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1、以点带面 融会贯通-“点到平面的距离”教学实录1 背景05年11月，笔者受浙江省教研室、浙江省特级教师协会的委托，到浙江省丽水市遂昌中学送教，在该校高三（1）班上了一节立体几何复习课，参加活动的有丽水市各普通高中的数学教师代表，课题是空间距离的求法，笔者以2003年全国高考数学试题（文史类）的第17题（第一个解答题）的第（II）问为例题，与学生对这个题目进行了的深入的研究、讨论、探索通过这堂课，不仅使学生掌握了求点到平面距离的一些常用方法，提高了学生的思维能力，而且让学生体会数学发现的快乐2 点击各样距离,聚焦点面距离.教师：我来自千里之外的宁波北仑,中国有句古话,叫做“有缘-”学生：“有缘千
2、是里来相会”，教师：对! 相聚确实是一种缘分，今天我和大家能相聚在这里，也是一种缘分，但愿我们能愉快地度过这45分钟.且彼此都留下美好的印象.今天我们要讨论的话题是如何求距离到现在为止我们已经学过那此距离？学生：点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离、直线到直线的距离、直线到平面的距离、还有平面到平面的距离等等教师：在空间中特有的距离有哪几种？学生：异面直线间的距离、直线到平面的距离、点到平面的距离、两平行平面间的距离教师：即“四大距离”相当于蒋、宋、孔、陈四大家族.都是很重要的,这里有个问题,我今天讲课题是点到平面距离,为什么不是其它距离呢?好像我只对点面距离情有独钟,你能说出点到平面的距
3、离，是靠什么“什么魅力”把吴老师深深的吸引？你能明白我的心吗？学生：点面距离最重要!教师：难道其它距离就不重要了吗?还是让我们先设法弄清楚这四大家族的关系如何？为什么点面距离是最重要的,先看一看面面距离是如何定义的？学生：两平行平面公垂线段的长即为两平行平面间的距离（用讲台桌面和一书本作为模型）.教师：你是如何求两平行平面间的距离的？ 学生：只要求出其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离即可.教师：即要求面面距离只须求-学生：只须求点面距离.教师：即面面距离可化归为点面距离让我们再瞧一瞧线面距离（用教鞭及讲台桌面作为模型）线面距离是如何定义的？学生：直线和平面平行时，直线上的任意一点到平面
4、的距离即为直线到平面的距离.教师：即线面距离必须化归为点面距离.最后让我们来看一看异面直线间的距离,(作出图形)学生：异面直线的公垂线段的长即为异面直线的距离.教师：照理说要求异面直线的距离必须画出异面直线的公垂线段,但要画异面直线的公垂线段是一件很不容易的事情,如图是异面直线,AB是它们的公垂线段,过点B作的平行线,则直线确定的平面和的关系如何?学生：平行!教师：AB和平面M的关系如何?学生：垂直.教师：AB的长即为A到平面M的距离,即为直线到平面M的距离.所以异面直线的距离也可以化归为线面距离,最终可化归为点面距离,由此可知,这四个距离中家族中,起决定作用的法人代表是谁?学生：是点面距离.
