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1、2011年高考题全国卷II数学试题文科全解全析科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试全国卷II(文科)知识点检索号新课标题目及解析1（1）设集合,则（A） （B） （C） （D）【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求,进而求出其补集为.【精讲精析】选D. .4（2）函数的反函数为（A） （B）（C） （D）【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。【精讲精析】选B.在函数中，且反解x得，所以的反函数为.20（3）设向量满足,则（A） （B） （C） （D）【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推
2、出ab，而由ab推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。29（4）若变量x，y满足约束条件，则的最小值为（A）17 （B）14 （C）5 （D）3【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。然后要把握住线性目标函数的z的取值也其在y轴的截距是正相关关系，进而确定过直线x=1与x-3y=-2的交点时取得最小值。【精讲精析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5. 24（5）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（A） （B） （C） （D）【思路点拨】本题要把充要条
3、件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出ab，而由ab推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。11（6）设为等差数列的前项和，若，公差，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：利用直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】选D.19（7）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A） （B） （C） （D）【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。【精
4、讲精析】选C. 由题,解得，令，即得.40(8) 已知直二面角，点A，,C为垂足，点B，,D为垂足.若AB=2，AC=BD=1，则CD= （A） 2 （B） （C） （D）1【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形中求解即可。【精讲精析】选C. 在平面内过C作，连接BM，则四边形CMBD是平行四边形，因为，所以，又,就是二面角的平面角。.所以代入后不难求出。45(9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【思路点拨】解本题分两步进行：第一步先选出2人选修课程甲，
5、第二步再把剩余两人分别选乙、丙.【精讲精析】选A.第一步选出2人选修课程甲有种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有种选法，根据分步计数原理，有种选法。6(10)设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则= (A) - (B) (C) (D)【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间0,1上进行求值。【精讲精析】选A.先利用周期性，再利用奇偶性得: .42(11)设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离= (A)4 (B) (C)8 (D) 【思路点拨】本题根据条件确定出圆心在直线y=x上并且在第一象限是解决这个问题的关键。【精讲精析】选D.由
6、题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为(a,a)(a0),则,求出a=1,a=9.所以C1(1,1),C2(9,9),所以由两点间的距离公式可求出.42(12)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。【精讲精析】选B.作示意图如，由圆M的面积为4，易得，中，。故.45(13)(1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意.【精讲精析】0. 由得的系
7、数为, x9的系数为,而.17(14)已知a(，)，tan=2，则cos= .【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号。【精讲精析】 由a(，)，tan=2得.39（15）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .【思路点拨】找出异面直线AE与BC所成的角是解本题的关键。只要在平面A1B1C1D1内过E作及B1C1的平行线即可。【精讲精析】 取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则就是异面直线AE与BC所成的角。在中，。33(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的
8、左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2| = .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。【精讲精析】6.由角平分线定理得：,故.12(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) 设等比数列的前n项和为,已知求和.【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。【精讲精析】设的公比为q,由题设得解得或，当时，当时，.21（18）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知. ()求B；（）
9、若.【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解。【精讲精析】(I)由正弦定理得由余弦定理得。故，因此。（II）故.46(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立. (I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； （）求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【思路点拨】此题第（I）问所求概率可以看作“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种
10、保险”和“该地的1位车主购买甲种保险”两个事件的和。由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解。(II)第（II）问，关键是求出“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”的概率，然后再借助n次独立重复试验发生k次的概率计算公式求解即可.【精讲精析】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。（I）P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+BP(C)=P(A+B)=
11、P(A)+P(B)=0.8.(II)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,P(E)=.39(20）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形. (I) 证明：(II) 求AB与平面SBC所成角的大小。【思路点拨】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。【精讲精析】证明：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。连结SE，则又SD=1，故所以为直角。由，得,所
12、以.SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以（II）由知，作，垂足为F，则,作，垂足为G，则FG=DC=1。连结SG，则又，,故，作，H为垂足，则.即F到平面SBC的距离为。由于ED/BC，所以ED/平面SBC，E到平面SBC的距离d也为。设AB与平面SBC所成的角为，则,.解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系C-xyz,设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）。又设S（x,y,z），则x0,y0,z0.(I)由得故x=1.由得，又由得，即，故。于是，故，又所以.（II）设平面SBC的法向量，则又故取得，又.故AB与平面SBC所成的角为.53（
