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1、第六章 定积分的应用一、基本要求及重点、难点 1、 基本要求：（1）理解定积分的元素法。（2）掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单几何量（如平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长等）和物理量（如功、水压力等）的积分表达式。2、 重点及难点：（1）重点：一些简单几何量的定积分表示 （2）难点：定积分的元素法二、内容概述1、(1) 应用定积分的元素法，关键是根据题中的具体条件，利用几何或物理的知识，求出所求量的微元。步骤为：(a) 选取坐标系，确定积分变量并确定其变化区间a，b。(b) 任取一个小区间x，x +dx a，b，计算在这个小区间上部分量的近似值，(
2、c)求解定积分(2) 重点掌握求平面图形的面积，先作平面区域的大致图形，根据具体条件选用适当的坐标系，在直角坐标系下，选取适当的积分变量和积分区间，然后写出面积的积分表达式进行计算；若平面图形由曲线及围成，则平面图形的面积为。在极坐标系下，若有曲线及射线所围成的曲边扇形，则曲边扇形的面积为；若有曲线及（）射线所围成的曲边扇形，则曲边扇形的面积为；(3) 重点掌握求立体的体积：(a) 旋转体的体积：绕x(或y)轴旋转，取x(或y)为积分变量，并确定x(或y)的积分区间；(b) 已知截面面积求体积：重点找出x点处截面面积函数(4) 重点掌握求平面曲线的弧长，重点掌握参数方程所表示的曲线弧的弧长。2
3、、面积公式 分类 公式 图例 直 角 坐标系 极坐标系由曲线分段连续及与x轴所围成的曲边梯形的面积：由曲线分段连续及与y所围成的曲边梯形的面积：由曲线分段连续及所围成的曲边图形的面积：由曲线分段连续及所围成的曲边梯形的面积：若曲线由参数方程表示 上具有连续导数，连续，则该曲线与轴所围成的曲边梯形的面积：A=由曲线及射线所围成的曲边扇形的面积：由曲线及射线所围成的平面图形的面积：2、体积公式； 分类 公式 图例平 的面 立截 体面 的已 体知 积物体位于之间，过点x且垂直于x轴的截面面积为，则立体的体积为： 旋 转 体 的 体 积由曲线，直线及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体体积为：
4、 由曲线，直线及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体体积为： 3、平面曲线的弧长 分类 公式 直角坐标设为光滑曲线，则在弧段上弧长为：参数方程若光滑曲线由参数方程给出，则曲线弧弧长为： 极坐标若曲线弧由极坐标方程给出，且上具有连续导数，则曲线弧弧长为：4、定积分在物理学上的应用 分类公式变力沿直线作功若积分变量为，变力的函数表达式为，则变力沿直线所作的功为：水压力若将由曲线及直线所围成的平面薄板铅直放入水中，水的比重为，取轴铅直向下，液面为轴，则平面薄板一侧所受的压力为： 引力当引力的方向不随小区间的改变而变化时，被积函数即为两质点间的引力，其中为两质点间的距离，为引力系数，、分别为两
5、质点的质量。 当引力的方向随小区间的改变而变化时，将引力分解成轴、轴方向的二个分力，再分别用元素法得出定积分的表示式。三、典型例题分析例1：求由曲线,所围图形的面积。解：如图3-1 图3-1例2：求心脏线与所围成的阴影部分面积如图3-2解：如图3-2 图3-2 例3：设为曲线上的一点，此曲线与直线及轴所围图形的面积为，求取得最大值时，点得坐标。解：如图3-3图3-3 (a),(b) ，舍去，当时，取得最大值，这时点的坐标为。例4：设曲线，轴和轴所围成的区域被曲线分成面积相等的两部分，试确定的值。解：如图3-4由求得图3-4例5：求曲线，及围成的平面图形面积。解：图：3-5如图：3-5 例6：在
6、区间上给定函数，问当为何时时，图3-6中的阴影部分面积最小？何时最大？解：如图3-6图3-6令得到交点，当时，取得最小值，当时，取得最大值。例7：设在上可导，且,。试证对图3-7中所示的两块面积 和，存在唯一的，使得。解：如图3-7 令：图3-7 单调增加 又所以由闭区间上连续函数的介值定理知，存在唯一的，使 即例8：求房顶的体积。如图3-8，其底是矩形，长边长为，短边长为，其顶的棱平行于长边，长为，高为。解：原点取在房顶一端，轴方向向下过坐标为的点作水平截面（图中的阴影部分），设长为，短边长为，则其面积，根据相似三角形对应边成比例，可得：图3-8例9：求由所确定的平面图形绕轴旋转所成立体的体