5、3 给出典型问题,引导学生探索.教师：毫无凝问,点面距离是众多距离中决定作用的法人代表，是众多距离中的最耀眼的明星，老师也是追星族,对点面距离情有独钟一点也不奇怪了.下面我们设法把这个法人代表搞定.今天我们用一节课时间就做一个题目，请大家看手头中的讲义，先请大家试着做一做(:学生各自解答讲义中的例题,教师在黑板上画好基本图形)例题（由2003年全国高考试题改变）已知：正四棱柱中，点为的中点.求:点到平面BDE的距离.教师:为了叙述方便,我们所求的点称为“目标点”，如本题中的目标点为，所涉及的平面称为目标平面，如本问题的目标平面为平面下面请各位同学试着做一做！4 展示各种解法,总结思想方法.（大
6、约六、七分钟后）教师：下面请同学们展示一下自己的解法，这种机会是很难得，哪位同学先勇敢地站起来介绍一下自己的解法？好的，请你先说一说总的思路和方法！学生：我是用体积法做的教师：哪就是说没有画出垂线段！学生：因为是边长为的正三角形，所以其面积为，接下去求出三棱锥的体积教师：其体积是如何算？学生：的面积为1，高BC也为1，所以其体积为，点到平面的距离为教师：大家听清楚了吗？学生：清楚了.教师：他说得好不好?学生：好!教师：大家鼓励一下.学生：(掌声.)教师：我们给这种方法取个名字.学生：运用体积法.教师：运用体积法的解题程序如何.第一步干什么,第二步干什么?学生：先看中一个四面体，再求它的体积，再
7、求出所求点对面的哪个面的面积 （板书：运用体积法 图形体积面积结论）教师：这是最简捷的解法,也是最美的解法,如果是考试时解题,我们就可以到此为止了,因为考试解题一题一解即可,且最好能把你的绝活亮出来,越简捷越好,是以拿到分数为目的.而平时做题则不同,是以提高能力为目标的，我认为要高考数学要取得好成绩，必须要解决的问题是政策和对策的问题，即所的谓的“上有政策，下有对策”，对于求点面距离这个政策，你还有哪些其它对策呢？今天，不管是漂亮的方法，还是丑陋的方法，都给以亮相的机会，下面接着展示学生：我是用坐标法做的教师：你是如何建立直角坐标系的？学生：以D为原点，用右手坐标系（教师作图）可经得到：,教师
8、：请问你其它点的坐标为何不写了？学生：写了也白写！教师：对写了也白写还不如不写下面干什么事情？学生：求出平面的一个法向量，设法向量为，而,由且，可得法向量为教师：法向量求出以后干什么用呢？学生：可以求出距离了，的长以及它和法向量的夹角都可以知道，由此可得点到平面的距离=教师：我们也给这种解法取个名字，学生：坐标法教师：对，空间坐标法，用空间坐标法的解题程序又如何呢？学生：先建立空间直角坐标系，相关点用坐标表示之，求出目标平面的法向量，再找一条过目标点的斜线段，由内积公式求出它和法向量所成的角，最后终得距离（板书：空间坐标法 建坐标坐标化法向量斜线段算夹角求距离）教师：前面两位同学的都比较狡猾，
9、没有按照点面距离的定义，画出点到线的距离，画出距离可不可以呢？学生：设正四棱柱两底面的中心分别; 则只须求出点到平面的距离教师：为什么？学生：因为平面教师：你为什么要把所求的点转移到点学生：因为点不好商量，过作平面DBE的垂线画出来，教师：所以我们要让这个点跑到面的里面,下面说一说你是如何作辅助线的，你怎么说我就怎么画,如果我是电脑,那么你是鼠标.学生：先证明平面与平面DBE垂直，交线为OE，再作于H,则平面DBE.则即为 点到平面的距离教师：下面问题即化归到求等腰三角形一腰上的高的问题，这里这不放慢镜头了.这种招式也是求点面距离的常用招式,我们也给它取个名字,怎么样?学生：-教师：这种解法的
10、要点是先逃跑,后作垂线,先实行战略转移,再作距离, 学生：逃跑转移法教师：不够文明,还是叫平行转移法吧!平行转移法的解题的主要步骤如何?学生：第一步,先找一条直线,使目标点可以在这条直线上跑,第二步,找一个好位置再作目标平面的垂线,教师：怎样才算好位置呢?学生：能画出垂线的位置教师：“足”是什么，足就是脚，就是要使其有“立足之地”，什么情况下保证有立足之地呢？这里有一个基本的套路，我介绍一下，当两个平面垂直时，有何重要性质？学生：面面垂直，则线面垂直教师：即当两个平面垂直时，可在其中一个平面内，过某一点作两平面交线的垂线（用模型），则这条直线与另一个平面垂直了，刚在为什么我们看上点呢？因为生长
11、在平面中，且平面和基本平面是垂直的（板书：平行转移法 找线找点画垂线算距离）教师：用平行转移法的前提是能找到一条过目标点且与目标平面平行的直线，即为目标点设计一条逃跑的通道，且在这条通道上能找到一个好的点，若不具备这些条件，这种法显然不灵了是否还有其实它方法？学生：线段的中点为, 到平面的距离为,则点到平面的距离为2.教师：所以只须求出点到平面的距离，用的方法还是转移法作图方法如何？学生：由平行转移法可知，平面和平面垂直，且交线为，作于,则平面.只须求的长即可教师：其解题的基本步骤如何？学生：与平行转移法差不多教师：还是找线找点画垂线算距离，但找的线不是平行线，而是过目标点的作目标平面的一条斜
12、线段.这样做的理论根据是什么?(教师作图)学生：理论根据是相似比,如图A、B两点到平面的距离之比等于与的长度之比教师：所以我们把这种方法叫做-学生：比例转移法（板书：比例转移法 找线找点画垂线算距离）教师：平行转法也好，比例转移法也罢，执行的都是逃跑主义路线，难道这个点真的有怎么臭吗？过点作平面的垂线难道真的很难吗？现在我要求大家安慰一下这颗受伤的心，即坚定不移地过点作平面BDE的垂线，学生：-教师：垂线段不好作的原因是什么？学生：的腿没地方去伸了，教师：刚在我们用转移法时，把目标盯在哪个点上，其实也可以换一个角度，也可以让基本平面有所表示，画大一点不就得了学生：延长和交于点G，连接.且.即.
