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1、中考复习“一线三角”三角形相似探究（一题多变）海港区十六中 李源明例1. ABC中，AB=AC , D为BC的中点，以 D为顶点作/ MDN= / B .（1） 如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与 ADE相似的三角形.（2） 如图（2）,将/ MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM , DN分别交线段AC , AB于E, F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论.拓展问题BF?CE是否为定值（3）在图（2）中，若AB=AC=10 , BC=12，当 DEF的面积等于 ABC的面积的丄时，求线段EF的长.4分析：
2、ABC 中，AB=AC / B= / C= / FDE图1简单，/ B= / C=Z ADE，与 ADE相似的有 ABD, ACD, DCE但是注意点D若不是中点 只有 AD0AACD（ A字形相似基本图形）图（2）/ B= / C= / FDE / FDC为外角 注意是谁的外角（ FBD）。外角等于不相邻的内角和，所以/ FDC= / B+ / BFD / FDC= / FDE+ / EDC / FDE+ / EDC= / B+ / BFD/ / FDE = / B / EDC= / BFD本题的特点 / EDC= / BFD 同理/ BDF= / DEC/ B= / C可得 BDF CED
3、第一点图形特点就是一线BC托三角，/ B= / C= / MDN，三角等则 BDF CED第二点对应线段成比例BD : CE=BF: CD=DF : DE BF?CE=BD?DC（当D为中点时BF?CE=BD?DC= 丄BC） 2得定值，若点D不是中点，FD过点A，出函数关系式，后面有相应试题 ）第三点当点D为中点 BD=DC BF: CD=BF : BD 可得 BF: BD=DF : DE可得 BDF DEF BDF CED DEF（D若不是中点只有 BDFCED）第四点当点D为中点，因为 BDFDEF所以可推 / BFD= / DFE, FD为/ BFE的角平分线，同理ED为/ CEF角平
4、分线，可设计问题。（注意这种情况条件点 D为中点，出角平分线， 角平分线上点到两边距离等，可设问求证点D到FE的距离为定值）解答（1）图（1）中与 ADE相似的有厶ABD ACD DCE证明：/ AB=AC D为 BC的中点， ADLBC / B=Z C,Z BADM CAD又/MDNM BAD0 ABD 同理可得： AD0A ACD/ MDNM C=MBM B+M BAD=90，/ ADEM EDC=90 M B=M MDN/ BADM EDC tM B=M C,ABD DCE AD0A DCE（2） BDFCED DEF,证明：t M FDC= M B+ M BFD , M FDC= M
5、FDE+ M EDC,又tM EDF= M B ,BD 二 ECCD 二 EC/ BFD= / CDE，由 AB=AC，得/ B= / C,.A BDF CED ,二 一 I . ,v BD=CD ,.丨 i . 又/ C=Z EDFBDFs CEDs DEF .(3)连接AD，过D点作DG丄EF, DH丄BF,垂足分别为 G , H . / AB=AC , D是BC的中点， AD丄BC , BD=二BC=6 .2在 Rt ABD 中，AD 2=AB2- BD2,. AD=8 Ssbc=BC?AD=丄X128=48 .2 211S def= Ssbc=48=12.44又DH ,DH=/ BDF
6、 DEF ,24/ DG 丄 EF, DH 丄 BF, DH=DG=5Sadef= EF DG=12 ,2=5.变式1.如图，在厶ABC中，已知AB=AC=5 , BC=6 ,且厶ABC DEF ,将厶DEF与厶ABC重合在一起， ABC不动， ABC 不动， DEF运动，并满足：点 E在边BC上沿B到C的方向运动，且 DE、始终经过点 A , EF与AC交于M点.(1) 求证： ABEECM ;(2) 探究：在 DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；(3) 当线段AM最短时，求重叠部分的面积.分析：问题的解决的关键，/ B= / C= / AE
7、M,(一线托三角) ABE与 ECM相似， AEM与厶ACE相似(A字形相似结构)1.分类思想 AEF构成等腰三角形 E为顶点EA=EM ABE与厶ECM全等，AB=CE即可求 BE,M为顶点 MA=ME,/ / AEM= / C,满足 / EAC= / C, EA=EC 即求A为顶点AE=AM/ / AEM= / B= / C，满足 / AEM= / AME, / AME= / CEM与BC重合2 . ABE与厶ECM相似，AB : EC=BE : CM，出函数关系，即求。CM最大值利用函数思想求二次函数最值，可求AM最短。解答：(1)证明：/ AB=AC , / B= / C,/ ABC
8、DEF , / AEF= / B,又/ / AEF+ / CEM= / AEC= / B+ / BAE , / CEM= / BAE , ABE s ECM ;(2)解：/ / AEF= / B= / C,且 / AME Z C, / AME / AEF , AE 執M ;当 AE=EM 时，贝U ABE ECM , CE=AB=5 , BE=BC - EC=6 - 5=1 ,当 AM=EM 时，则/ MAE= / MEA , / MAE+ / BAE= / MEA+ / CEM，即 / CAB= / CEA,又/ C= / C, CAE s CBA , 理 CE=坐， BE=6 -里旦!;A
9、C CBCB 666(3)解：设 BE=x，又 ABE s ECM ,，即：亠. _BEAS X 5CM=-亠+* -丄(x - 3) 2+上,5 555 AM= - 5 - CM 一( x - 3) 2+，.当 x=3 时，AM 最短为丄二555又当 BE=x=3=bC 时，点 E 为 BC 的中点， AE 丄 BC , AE=J - BE ，此时，EF 丄 AC , EM=Jce? - 口垄，Ssem=* CEF 的外角，/ AFE= / FCE+ / CEF, / CEF= / ACB，/ AFE= / FCE+ / ACB= / BCE, / BC / AD ,/ BCE= / DEC
10、，/ AFE= / DEC,点A与点D关于y轴对称，而C, O在对称轴上， ACO与厶DCO关于y轴对称， / FAE= / EDC， 由，得 AEF DCE ;S12(3)当 FE=EC 时， EFC 为等腰三角形，由(2) , AEFDCE , FE:EC=AE:DC ,此时，AE=DC=AC= . AB2 BC2 =20，贝U E ( 8, 0);当 CF=CE 时，/ CFE= / CEF=/ ACB，则有 EF / BC ,此时，点F与A重合，则点E在D处，与已知矛盾；当 CF=FE 时，/ FCE=/ CEF，又AEF DCE，/ AEF= / DCE / FCE+ / DCE = / CEF+ / AEF ,即/ ACD= / AEC , 而/ CAE= / DAC , AEC ACD , AE:AC=AC:AD，而 AD=18 , AE= C-AD2022450314则 E ( , 0),3当厶EFC为等腰三角形时，求点E的坐标为（8, 0）或（1430 )。
