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1、数学（理科）试题第卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(A)2(B)-2(C)(D)（2）双曲线的实轴长是(A)2(B)(C)4(D) （3）设是定义在R上的奇函数，当时，,则(A)-3(B)-1(C)1(D)3（4）设变量x,y满足|x|+|y|1，则x+2y的最大值和最小值分别为(A)1,-1(B)2,-2(C)1,-2(D)2,-1（5）在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为(A)2(B)(C)(D)（6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
2、A)48(B)(C)(D)80（7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(A)所有不能被2整除的整数都是偶数(B)所有不能被2整除的整数都不是偶数(C)存在一个不能被2整除的整数是偶数(D) 存在一个能被2整除的整数不是偶数（8）设集合A=1,2,3,4,5,6,B=4,5,6,7,8，则满足且的集合S的个数是(A)57(B)56(C)49(D)8（9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是(A)(B)(C)(D) （10）函数在区间0,1上的图像如图所示，则m,n的值可能是(A)m=1,n=1(B) m=1,n=2(C)m=2,n=1(D) m=3,n=1第卷（非选
3、择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .（12）设，则 .（13）已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6，且|a|=1,|b|=2，则a与b的夹角为 .（14）已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 .（15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点。下列命题中正确的是 .（写出所有正确的编号）。存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点直线l经过无穷多个
4、整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。（16）（本小题满分12分）设，其中a为正实数.（）当时，求的极值点；（）若为R上的单调函数，求a的取值范围（17）（本小题满分12分）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，OAB, OAC, ODE, ODF都是正三角形.（）证明直线BCEF;（）求棱锥F-OBED的体积.（18）（本小题满分13分）在数1
5、和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令，n1.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和.（19）（本小题满分12分）（）设x1,y1，证明；（）设10，知在R上恒成立，因此，由此并结合a0，知.（17）本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力。（）（综合法）证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于OAB与ODE都是正三角形，所以OB,OB=,OG=OD=2同理，设G是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG=OD=2，又
6、由于G和G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合。在GED和GFD中，由OB,OB=和OC, OC=,可知B,C分别是GE和GF的中点，所以BC是GEF的中位线，故BCEF.（向量法）过点F作FQAD,交AD于点Q，连QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED,以Q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系。由条件知E(，0,0)，F（0,0，），B（，-，0），C（0，-，）。则有，。所以，即得BCEF.（）解：由OB=1，OE=2，EOB=60，知SEOB=,而OED是边长为2的正三角形，故SOED=,所以SOBED=SEOB+SOED=。过点F作
7、FQAD，交AD于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ=，所以VF-OBED=FQSOBED=。（18）本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。解：（）设构成等比数列，其中，则并利用，得（）由题意和（）中计算结果，知另一方面，利用得所以（19）本题考查不等式的性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形和推理论证能力。证明：（）由于x1,y1，所以将上式中的右式减左式，得既然x1,y1，所以，从而所要证明的不等式成立。（）设，由对数的换底公式
8、得于是，所要证明的不等式即为其中故由（）立知所要证明的不等式成立。（20）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。解：（）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于（）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为X123P所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是EX=+=（）（方法一）由（）的结论知，当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，EX=根据常理，优先派出完成
9、任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值。下面证明：对于的任意排列，都有（）事实上，即（）成立。（方法二）（）可将（）中所求的EX改写为，若交换前两人的派出顺序，则变为。由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减少均值。（）也可将（）中所求的EX改写为，若交换后两人的派出顺序，则变为。由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减少均值。综合（）（）可知，当=时，EX达到最小。即完成任务概率大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的。（21）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。解：由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则,即再设，由，即，解得将式代入式，消去，得又点B在抛物线上，所以，再将式代入，得整理得因，两边同除以，得故所求点P的轨迹方程为。
