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1、浅谈数形结合的解题应用内容摘要：数形结合是一种重要的数学思想，它用数的精确性来阐明图形所具有的某种属性，同时，用图形的直观性来表现数与数之间的内在联系，数与形在一定条件下是可以相互转化的，它们是一个不可分割的整体。纵观近年来的高考题发现，融数与形的试题屡见不鲜，也体现了数形结合在数学学习中的重要地位。而大量事实反映，恰当地应用数形结合思想解决数学问题，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，进而优化解题途径，达到事半功倍的效果。在中学数学中，数形结合在集合、函数最值、方程与不等式、线性规划、解析几何、立体几何等问题中，都有非常重要的作用。而运用数形结合的方法，帮助学生类比、发掘、剖析数学问题中所
2、具有的几何模型，对于帮助学生深化思维，扩展知识，提高解题效率都有很大的帮助。关键词：数；形；数形结合曾经的高中数学教材分为代数、立体几何、解析几何三个部分，而现行的高中教材仅有一本数学，这更有利于数与形的结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难人微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合的目的就在于以形助数，那到底“形”是怎样助“数”的呢，数形结合的魅力又到底在哪里呢？下面根据自己这几年来的教学经验，结合实例谈谈自己对巧用数形结合思想解题的一些认识。一数形结合思想在集合问题中的应用。例1：设集合M(x,y)|x2y21,xR,yR，N(x,y)|x2y0,xR,yR，
3、则集合M N中元素的个数为（）A1B2C3D4分析：若此题直接联立方程组将得到，虽然可解出的值，进而再解出值，但这将花掉较多时间。实际上，若我们仔细观察将不难发现，此两个集合的元素个数就是方程x2y21所表示的圆与x2y0所表示的抛物线的交点个数，很明显，由图可知，应该有个交点，故两集合就有个元素。例：已知全集，、是是的两个子集，且满足，求、。U191113217分析：此题是集合问题中一道典型的数形结合问题，它无法通过运算求解，只能借助于形的帮助，方能轻松解决。根据题目条件可将各元素作在韦恩图的相应集合内（如右图），由图可知道。二数形结合思想在函数最值及值域问题中的应用。例1：函数的最小值为
4、分析：此题考察学生对知识的灵活应用，若问题得不到恰当转化，那么求解此题就没有可能，此问题怎样转化才行呢：如此，原函数的最小值就转化成了点到点与点的距离和的最小值求解问题，由图可知道，由于点始终在轴上滑动，所以，最小值就是点与点的距离例2：已知，则的取值范围为 分析：此问题可利用二元一次方程将二元问题转化为一元问题后，利用常数分离法将化为后利用单调性进行求解，但做起来却较麻烦。若能正确认识此分式所表达的几何意义，问题将得到非常简便的解答：因为，所以，表示的几何意义就是点与点的斜率，从而，问题就转化成了线段上的点与点连线斜率的取值范围，如图可知：,，所以的取值范围是例3：（1）求函数的值域，（2）
5、求函数的值域分析：问题（1）显然可用判别式法比较轻松地求解，而问题（2）便不能使用判别式法，虽然问题（2）可转化为方程在上有解，借助实根分布的相关知识求解，但却仍然显得较为麻烦。问题（2）利用换元法，令可得，又由的图像（如图）可知的取值范围是，进而可知道值域为三数形结合思想在方程与不等式问题中的应用。1例1：方程的实数根的个数是_个分析：此方程为一个超越方程，显然是无法求解的，那么解此问题的关键就是把方程的根的个数问题转化为两个函数图像的交点个数问题。可令，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图像（如图），由图可以找到两个函数图像的交点一共有3个， 进而方程的实根个数是3个例2：若32，则x的取
6、值范围是（）A、（，） B、（， ）C、（，0）（，+） D、（，）（，+）2 分析1：本题可把元不等式等价转化为，通过求两个分式不等式构成的不等式组达到求解本题的目的，但此做法较慢。分析2：用函数y=的图象求解，则比较简单。如右图不难得出32的解是或，故选D例3：设，关于的一元二次方程有两实根，且，求的取值范围分析：此题告诉我们方程有两个根，所以可考虑解出两根，再把两根带入求解不等式即可。显然这样的思路想来简单，但求解却是非常困难的事情，所以我们不得不考虑其他办法。若我们令:那么问题就可以转化为二次函数与轴应有12两个交点，而交点的位置一个在内、一个在内，由图可列出图像应满足的条件并求解：四
