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1、等比数列的前项和（第一课时）浙江省义乌中学 教材：人民教育出版社全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式
2、的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式
3、探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美三、教学重点和难点重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境公式推导公式运用；（二）过程与方法
4、线:特殊到一般、猜想归纳 错位相减法等转化、方程思想；（三）能力线：观察能力数学思想解决问题能力灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前项和公式的推导从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓
5、励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.五、教学过程教 学 过 程设计意图创设情境【漫画演示】话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元即后一天返还数为前一天
6、的2倍”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元；哇，发财了” 心里越想越美再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”【教师提问】(1)假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？(2)(观察数字特征，引出课题)依托市场经济背景，运用学生熟悉的人物编拟故事，以趣引思,激发学生学习热情.探究问题1.学生自主探究：2.解决情境问题3.师生共同探讨一般等比数列前n项和：即方法1：错位相减法方法2：提取公比q方
7、法3：利用等比定理 领悟数学应用价值从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高通过学生个别学习，互相讨论，揭示知识的内在联系. 通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的洞察力增强学生思维的严谨性.通过实物展示学生解决问题的方法，破除思维定势.辨析质疑1口答：在公比为q的等比数列中(1)若，则_（2）若，则_2判断是非： （ ） （ ）若且，则 （ ）3对公式的再认识(1)、对公比q的分类讨论(2)、公式中n的理解 剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式.巩固提高例1已知是等比数列，请完成下表：题号(1)(2)(3) 例2求等比数列的第5项到第10项的和方法1： 观察、发现：方法
8、2： 此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为，公比为，项数为变式1：求的前n项和变式2：求的前n项和（留作思考）熟练公式运用，着重强调公式的选择.本例由书中的例题改编而成，一题多解及变式,有利于提高思维的灵活性和梯度.反思拓广（一）小结引导学生从知识、思想、方法三个方面进行总结（二）思考“神舟六号”发射成功，某移动公司立即发出短信：“请你把中国神六发射成功的消息转发给10位朋友，并且注明您是第x位接收此消息的”假定这家公司发出的10条短信中的x值均为1，以后每一位收到短信后将x值都增加1，再将短信发出据统计，所发短信中x的最大值为10试问通过这家公司最多发了多少条短信
9、？从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学的学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径.作业布置(1)书面作业： 必做题：课本P129 练习3(1) 习题3.5 1选做题：画一个边长为2cm的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和(2)研究性作业：查阅“芝诺悖论”,并从数列求和的角度加以解释(参考网站: /x2/042.htm)布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展.提供参考网站，便于学生开展自主学习.六、教学设计说明1情境设置生活化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，
10、让学生学生初步了解“数学来源于生活”， 采用动漫故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.2问题探究活动化教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3辨析质疑结构化 在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系
11、.4巩固提高梯度化例1采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；例2由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.5思路拓广数学化从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径.以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学6作业布置弹性化通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间介绍相关网站让学生查阅有关资料，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数
12、学素养数学归纳法及应用举例第一课说课方案重庆市第二十九中学校 一、说教材 （一）教材分析本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体
13、验数学内在美的好素材。（二）教学目标学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）初步理解数学归纳法原理。（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
14、（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。2.能力目标（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。（三）教学重难点根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：1.重 点（1
15、）初步理解数学归纳法的原理。（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。2.难 点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。二、说教法本课采用交往式的教学方法。交往教学法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态开放，主体性和主动性凸现，独立的个性得到张扬，因而创造性得到解放。三、说学法本课以问题为中
16、心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。本课学生的学习主要采用下面的模式进行：观察情景提出问题分析问题猜想与置疑（结论或解决问题的途径）论证应用。探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习，在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔的精神。学生掌握了这种学习方法后，对学生终身学习，终身发展都有积极意义，这就是让学生学会学习。四、说教学过程主干层次为：创设情景（提出问题）;探索解决问题的方法（建立数学模型）;方法尝试（感性认识）;理解升华（理性认识）;方法应用（解决问题）;课堂小
17、结（反馈与提高）。教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。具体过程安排如下：（一）创设问题情景1.情景创设情景一：生活中的实际例子（摸出球的颜色问题）情景二：已知数列的通项公式，学生分别计算、的值，猜想的值，计算的值。请学生创设一个由有限多个特殊事例得出一般结论的数学公式。情景三（学生自己创设）：学生共同回顾等差数列通项公式推导过程： 2.学生观察、分析以上三个情景，提出与分析问题，得出结论。 3.结论：这些用有限多个特殊事例得出的结论，有的正确，有的不正确。
18、因此不能作为论证的方法。下面教师用教学语言讲述：等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，一但错误，我们已建立的数列大厦必将倒塌，必须对其进行抢救性证明，如何证明这类有关正整数的命题呢？（二）探索解决问题的方法1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏。师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件： （1）第一块要倒下; （2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下; 当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。 2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）。（1）n取第一个值(例如 )时命题成立;（2）假设 n=k(k)命题成立，利用它证明n=k+1
19、 时命题也成立。 满足这两个条件后，命题对一切n均成立。（三）方法尝试 师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。 其中假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。 （四）理解升华1.置疑 对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。2.论证（说理） 师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为理性认识。本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一个命题满足上面（1）、（2）两个条件时时命题成立时命题成立即对一切，命题均成立。让学生对以上逻辑推理进行充分置疑师生共同探讨数学归纳法的合理性。思考：根据以上逻辑推理。 条件（1），条
20、件（2）分别起什么作用？ 条件（1），条件（2）为什么缺一不可？3.方法总结： 学生总结用数学归纳法证明命题的两个步骤：（1）n取初始值 (例如)时命题成立;（2）假设时命题成立，利用它证明时命题也成立。（五）数学归纳法的应用例 1 用数学归纳法证明： 本例主要由学生完成，教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。 教师主要引导学生参与讨论的内容是：1当时，证明的目标是什么？2 当时，能否这样证明：时，等式成立根据时间，练习12个题目（根据学生学习情况而定，充分体现学生学习的主动性，自主性）备选题目是：用数学归纳法证明：1. 2.首项是，公比为的等比数列的通项公式是(六）小结（师生共同完成）1数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。2数学归纳法证明命题的两个步骤。3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。4证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。 5证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标。（七）布置作业 高中数学第三册（选修）习题2.1第1、第2两题。五、说板书数学归纳法证明：探究数学归纳法原理证明： 说明：学生课堂练习在展示平台上展示。的推导过程和对的探究在副板书上进行。小结与作业在多媒体上显示：