13、 平面.平面平面且交线为. 作于K,则平面,即平面.即为到平面的距离.教师：这种方法可能是比较傻的方法了，它好象是排球比赛中的高点强攻，我们也给一个名字，叫做“直接构作法”，你认为直接构作法的解题的关键是什么？学生：能过找到一个过目标点，且与目标平面垂直的平面，教师：找到了又怎样呢？学生：找到后，只须过目标点，作这个平面和目标平的交线的垂线即可教师：对，面面垂直，则线面垂直.(板书: 直接构作法 找垂面作垂线算距离)5 类比二维问题,猜想距离公式.教师：在三维空间中的求点到平面的距离,相当于在二维空间中的什么问题？学生：相当于求点到直线的距离教师：点到直线的距离的问题我们是已经彻底解决了的,既
14、可以定性分析,又可定量分析,在平面解析几何中,若点的坐标为，直线的方程为：则点P到的距离为多少？学生：, 教师：在平面点的坐标可以用两个量表示，在空间点的坐标可以用三个量表示,如，在平面中，直线的方程是关于的二元一次方程，可以写成形如的模样，那么，在空间，你认为平面的方程应该长啥模样？学生:猜想平面的方程也是一个关于的三元一次方程,教师：可以写成怎样的形式？学生：可以写成形如的形式教师:如果点,平面，则点到的距离是多少，是否也有类似的公式?请大家大胆猜想学生： ,教师：事实上这个公式也可以给出证明，其证明的思想方法与点到直线的距离 公式的证明方法类似，有兴趣的同学不妨去试一试若这个公式可能拿来
15、用，则求点到平面的距离还有第六种方法，即运用公式法下面大家运用这个公式再计算一下本题学生：由空间坐标法的解法可知，平面BDE的方程式为:所以其距离为.教师：你认为用公式法求点到平面距离的解题的操作过程式如何？学生：先建立坐标系，再求出目标点的坐标，再求出目标平面的方程，代入公式即得点到平面的距离.(板书：应用公式法 建坐标定坐标定方程代公式得结论)6 再析原题风采,让其原形毕露.教师：现在还有几分钟时间，让我们再回首，再欣赏一下原题，看了这个图形，我们是否有似曾相识感觉？学生：教师：我们平时做题，在各年的高考数学试卷中，出现最多的图形是正方体，学生：它是由两个正方体组合面成的，教师：只要过点E
16、把它“一刀两断”，即分解为两个单位正方体了所以本题的原型仍是正方体根据“比例转移法”，问题也可化归为求的中点到平面的距离，即化归为正方体的一个顶点到某一平面的距离本题事实上是这样的问题，给定一个正四棱柱，求其中的某一个特定的点到一个特定平面的距离这样的题目同学们自己也能编，下面请每位同学自己编拟一个类似例题的问题7 进行课堂总结,点评各种方法教师：到现在为至,我们求点到平面的距离已有几种招式?学生：六招教师：有时招式太多，也有消极的一面，因为在应试中将面临方法的选择，有时选择是一件很痛苦的事情，“六选一”哪就好好痛苦了，所以最后还是把它搞简单一点为好，我认为求点到平面距离，只要二选一就可以了，
17、要么画距离，要么不画距离，若画距离，你有哪几招？学生：直接构作法、平行转移法、比例转移法.教师:若不画距离,你又有哪几招?学生:空间坐标法,运用体积法,应用公式法.教师板书:教师:大家想一想,你认为是画出距离好?还是不画距离好?你是如何回答这个问题?学生:-教师:其实,我这个问题是难为大家了,这两类方法,好比是少林拳和武当剑,你说少林拳和武当剑哪个好?学生:各有千秋,教师:对,我们应该具体情况作具体分析,把少林拳和武当剑溶为一体,这样才能无敌于天下.8 体验牛刀小试,破解高考试题.运用上述各种解题对策,解答部分2005年高考数学试题的点到平面的距离的问题(详见课后练习)9 总结与反思：本案例中
