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1、椭圆焦点三角形面积公式的应用性质1(选填题课直接用，大题需论证): y F1 O F2 xPP在椭圆（0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，则.证明：记，由椭圆的第一定义得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.同理可证，在椭圆（0）中，公式仍然成立.典型例题例1 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求的面积.例2 已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 例3（04湖北）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 或答案：例1 若P是椭圆
2、上的一点，、是其焦点，且，求的面积.解法一：在椭圆中，而记点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：在中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，而解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2 已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 解：设，则，故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 或解：若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又，故答案选D.金指点睛1(略).
3、 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积为1时，的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积最大时，的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 4已知椭圆（1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（ ）A1 B C D5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.6已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且
4、， 的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.答案1. 解：，.故答案选D.2. 解：设， ，.故答案选A.3. 解：，设， ，当的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，.故答案选D.4 解：，又，从而.故答案选C.5. 解：设，则. ，又，即.解得：.所求椭圆的标准方程为或.6解：设，.，.又，即.或.当时，这时椭圆的标准方程为；当时，这时椭圆的标准方程为；但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为.性质二：有关角的问题已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。问题1. 椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当为直角
5、时，点P的横坐标是_。问题2：椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当 为钝角时，点P横坐标的取值范围是_。变式1.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） （09江西）A B C D问题1. 椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当为直角时，点P的横坐标是_。方法1：设，则当时，点的轨迹方程为，由此可得的横坐标为方法2：利用性质一 方法3：【分析】令|F1P|=m、|PF2|=6-m， RtF1PF2中，由勾股定理可得m2+(6-m)2=20问题2：椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当 为钝角时，点P横坐标的取值范围是_。问题分解：方法1：设，则当时，点的轨迹方程为，由此可得的横坐标为，所以点P横坐标的取值范围是方法2：利用性质一问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？解题的关键在于点动，发现的大小与点P的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。变式1.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ） （09江西）A B C D
