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1、 高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 列举法：a,b,c描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 含有
2、有限个元素的集合无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5 二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A/B或B/A2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空
3、集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算B(或BA) 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则M与N的关系是 .4.设集合A=xx2，B=xxa，若AB，则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。6. 用描述法表示图中阴影部
4、分的点（含边界上的点）组成的集合M= .7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x|x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m的值 二、函数的有关概念 40 1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的
5、定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直
6、角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .(2) 画法描点法：图象变换法常用变换方法有三种平移变换伸缩变换对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应
7、f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。 二函数的性质1.函数的单调性(局部
8、性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右
9、是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1234 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函
10、数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2确定f(x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要
11、条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0或f(x) f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法待定系数法换元法消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=
12、f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；例题：1.求下列函数的定义域：y=y=22.设函数 的定义域为_ _ f(x)的定义域为0，1，则函数f(x)3.若函数f(x+1)的定义域为-2，3，则函数f(2x-1)的定义域是x+2(x-1)2f(x)=x(-1x2)2x(x2) 4.函数，若f(x)=3，则x=5.求下列函数的值域：y=x+2x-32 (xR) y=x+2x-32 x1,2(3)y=x-(4)y6.已知函数f(
13、x-1)=x-4x2=，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式7.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+4，则f(x)= 。8.设f(x)是R上的奇函数，且当x0,+)时,f(x)=x(1+,则当x(-,0)时f(x)=f(x)在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间： 2y=x+2x+32 y=3 y=x-6x-110.判断函数11.设函数y=-x+1的单调性并证明你的结论1+x1-x22f(x)=判断它的奇偶性并且求证：1f()=-f(x)x 第二章 基本初等函数 一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果x=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且
14、nN*n负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0=0。n当n是奇数时，a2分数指数幂nan=a，当n是偶数时，(a0)a=|a|=-a(a0,m,nN,n1)，m*anam(a0,m,nN,n1)* 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 （1）aa=arsrsrrr+s (a0,r,sR)； (a0,r,sR)； (a0,r,sR)（2）(a)=a （3）(ab)=aarrs （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y=a(a0,且a1)x叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1
15、 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上，f(x)=a(a0且a1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)；（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；（3）对于指数函数f(x)=a(a0且a1)，总有f(1)=a；二、对数函数（一）对数x1对数的概念：一般地，如果a=N(a0,a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：xxx=logaN（a 底数，N 真数，logaN 对数式）说明：1 注意底数的限制a0，且a1；2 ax=NlogaN=x； 3 注意对数的书写格式两个重要对数：1 常用对数：以10为底的对数lgN；
16、2 自然对数：以无理数e=2.71828L为底的对数的对数lnN指数式与对数式的互化 幂值 真数 ba N （二）对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么： loga(MMa1logN)=aMlogaN；log2 3logNMnlogaMMlogaN；a=nloga(nR)注意：换底公式 logab=loglogccba（a0，且a1；c0，且c1；b0）利用换底公式推导下面的结论logb=nnm（1）amlogablogab=1logb；（2）a（二）对数函数1、对数函数的概念：函数义域是（0，+）注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y=2log2x，
17、都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 2 对数函数对底数的限制：(a0，且a1) 2y=logax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定x5y=log5 （三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如y=xa(aR)的函数称为幂函数，其中a为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+)上是增函数特别地，当a1时，幂 函数的图象下凸；当0a1时，幂函数的图象上凸；（3）a0时，幂函数的图象在区间(0,+)上是减函数在第一象限 ( ) log3 26432.计算： 0.064-13log0=
18、27 -43;214+log23= ；2513log527+2log52= ; -(-78)+(-2)+16-0.75+0.012=13.函数y=log2(2x2-3x+1)的递减区间为4.若函数f(x)=logax(0a0且a1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使f(x)0的x的取值范围 第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x)(xD)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点。2、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)=0有实数根函数y
19、=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程f(x)=0的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数y=ax2+bx+c(a0) 2（1），方程ax+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程ax+bx+c=0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程ax+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点5.函数的模型 高中数学必修二复习基本概