18、选择的例题非常具有典型性，通过对这个例题的一题多解，能涵盖求点到平面距离的所有思想方法，达到一串数珠的效果；华罗庚先生曾说过，学习数学有两个过程：其一是由薄到厚，其二是由厚到薄，在高三复习过程中应是由厚到薄的过程；本案例基本达到这样的要求一代科学巨匠牛顿曾说过“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”，数学上的重大发现离不开大胆的猜想,本案中的点到平面的距离公式的形成不失为是类比推理的一个成功的案例注意讲授式教学与探究式教学的有机结合，由于教学时间、教学进度、教学内容、升学压力等条件的限制，每堂课都搞探究式，在现有的条件下不太可能，但整节课全用“满堂灌”式的方法显然是我们所反对的，因此每节课中一两小
19、段的探究还是要坚持的本案例基本能做到既突出学生的主体地位,又发挥教师的指导作用.由于教学内容的容量较大，课堂上各种解法均没有给出完整、规范的解答过程，课后由学生对照阅读材料自己完成. 对于点到平面的距离公式的证明,在课堂上也没有给出证明,其实这是一个很好的研究性的材料,本案例中也是以阅读材料的方式解决,其实在我自己的教学班中的教学中另外再用一课时加以研讨.收到了很好的效果.91本设计的几点说明：设计意图：空间距离问题是立体几何中的重点问题之一，而多数空间距离问题最终可化归为求点到平面的距离，本课试图通过对一个典型的各种解法的探讨，使学生积累解题经验，掌握求点到平面的距离的一些常用方法在做题的过
20、程中进行反思,在反思中总结、提炼，使学生的解题经验内化为方法和思想设计框架：合理化归提出问题自主探究合作交流类比发现归纳总结合理化归-探讨各种空间距离之间的关系，说明求空间距离的关键是如何求点到平面的距离创设问题情境，帮助学生构建和完善知识体系提出问题-适时提出本课时要解决的问题自主探究-学生自主探究问题的解法合作交流-师生交流各自的解法并加以点评,总结各种解法的解题程序类比发现-与二维空间中的点到直线的距离类比,发现三维空间中点到平面的距离公式.归纳总结-归纳总结求点到平面距离的常用方法及其操作程序.92 设计特色：1注意例题选择的典型性如何提高高考数学复习课的效率，是每一个高三教师关心的重
21、大课题通过运用“一题多解、一题多变、多题归一”的教学手段是提高复习效果的重要径本课选择一道典型的、入口面较宽的高考题，融一题多解与思想方法于一体2注意重视学生在教学过程中的参与和体验。学生是一题多解的探索者和发现者,本设计中注意给学生自主探索是机会,教师恰当地设置路标,导航引路,引导学生在解题实践中学会探索解题思路,领悟思路的探求,解法的发现,体验知识的发生和发展过程.3注意重视基本思想方法的教学.一题多解不能只满足于“量”的积累，而更应该重视“质”的提升，本案例中，对各种解法都进行了及时的归纳和总结，通过总结达到梳理知识脉络，整理知识结构，得到解决问题的通法注:本课例在由人民教育出版社和杂志社联合举办的2009年中学数学解题教学设计大赛中荣获高中组特等奖(且在四个特等奖中名列第一名).已发表在2010年3月（上旬）号上。
