交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图所示点B的坐标为（2，1），点B的坐标为（2，1）设直线AB的表达式为y=ax+c，将（2，1）、（
13、4，3）代入y=ax+c，解得：，直线AB的表达式为y=2x5当y=0时，2x5=0，解得：x=，当点P的横坐标为时，PA+PB的值最小4已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若SOAP=2，求点P的坐标【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（2，3）、（2，1）分别代入得，解得，所以一次函数解析式为y=x+1；（2）当y=0时，x+1=0，解得x=1，则A（1，0），设P（t，t+1），因为SOAP=2，所以1|t+1|=2，解得t=3或t=5，所以P点坐标为（3，4）或（5，4）5阅读下面的材料
14、：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k10）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k20）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）（4）在x轴上找一点M，使BMP为等腰三角形，求M的坐标（直接
15、写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=x+b，把P（1，3）代入得：3=1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式为y=x+4；（2）过O作ONAB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，对于直线y=x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，ABC为等腰直角三角形，AB=4，且ON为斜边上的中线，ON=AB=2，则l1和l2两平行线之间的距离为2；（3）找出B关于y轴的对称点B（4，0），连接PB，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB
16、最小，设直线BP的解析式为y=mx+n，把B和P坐标代入得：，解得：m=，n=，直线BP的解析式为y=x+，令x=0，得到y=，即Q（0，）；故答案为：Q（0，）；（4）如图2所示，分三种情况考虑：当PM1=PB时，由对称性得到M1（2，0）；当PM2=BM2时，M2为线段PB垂直平分线与x轴的交点，直线PB的解析式为y=x+4，且线段PB中点坐标为（，），线段PB垂直平分线解析式为y=x，即y=x1，令y=0，得到x=1，即M2（1，0）；当PB=M3B=3时，OM3=OB+BM3=4+3，此时M3（43，0），M3（4+3，0）综上，M的坐标为（2，0）或（1，0）或（43，0）或（4+3
17、，0）6阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k10）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k20）的图象为直线l2若k1k2=1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=x1互相垂直，且直线l的图象过点P（1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P
18、关于BQ的对称点为P，请求出四边形ABOP的面积【解答】解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b，直线l与直线y=x1互相垂直，k=1，解得k=2，直线l的图象过点P（1，4），k+b=4，即2+b=4，解得b=6，直线l的解析式为y=2x+6；（2）如图1，过O作OCAB于点C，此时线段OC的长度最小，在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=3，A（0，6），B（3，0），OA=6，OB=3AB=3，ABOC=OAOB，3OC=36，OC=，即线段OC长度的最小值为；（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P，连接BP交y轴于点Q，过P作PGx轴于点G，则PQ=PQ，PQ+BQ=BQ+QP，点B、Q、P三点在一条线上，BQ+PQ最小，P（1，4），P（1，4），PG=4，OG=1，BG=BO+OG=4=PG，OBQ=45，BP=4，OQ=BO=3，Q点坐标为（0，3），又BP=2，此时BPQ的周长=BP+BP=4+2；（4）由（3）可知OBQ=OQB=45，PQA=PQA=45，PQBQ，如图3，延长PQ到点P，使PQ=PQ，则P即为点P关于BQ的对称点，过P作PHy轴于点H，由（3）可知PQ=QP=，QH=HP=1，OH=OQQH=31=2，S四边形ABOP=SAOB+SAOP=63+61=12，即四边形ABOP的面积为12