7、数形结合思想在线性规划问题中的应用。例1：某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A 5种 B6种 C7种 D8种 分析1：该题可用例举法一一例举出结果分析2：利用线性规划知识求解：设需买软片片、买磁盘盒，由题意知： 上述约束条件所表示的平面区域为如右图所示的阴影三角形上。整点（，）共有7个，即为（3，2）、（4，2）、（5，2）、（6，2）、（3，3）、（4，3）、（3，4），共有7种不同的选购方式 故选 C前一种方法虽然可以求解该题，但花费时间较长，且容易漏解，第二种方法解该
8、题却显得既准确又快捷。例2：若满足，则的最小值是_分析：我们可以根据约束条件先做出约束条件所表示的平面区域如图（1）， 但得最小值依然无法求解，这是因为我们还未找到解题的途径，只有将正确转化后， 图（1）方能知道此题的解题关键所在，因为表示的是区域中的点到直线的距离的倍，即 求的最小值只需求出区域中的点到直线距离的最小值后乘以，便得到了此题所要求的最小值。而由图（2）可知道，区域中的点A（0，0）到直线的距离最小为，所以此题的最小值是1 图（2）五数形结合思想在解析几何中的应用。例1：求函数的取值范围分析：该题可利用三角函数的有界性进行求解，但计算量稍大，对于计算能力较差的同学，很容易出错导致
9、失分，若能找到计算更简单的方法是最好不过，而这样的方法确实存在。我们还是首先要将该函数进行恰当变形，使得式子显示出它的特点，因此，该函数表达点与点连线的斜率值，而点的未定，故而该点是一个动点，但该点的运动是有规律的，它形成的轨迹恰好是以原点为圆心、为半径的圆，因此，原函数也就表示该圆上的点与点连线的斜率值（如图），由此，问题进一步转化成过点的直线与该圆有公共点时斜率的取值范围，所以由可以解得，所以的取值范围为。显然，此方法的计算量比用有界性法求解小很多。例2：已知点A（1，2）在椭圆内，右焦点，P为椭圆上的动点，求的最小值分析：此题无法通过设点P并用函数知识求最小值，只能靠数形结合求解方能见效
10、。但也应先对问题进行恰当转化，由方程不难得到，由椭圆第二定义可以知道（其中，是点P到右准线的距离），那么，进而=，所以求的最小值即是求最小值，如右图所示，最小值就是点A到右准线的距离，所以例3：已知椭圆的左右焦点分别为，B（2，2）是椭圆内一点，P为椭圆上的动点，求的最值分析：因为，所以进而，那么，求 的最值就转化成了求的最值，从右图可以知道，P在E处时，有最小值，P在F处时，有最大值，所以得最大、最小值分别为6、10。此问题与上个问题不同，却有相似，不同点在于转化的方式方法不同，相似点在于它们都需要借助图形以辅助求解。六数形结合思想在立体几何中的应用。在前面的问题中，都是需要将一些关于数的计
11、算问题转化成图形问题以辅助求解，而立体几何问题却恰恰相反。大多立体几何问题用纯图形知识求解，就比较麻烦、困难，若恰当的转化成数的问题，却又显得较为简单，下面有这样一个例子。例：在正方体中，E、F、G分别是、的中点，求证：证明（几何法）：连结 是在面上的射影又是正方形 又E、G分别是的中点 进而由三垂线定理知：同理可证：证明（代数法）：设正方体棱长为2，并建立图示坐标系，则：， 即 即从这两种解法看来，利用空间向量的坐标运算，把原来较为复杂的纯几何逻辑推理转化成了现在较为简单的向量计算问题，大大节省了解题的时间。而在立体几何中，像这样的转化方法不胜枚举。 从上面各种数形结合的实例中可以看出，充分
12、抓住数与形的内在联系去探索问题，将会对问题的最终解决起到事半功倍的效果。数与形是一个不可分割的整体，数是形的精确描述，形是数直观体现，少了谁都将是不完整的，而发现数与形中存在的美丽联系是我们作为一个数学教育者一生不懈的追求。总而言之，问题是数学的心脏,提出并解决问题是推动数学发展的动力。而数形结合就是高效解决数学问题的一个有力工具,也是中学数学中解决问题的重要方法之一。若我们的学生能恰当地利用数形结合思想提高解题效率，就更有机会在高考的大军中突围而出，抢占一席之地，然而，数与形的结合方式多种多样，不同的问题往往有不同的方法，因此数形结合这一思想方法的学习是无法通过一两道例题就能解决的，数形结合的思想需要渗透在学习新知识和运用知识解决问题的过程之中，这就需要教师在教学过程中把握时机,选择适当的方法,使学生在潜移默化的过程中逐步领悟并学会运用这一思想方法去解决问题。
