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1、必修5 1.1.1 正弦定理（学案） 【知识要点】1正弦定理2正弦定理的变形【学习要求】1理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形2通过应用提高分析问题、解决问题的能力 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） （1）在中，是最大的角，所对的斜边是最大的边， 依据正弦函数定义得： .（2）在锐角中，设边上的高是，根据三角函数定义得： .（3）在钝角中，是最大的角，所对的斜边是最大的边，过点作垂直于交于点， .,即;同理可得： ，故2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它
2、所对角的正弦的比相等，即= = .结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！法一：（等面积法）在任意斜ABC当中，SABC=. 两边同除以即得：= = .法二：（外接圆法）如图所示，, .同理2R = .可将正弦定理推广为：= =2R（R为ABC外接圆半径）.法三：（向量法）过A作单位向量垂直于，由= + . 两边同乘以单位向量 得= .即+=. = . . = .同理，若过C作垂直于得： = =.3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=_； (2)= ；a=_,；b=_ ；c=_；(4)sinA=_；sinB=_；sinC=_.4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以
3、解决的问题：（1） ；（2） 5. 三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（1） 当A为锐角（2） 当A为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=进行讨论：如果sin Bl，则问题无解； 如果sin B=l，则问题有一解；如果求出sin Bl，则问题无解； 如果sin B=l，则问题有一解；如果求出sin BB .5. 在中，a:b:c=1:3:5,的值为_.【典型例题】例1 已知在解三角形.【审题要津】已知两角A,B，据三角形内角和求得第三角C，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，.根据正弦定理, .根据正弦定理, .【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形
4、时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在解：根据三角形内角和定理，.根据正弦定理, .根据正弦定理, .例2 （1）在（2）【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, 根据三角形内角和定理，.(2) 根据正弦定理, 或.当时，根据三角形内角和定理，当时，根据三角形内角和定理，【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由求角C时，讨论角C为锐角或钝角的情况. 【变式练习】在解三角形（角度精确到）.解：根据正弦定理, 因为所以或（1）当时，.(2) 当时，例3 不解三角形，判断下
5、列三角形解的个数(l)a=5,b=4 ，A=(2)a =9,b=l0,A= (4) c=50,b=72,C= 【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理或“大边对大角等三角形有关性质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数解：（1）因为A=是钝角，且a=5b=4 ， 所以此三角形只有一解 （2），由图可知该三角形有两解（3）因为C=，c=50 b=72,所以如下图知此三角形无解【方法总结】三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（5） 当A为锐角（6） 当A为直角或钝角也可利用正弦定理sin B
6、=进行讨论：如果sin Bl，则问题无解； 如果sin B=l，则问题有一解；如果求出sin Bl，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断例4 已知ABC中，bsin B=csin c，且试判断三角形的形状【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将可化为，由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，且又因为所以bsin B=csin c可化为即，故该三角形为等腰直角三角形【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用
7、的思路例4 已知ABC的面积为1，tanB=,tanC=-2,求ABC的边长以及ABC外接圆的面积.【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C的正切，利用同角的基本关系式进行转化.解：又解得于是又由正弦定理知： 外接圆的直径故ABC外接圆的面积为【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1在ABC中，下列等式中总能成立的是 ( D ) （A）acos C= ccos A （B）bsinC= csin A （C）absin C=bcsin B （D）aslnC=csin A2在
8、ABC中，已知a=18，b=20，A=，则这个三角形解的情况是 ( C ) （A）有一个解 （B）有两个解 （C）无解 （D）不能确定3在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=，b=1，则c等于(B ) （A） 1 （B） 2 （C） -1 （D） 4在ABC中，已知(b+c)：（c+a）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A：sin B：sin C等于 ( B ) （A） 6:5:4 （B） 7:5:3 （C） 3:5:7 （D） 4:5:6二、填空题5在ABC中，A= ，B= ，则=_ 6在ABC中，a=x，b=2，B= ，若三角形有两解，则x的取值范围为_7在
9、ABC中，已知a，b，c分别为内角A、B、C的对边，若b=2a，B=A+，则A=_ 三、解答题8 在解：根据三角形内角和定理，.根据正弦定理, .根据正弦定理, .9在ABC中，若a=2,A=，讨论当b为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当该三角形有两解，故时，该三角形有两解当该三角形有一解，故时，该三角形有两解当即该三角形有两解10.已知方程一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B为两内角,试判定这个三角形的形状 解：设方程的两根为由韦达定理得由题意得由正弦定理得在ABC中，故ABC为等腰三角形.1.（2007年北京）ABC中，若，则 2.（2007年全国）在ABC中，已知内角，边，设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值.解：(1) ABC的内角和,由，得.应用正弦定理得因为所以.（2）因为所以，当，即时，取得最大值
