三角函数辅助角公式化简.doc

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1、 三角函数辅助角公式化简一、解答题1.已知函数, (1)求的对称中心;(2)讨论在区间上的单调性、2.已知函数、(1)将化简为的形式,并求最小正周期;(2)求在区间上的最大值与最小值及取得最值时的值、3.已知函数.(1)求的最小正周期;(2)求在区间上的单调递增区间及最大值与最小值.4.设函数、(1)求函数的最小正周期及最大值;(2)求函数的单调递增区间、5.已知函数()求函数的最小正周期与图象的对称轴方程;()求函数在区间上的值域、6.已知函数、()求函数的对称中心;()求在上的单调区间、7.已知函数,求(1)求的最小正周期;(2)求函数的单调递增区间(3)求在区间上的最大值与最小值、8.设

2、函数、(1)求的最小正周期;(2)讨论在区间上的单调性、9.已知函数,(I)求的最大值与对称中心坐标;()讨论在上的单调性。10.已知函数、(1)求 的最小正周期;(2)若关于 的方程在上有两个不同的实根,求实数 的取值范围、11.设、(1)求的单调递增区间;(2)锐角中,角的对边分别为,若, , ,求的值、12.已知函数、(1)求函数的单调增区间;(2)的内角,所对的边分别就是,若,且的面积为,求的值、13.设函数、(1)求的最大值,并写出使取最大值时的集合;(2)已知中,角的边分别为,若,求的最小值、14.已知,其中,若的最小正周期为、(1)求函数的单调递增区间;(2)锐角三角形中, ,求

3、的取值范围、15.已知=(sinx,cosx),=(cos,sin)(|).函数f(x)= 且f(x)=f(x). ()求f(x)的解析式及单调递增区间; ()将f(x)的图象向右平移单位得g(x)的图象,若g(x)+1ax+cosx在x0, 上恒成立,求实数a的取值范围.16.已知向量=(2cos, sin),=(cos,2cos),(0),设函数f(x)=,且f(x)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的表达式;(2)求f(x)的单调递增区间.17.已知函数的部分图象如图所示、(1) 求函数的解析式;(2) 如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象, 写出变换过程;(3) 若,求的值、

4、18.已知函数(1)求函数在上的单调递增区间;(2)若且,求的值。19.已知,(1)求函数的单调递增区间;(2)设ABC的内角A满足,而,求边BC的最小值.20.已知函数(1)求的最小正周期与最大值;(2)讨论在上的单调性.21.已知 ,求:(1)的单调增区间;(2)当时,求的值域、22.已知函数为偶函数,且函数图象的两相邻对称轴间的距离为、 (1)求的值;(2)函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求的单调递减区间、23.已知函数、(1)求函数的递减区间;(2)当时,求函数的最小值以及取最小值时的值、24.已知函数、(1)求函数

5、的对称中心与单调递减区间;(2)若将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的(纵坐标不变),然后把所得图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求函数的表达式、参考答案1.(1)对称中心为, ;(2)增区间为,减区间为、【解析】试题分析:利用降幂公式与辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数,根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0,从而角的终边在x轴上;(2)首先求出函数的单调区间,再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间.试题解析:1)由已知令,得,对称中心为, 、(2)令, 得, ,增区间为 令, 得, ,增区间为 上的增区间为,减区间为、2.(1) , ;(2

6、)时, , 时, 、【解析】试题分析:(1)由三角函数的公式化简可得,由周期公式可得答案;(2)由x的范围可得的范围,可得f(x)的范围,结合三角函数在该区间的单调性,可得最值及对应的x值.试题解析:(1)所以、(2)因为,所以所以,所以,当,即时, ,当,即时, 、3.(1) (2) 最大值为-2,最小值为1.【解析】试题分析:(1)化简函数的解析式得,根据求周期;(2)先求出函数的单调递增区间,再求其与区间的交集即可;根据的取值范围确定函数在上的最大值与最小值。试题解析:(1) .所以的最小正周期.(2)令,函数的单调递增区间就是, .由,得, .设, ,易知.所以,当时, 在区间上单调递

7、增。,最大值为2,最小值为-1.点睛:解题的关键就是将函数化成f(x)Asin(x)的形式后,把x瞧成一个整体去处理,特别就是在求单调区间的时候,要注意复合函数单调性规律“同增异减”, 如果0,那么一定先借助诱导公式将化为正数,防止把单调性弄错.4.(1),最大值为1(2)【解析】试题分析:(1)先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式,再根据正弦函数性质求最小正周期及最大值;(2)根据正弦函数性质列不等式,解得函数的单调递增区间、试题解析:解: (1)当即时取最大值为1(2)令的单调增区间为5.(1)答案见解析;(2) 、【解析】试题分析:(1)整理函数的解析式可得,则函数的

