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1、证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有：一、若直线 l过O 上某一点 A，证明 l 是O 的切线，只需连 OA，证明 OAl 就行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 .例 1 如图，在 ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的 O交BC 于D，交AC 于E， B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.求证： EF 与 O 相切 .证明： 连结 OE， AD.AB 是 O 的直径，AD BC.又 AB=BC ， 3= 4.BD=DE ， 1= 2.又 OB=OE ， OF=OF ， BOF EOF（SAS） OBF= OEF.BF 与O 相切，OB BF. OEF=9
2、00.EF 与O 相切.说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的例 2 如图， AD 是 BAC 的平分线， 求证： PA 与 O 相切 .证明一： 作直径 AE ，连结 EC.AD 是 BAC 的平分线， DAB= DAC.PA=PD， 2=1+ DAC. 2=B+ DAB ， 1= B.P为BC 延长线上一点，且 PA=PD.又 B= E， 1= EAE 是O 的直径， AC EC， E+ EAC=90 0. 1+ EAC=90 0.即 OA PA.PA与O 相切.证明二： 延长 AD 交O于 E，连结AD 是 BAC 的平分线， BE=CE ， OE BC. E+ BDE=90 0.
3、OA=OE ， E= 1.PA=PD， PAD= PDA.又 PDA= BDE,说明：例3求证：证明一证明二 1+PAD=90 0 即 OA PA. PA与O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的 如图， AB=AC ，AB 是O 的直径， DM 与 O 相切.： 连结 OD.AB=AC ， B= C. OB=OD ， 1= B. 1= C. ODAC.DM AC ， DM OD.DM 与 O 相切： 连结 OD， AD. AB 是 O 的直径， AD BC.又 AB=AC, 1=2.DM AC ， 2+ 4=900 OA=OD ， 1= 3.，解题中要注意知识的综合运用 O交 BC于 D
4、，DMAC 于 M 3+ 4=900. DM 是 O 的切线说明： 证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，C 在 O 上，且 CAB=30 0， BD=OB ，3 证明垂直的， 此题解法颇多， 但这种方法较解题中注意充分利用已知及图上已知例 4 如图，已知： AB 是 O 的直径，点 D在 AB 的延长线上 .求证： DC 是O 的切线证明： 连结 OC、 BC.OA=OC ， A=1=300. BOC= A+ 1=600. 又 OC=OB ， OBC 是等边三角形 OB=BC. OB=BD ，OB=BC=BD. OCCD.DC 是 O的切线 .说明： 此题是根据圆
5、周角定理的推论好.例 5 如图， AB 是O 的直径， CD AB ，且 OA 2=OD OP. 求证： PC是O的切线 .证明： 连结 OCOA 2=OD OP，OA=OC ， OC 2=OD OP，OC OP .OD OC . 又 1= 1， OCP ODC. OCP= ODC.CDAB， OCP=900.PC是O的切线 .说明： 此题是通过证三角形相似证明垂直的例 6 如图， ABCD 是正方形， G 是 BC 延长线上一点， AG 交 BD 于 E ，交 CD 于F.求证： CE 与 CFG 的外接圆相切分析： 此题图上没有画出 CFG 的外接圆，但 CFG 是直角三角形，圆心在斜边F
6、G 的中点，证明：为此我们取 FG的中点 O，连结 OC，证明 CEOC 即可得解 .取 FG 中点 O ，连结 OC. ABCD 是正方形，BC CD， CFG 是 RtO 是 FG 的中点，O 是 Rt CFG 的外心 .OC=OG ， 3= G， AD BC， G= 4. AD=CD ，DE=DE ， ADE= CDE=45 0， ADE CDE （SAS） 4=1， 1=3. 2+3=900, 1+2=900.即 CE OC.CE 与 CFG 的外接圆相切、若直线 l与 O没有已知的公共点， 又要证明 l 是 O的切线，只需作 OAl，A 为垂足，证明 OA 是 O 的半径就行了，简称
7、： “作垂直；证半径” 例 7 如图， AB=AC ，D 为 BC 中点， D 与 AB 切于 E 点.求证： AC 与 D 相切 .证明一： 连结 DE，作 DFAC，F是垂足 . AB 是 D 的切线， DE AB.DFAC ， DEB= DFC=90 0. AB=AC ， B= C.又 BD=CD ， BDE CDF（AAS ） DF=DE.F 在 D 上.证明二： AC 是 D 的切线连结 DE，AD ，作 DF AC ，F是垂足 . AB 与 D 相切， DE AB. AB=AC ， BD=CD ， 1= 2. DE=DF. F 在 D 上 . AC 与 D 相切 .说明： 证明一是
8、通过证明三角形全等证明 DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性 质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关 .例 8 已知：如图， AC，BD 与 O切于 A、B，且 ACBD，若 COD=90 0.求证： CD是 O的切线 .证明一： 连结 OA ， OB，作 OECD，E 为垂足. 4+5=900. 1=5.Rt AOCRtBDO. AC OC . OB OD . OA=OB ， AC OC . OA OD . 又 CAO= COD=90 0， AOC ODC ， 1=2.又 OAAC ，OECD,OE=OA.E 点在 O 上.CD 是O 的切线.证明二： 连结 OA ， OB，
9、作 OECD 于E，延长 DO 交CA 延长线于 F.AC，BD 与O 相切，ACOA ， BD OB.ACBD ， F= BDO.又 OA=OB ， AOF BOD (AAS OF=OD. COD=90 0， CF=CD ， 1= 2.又 OAAC ，OECD， OE=OA.E点在O 上.CD 是O 的切线.证明三： 连结 AO 并延长，作 OECD 于 E，取 CD 中点 F，连结 OF.AC 与O 相切， AC AO.ACBD ， AO BD.B.CF=DF ，BD 与O 相切于 B， AO 的延长线必经过点 AB 是 O 的直径 . AC BD ， OA=OB ， 1= COF. COD=90 0，CF=DF ，1 OF CD CF .2 2= COF. 1= 2.OAAC ，OECD， OE=OA.E点在O 上.CD 是O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明 1= 2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明 1=2.证明三是利用梯形的性质证明 1=2，这种方法必需先证明A 、O、 B三点共线 .以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考