7、积。 解：如图3-9 图3-9例10：求曲线所围图形绕轴旋转所成的立体的体积 解：由得交点（4，1）图3-10例11：曲线绕轴旋转得一旋转体，把它在点与之间的体积记作，问为何值时，。 解：舍去）例12：计算由曲线所围成的图形的面积绕轴旋转一周所得的旋转体的体积。 解：由于立体关于轴对称，如图3-12 图3-12a例13：求曲线的长度。解：所求弧长为 例14：求圆的渐开线 自至一段弧的弧长。解： 例15：求曲线自至的一段弧的弧长。 解： 例16：计算曲线自原点到与铅直的切线最近的弧长。解： 故使曲线有铅直切线且离原点最近的点对应的参数值，而原点对应的参数值例17：把抛物线及绕轴旋转构成一旋转抛物
8、面的容器，高为，夹层内盛水，水高为，问把水全部抽出，至少需作多少功？解：如图：图3-17例18：斜边为定长的直角三角形簿板，垂直放置于水中，并让一直角边与水相齐，设斜边与水面交成的锐角为，问取多大时，簿板所受的压力最大？解：建立如图所示直角坐标系 斜边方程为：，水压力图3-18 令： 得当时， 当时，当时，取得最大值。例19：试求一质量均匀的半圆弧对位于其中心的单位质量的引力。解：如图 设半圆弧的半径为，质量为 则引力微元为： 图3-19四、自测题A及解答（一）选择题1、曲线及轴所围图形面积为A,则A=（ ）：22、抛物线分圆为两部分，这两部分面积之比为（ ）： 3、由曲线与轴围成的图形绕轴旋
9、转所成的旋转体的体积为（ ）：4、曲线所围图形面积（ ）： 5、曲线上一段弧长（ ）： （二）填空题1、设曲线与所围图形的面积为，则的取值为_ _。2、已知均匀摆线 当时弧长。3、求曲线与轴所围部分的面积为。4、曲线所围图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。，绕轴旋转所得的旋转体的体积。（三）计算题1、求心形线在圆之外部分的面积2、设直线与直线及所围的梯形面积等于，试求使这块面积绕轴旋转所得的体积最小（其中）3、证明曲线的一个周期的弧长等于椭圆的周长4、一边长为与在矩形薄板斜置于液体中，它与水平面的倾斜角为，薄板边长为的边与液面平行，且位于深为处，求薄板所受的压力5、如果为线性函数，则在上的平均值自
10、测题A参考答案（一）选择题1、 2、 3、 4、 5、（二）填空题1、 ， 2、 ， 3、 与轴交点为0、1、2在上在上， 4、 （用分部积分法计算）(三)、计算题1、解： 2、解： ，将代入 令 驻点唯一 当时，旋转体体积最小，最小值为3、解：证：的一个周期的弧长为： 椭圆的周长为： 利用参数方程 4、 如图 5、 证：函数在上的平均值是指即证 五、自测题B及解答（一）选择题1、曲线与所围图形的面积（ ）： 2、摆线一拱与轴所围图形绕轴旋转所得的旋转体的体积（ ）： 3、线自点到点的一段曲线弧长（ ）： （二）填空题1、曲线及所为图形的面积2、已知，则曲线与轴所围成图形的面积为。3、求 自至
11、的曲线弧的长度4、在曲线上某点处作一切线，使之与曲线及轴所围成的图形面积为，则该切线方程为5、数在区间上的平均值为（三）计算题1、 曲线绕轴旋转所得立体的体积。2、 已知点与点是星形线上两点，试在弧上求一点，使得弧的长度为弧之长。3、 曲线绕其渐近线旋转，求位于所得曲面内的物体的体积。4、 有一圆柱形贮水池深，底半径为，贮满了水，要把水全部抽到田地里，问需作功多少？5、 已知曲线与曲线在点有公切线，求：（1）常数及切点。（2）两曲线与轴所围平面图形的面积。 （3）两曲线与轴所围平面图形的面积绕轴旋转所得的旋转体的体积。自测题B参考答案（一）选择题1、 2、)3、（二）填空题 1 、 2、 与的交点，所以3 、 4、 （设坐标为切线方程为 切线与轴的交点， 切线方程为）5、）（三）计算题1、解： =2、 解：设是弧上某点的参数，则弧的长度为 弧的长度为令即点的坐标为3、解：为其渐近线，4、解：建立如图所示直角坐标，则5、解：（1）分别对和求导，得由于两曲线在处有公共切线， 得，将代入两曲线方程，有 得切点坐标为 （2）两曲线与轴围成的平面图形的面积为 （3） 旋转体的体积