8、最小正周期为;对称轴方程为;(2)结合函数的定义域与(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为、试题解析:(1) 由函数图象的对称轴方程为 (2)因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以 当时, 取最大值 1又 ,当时, 取最小值所以 函数 在区间上的值域为6.(1) (2) 【解析】试题分析:(1) ,令解得x即可() 求在上的单调区间,则令解得x,对k赋值得结果、试题解析:() 令,得,故所求对称中心为()令,解得又由于,所以故所求单调区间为、点睛:三角函数的大题关键就是对f(x)的化简,主要就是三角恒等变换的考查,化简成 类型,把wx+ 瞧成整体进行分析、7.(1);(2)单调递增区

9、间为;(3), 、【解析】试题分析:(1)由与差角公式及二倍角公式化简得: ,进而得最小正周期;(2)由可得增区间;(3)由得,根据正弦函数的图象可得最值、试题解析:(1) 、的最小正周期、(2)由 解得函数的单调递增区间为 (3) 当时, , 当时, , 、点睛:三角函数式的化简要遵循“三瞧”原则(1)一瞧“角”,这就是最重要的一环,通过瞧角之间的区别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)而瞧“函数名称”瞧函数名称之间的差异,从而确定使用公式,常见的有“切化弦”;(3)三瞧“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”等、8.(1)(2)在区间上单调

10、递增,在区间上单调递减、【解析】试题分析:(1)先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质得的最小正周期;(2)根据正弦函数性质求上单调区间,即得在区间上的单调性、试题解析:(1)(2)令,解得(), 在区间上单调递增,在区间上单调递减、9.() 最大值为,对称中心为: ;() 递增区间: 与;递减区间: 、【解析】试题分析:(1)由正弦的倍角公式与降幂公式,f(x)可化简为,可知最大值为2,对称中心由,解得x可求。(2)先求得f(x)最大增区间与减区间,再与做交,即可求得单调性。试题解析:() ,所以最大值为,由,解得x=,r所以对称中心为: ; ()

11、先求f(x)的单调增区间,由,解得,在上的增区间有与。同理可求得f(x)的单调减区间,在上的减速区间有、递增区间: 与;递减区间: 、10.(1) ;(2) 的取值范围为【解析】试题分析:(1)由题意结合诱导公式与同角三角函数基本关系整理函数的解析式为:f(x)2sin,结合三角函数的周期公式可知T、(2)原问题等价于,结合函数的图象可得或,求解不等式可得a的取值范围为、试题解析:(1)f(x)2cosxcos(x ) sin2xsinxcosx cos2xsinxcosx sin2xsinxcosx cos2xsin2x2sin, T、(2) 画出函数在x的图像,由图可知或故a的取值范围为、

12、11.(1)(2)【解析】试题分析:(1)由三角恒等变换化简得,由可解得增区间(2) 由得, ,由余弦定理得,即 即得试题解析:(1)由题意知 ,由 可得所以函数 的单调递增区间就是(2)由得,又为锐角,所以、由余弦定理得: ,即,即 ,而,所以12.(1) 函数的单调增区间为 ;(2) 、【解析】试题分析:(1)由化一公式得,得结果;(2),再由余弦定理得、化简可得: 、(1)由,、得:、函数的单调增区间为,、(2),即、可得,、,、由,且的面积为,即、由余弦定理可得:、13.(1), (2)a最小值为1、【解析】试题分析:(1)利用二倍角公式与两角与差公式将原式子化一;(2)由得到,;由余

13、弦定理得 最小为1;(1) = 的最大值为2. 要使取最大值 ,故的集合为 、(2) , 化简得 ,只有 在 中,由余弦定理, ,由 当 时等号成立, 最小为1、点睛:(1)要求三角函数的最值,就要化成,一次一角一函数的形式;(2)巧妙利用三角函数值求得角A,再利余弦定理得边的关系,得到最值;14.(1)(2)【解析】试题分析:(1)先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数: ,再根据正弦函数周期性质求,并根据单调性性质求单调增区间(2)先根据正弦定理将边化为角,由诱导公式及两角与正弦公式化简得,即得,根据锐角三角形得A取值范围,根据正弦函数性质求的取值范围、试题解析:(1),最小

14、正周期为,令,即,的单调递增区间为、(2),整理得: , , ,锐角三角形,且,、15.()f(x)=sin(x+),;() 、【解析】试题分析:(1)利用向量的坐标运算得到,再由f(-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以+=+k,进而得到=,利用三角函数的性质求解单调区间即可;(2)将f(x)的图象向右平移单位得g(x)= sinx,即sinx+1ax+cosx在x0,上恒成立,利用数形结合分别研究h(x)=sinx-cosx与(x)= ax1即可、试题解析:()f(x)=sinxcos+cosxsin=sin(x+),再由f(-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于