20、念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 22 1、按是否共面可分为两类：（1）共面： 平行、 相交（2）异面：异面直线
21、的定义：不同在任何一个平面两异面直线所成的角：范围为 ( 0，90 ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点相交直线；（2）没有公共点 平行或异面 直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面
22、和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：两个平面平行-没有公共点； 两个平面相交-有一条公共直线。 a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面b、相交二面角（1） 半平面：平面两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。Attention：二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补
23、关系） 多面体棱柱棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 棱锥棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质：（1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形（2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方 正棱锥 正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面b、四面体中有三对异
24、面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180 （2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。当a0o,90o)时，k0；当a(90o,180o)时，k0时，方程表示圆，此时圆心为-22D2,-1E，半径为r=22D2+E2-4F 当D+E-4F=0时，表示一个点； 当D+E-4Frl与C相离；d=rl与C相切；dR+r时
25、两圆外离，此时有公切线四条；当d=R+r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条， 当d=0时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 高一数学必修3公式总结以及例题1 算法初步u 秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下：anx+an-1xnn-1+.+a1=(anx+an-1)x+an-2)x+.)x+a2)x+a1例题：秦九韶算法计算多项式 3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1 , 当 x=0.4 时,需要做几次加法
26、和乘法运算? 答案： 6 ， 6即: (3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1v 理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法 (algorithm)1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.2. 算法的特征：有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去 确定性：算法的每一步操作注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检
27、查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。 直到型循环.顺序结构（sequence structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时
28、主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。.循环结构（cycle structure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。y 基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudo code），且是使用 BASIC语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好
29、方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用x=y ，也可以用 xy ; 表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“”. 赋值语句（assignment statement）：用 表示， 如：xy ，表示将y的值赋给x， 其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.一般格式：“变量表达式” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “x=y”，但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“ = ”具有计算功能。如： 3 =
30、a ,b + 6 = a ,都是错误的，而a = 3*5 1 , a = 2a + 3 都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如：a = b = c = 2 , a , b , c =2 都是错误的，而 a = 3 是正确的. 例题：将x和y的值交换pxpxxy , 同样的如果交换三个变量x,y,z的值 : ypxyyzzp . 输入语句（input statement）: Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b输出语句（out statement） ：Print x ,y 表示一次输出 运算结果x ,y 注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2. Re
31、ad 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句，意旨不能在Print 语句中用 “ = ”4. Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “ ； ”隔开. 例题：当x等于5时，Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5 .条件语句（conditional statement）：1. 行If语句: If A Then B 注：没有 End If2. 块If语句： 注：不要忘记结束语句End If ，当有If语句嵌套使用时，有几个If ，就必须要有几个End If . Else If 是对上一个条件的否定，即已经不属于
32、上面的条件，另外Else If 后面也要有End If 注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。 为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下： 例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法. 或者 注：1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。 2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数.循环语句（ cycle statement）： u 当事先知道循环次数时用 For 循环 ，即使是 N次也是已知次数的循环 v 当循环次数不确定时用While循环 w Do 循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应. 说明：1. While循环是前测试型的，即满足什么条
33、件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用While循环书写的循环都能用For 循环书写 3. While循环和Do循环可以相互转化 4. Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.例题： 设计计算 135.99 的一个算法.（见课本P21）S1S1I1While I 99S1For I From 3 To 99 Step 2 SSIEnd ForPrint SI1While I 97II+2SSIEnd While Print SSSIII+2End While Print SS1I1Do u v wS1I1DoSSI II+2Loop Until I 100 (或者 I 99 )Print SII+2SSILoop Until I 99 Print S x y S1I1Do While I 99 (或者I 100 ) SSI II+2Loop Print SS1I1Do While I 97 (或者I N 2. 用循环语句写出求 3. 设计一个计算1+Read NS0n0While S N的一个算法.,并画出流程图,写出伪代码.