15、直线x=对称, +=+k,kZ,又|,= f(x)=sin(x+), 由2k- x+2k+可得2k-x 2k+, 函数的递增区间为2k-,2k+,kZ; ()由图象平移易知g(x)=sinx,即sinx+1ax+cosx在x0,上恒成立.也即sinx-cosxax-1在x0,上恒成立、 令h(x)=sinx-cosx=sin(x-),x0,;(x)= ax-1 如下图:h(x)的图象在(x)图象的下方, 则: a kAB=,故、16.(1)f(x)=2sin(2x+)+1;(2)单调递增区间为 +k, +k,kZ.【解析】试题分析:(1)先根据向量数量积得函数关系式,再根据二倍角公式以及配角公

16、式将函数化为基本三角函数,最后根据正弦函数性质求 (2)根据正弦函数性质列不等式: ,再解不等式可得增区间试题解析:解:(1)向量=(2cos,sin),=(cos,2cos),(0),则函数f(x)=2cos2+2sincos=cosx+1+sinx=2sin(x+)+1,f(x)的最小正周期为,=.解得=2,f(x)=2sin(2x+)+1;(2)令+2k2x+2k,kZ,即+kx+k,kZ,f(x)的单调递增区间为+k,+k,kZ.17.(1)(2)见解析(3)【解析】试题分析:(1)直接由函数图象求得与周期,再由周期公式求得,由五点作图的第三点求;(2)由先平移后改变周期与先改变周期后

17、平移两种方法给出答案;(3)由求出,然后把转化为余弦利用倍角公式得答案.试题解析:解:(1)、 (2)法1:先将的图象向左平移个单位,再将所得图象纵坐标不变,横坐标压缩为原来的倍,所得图象即为的图象、 法2:先将的图象纵坐标不变,横坐标压缩为原来的倍,再将所得图象向左平移个单位,所得图象即为的图象、 (3)由,得: , 而、点睛:图象变换(1)振幅变换 (2)周期变换 (3)相位变换 (4)复合变换 18.(1)与。(2)、【解析】试题分析:整理函数的解析式为、(1)利用正弦函数的单调性可得函数在上的单调递增区间就是与。(2)由题意可得,则、试题解析: 、(1)令 得所以函数在上的单调递增区间

18、为与。(2)因为,所以因为,所以所以=19.(1);(2)【解析】试题分析:利用与差角及二倍角公式对函数化简可得 (1)令,解不等式可得答案;(2)由及0A可得,利用向量数量积的定义可得,bc=2,利用余弦定理可得可得又ABC中,从而可求试题解析:(1)= 由得,故所求单调递增区间为.(2)由得,即,bc=2,又ABC中, =,20.(1), 1(2)在,上单调递增;在,上单调递减. 【解析】试题分析:(1)整理函数的解析式,则函数的最小正周期为,最大值为;(2)结合(1)中函数的解析式与三角函数的性质可得函数在上单调递增;在上单调递减.试题解析:(1)f(x)cosxsinxcos2xcos

19、xsinx (1cos2x)sin2xcos2xsin(2x),因此f(x)的最小正周期为,最大值为 1 (2)当x,时,2x、易知当2x,即x时,f(x)单调递增,当2x,即x时,f(x)单调递减.所以f(x)在,上单调递增;在,上单调递减. 21.(1)(2)0,3【解析】试题分析:(1)根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质求单调增区间;(2)根据自变量范围求范围,再根据正弦函数性质求值域试题解析: (1)由,得, 函数的单调增区间为、(2)因为, , , 、22.(1)(2)【解析】试题分析:(1)由两相邻对称轴间的距离为可得半个周期为、进而求出,由偶函数可

20、得,由三角函数恒等变形可得、代入自变量即得的值;(2)先根据图像变换得到的解析式、再根据余弦函数性质求的单调递减区间、试题解析: 解:(1)为偶函数,对恒成立,、即: 又,故、由题意得,所以故,(2)将的图象向右平移个单位后,得到的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象、当,即时,单调递减,因此的单调递减区间为、点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握、无论就是哪种变形,切记每一个变换总就是对字母而言、 函数就是奇函数;函数就是偶函数;函数就是奇函数;函数就是偶函数、23.(1) 的递减区间为;(2)当

21、时, 取最小值为、【解析】试题分析:(1)整理函数的解析式,据此可得的递减区间为;(2)结合(1)中函数的解析式讨论函数的单调性,然后结合三角函数的性质可得当时, 取最小值为、试题解析:(1)要求函数的递减区间,只需满足,即,所以, 的递减区间为(区间开闭均可,不写扣1分,不写成区间扣2分)(2)由(1)知 ,而,所以, , 当时, 单调递减,当时, 单调递增,所以,当,即时,取最小值为、24.(1);(2)、【解析】试题分析:(1)将函数化为,求出对称中心与单调递减区间;(2)由函数图象的伸缩变换与平移变换变换得到函数的图象。试题解析;(1) , 令得, ,所以,即的对称中心为由得, ,所以函数的单调递减区间为、(2) 由(1),将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的(纵坐标不变),得到,将其向左平移个单位长度,得到函数的图象,则,即、