13、21）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)已知函数()证明：曲线（）若求a的取值范围。【思路点拨】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程。(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.【精讲精析】解：（I）.由得曲线在x=0处的切线方程为由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2）。（II）由得（i）当时，没有极小值；(ii)当或时，由得故。由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是。35（21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足()证明：点
14、P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.【精讲精析】 (I)设直线，与联立得由得,所以点
15、P在C上。（II）法一：同理所以互补，因此A、P、B、Q四点在同一圆上。法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为由得、的交点为,故.所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.2011年高考题全国卷II数学试题理科全解全析科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试全国卷II(理科)知识点检索号新课标题目及解析（1）复数，为的共轭复数，则（A） （B） （C） （D）【思路点拨】先求出的共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。【精讲精析】选B.（2）函数的反函数为（A） （B）（C） （D）【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出
16、y的取值范围，它是反函数的定义域。【精讲精析】选B.在函数中，且反解x得，所以的反函数为.（3）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（A） （B） （C） （D）【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出ab，而由ab推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。（4）设为等差数列的前项和，若，公差，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：利用直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】选D.（5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图
17、像重合，则的最小值等于（A） （B） （C） （D）【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。【精讲精析】选C. 由题,解得，令，即得.(6)已知直二面角，点,C为垂足，为垂足若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A) (B) (C) (D) 1 【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明平面，进而平面ABC,所以过D作于E，则DE就是要求的距离。【精讲精析】选C.如图，作于E，由为直二面角，得平面，进而，又，于是平面ABC，故DE为D到平面A
18、BC的距离。在中，利用等面积法得.(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。【精讲精析】选B.分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有种。总的赠送方法有10种。(8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分
19、别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。【精讲精析】选A.切线方程是：,在直角坐标系中作出示意图，即得。(9)设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则= (A) - (B) (C) (D)【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间0,1上进行求值。【精讲精析】选A.先利用周期性，再利用奇偶性得: .(10)已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点则=(A) (B) (C) (D) 【思路点拨】方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。【精讲精析】选D.联立，消y得，解得.不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求，利用余弦定理
20、.(11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。【精讲精析】选B.作示意图如，由圆M的面积为4，易得，中，。故.(12)设向量满足，则的最大值等于 (A)2 (B) (c) (D)1【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC为直径时，最大.【精讲精析】选A.如图，构造，所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时，最大，最大值为2.(13)(1-)20的二项展开式中，x的系数
21、与x9的系数之差为: .【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意.【精讲精析】0. 由得的系数为, x9的系数为,而.(14)已知a(，)，sin=，则tan2= 【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。【精讲精析】.由a(，)，sin=得,.(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2| = .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。【精讲精析】6.由角平分线定理得：,故.(16)己知点
22、E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线.【精讲精析】.延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为，所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知AC=90，a+c=b，求C.【思路点拨】解决本题的突破口是
23、利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合AC=90,得到.即可求解。【精讲精析】选D.由，得A为钝角且，利用正弦定理，可变形为，即有，又A、B、C是的内角，故或(舍去)所以。所以.(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为05，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；()X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率
24、为0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知：，解得。（I） 设所求概率为P1，则.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。（II） 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为。所以X的期望是20人。（19）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（）证明：;（)求与平面所成角的大小.【思路点拨】本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】计算SD=1，于是，利用勾
25、股定理，可知，同理，可证又，因此，.（II）过D做，如图建立空间直角坐标系D-xyz，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),可计算平面SBC的一个法向量是.所以AB与平面SBC所成角为.（20）设数列满足且（）求的通项公式；（）设【思路点拨】解本题突破口关键是由式子得到是等差数列，进而可求出数列的通项公式.（II）问求出的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。【精讲精析】 (I) 是公差为1的等差数列，所以(II).（21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足()证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，
26、证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.【精讲精析】 (I)设直线，与联立得由得,所以点P在C上。（II）法一：同理所以互补，因此
27、A、P、B、Q四点在同一圆上。法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为由得、的交点为,故.所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。【精讲精析】(I)所以在上单增。当时，。（II）由(I)，当x0时，,即有故于是,即.利用推广的均值不等式：另解：，所以是上凸函数，于是因此，故综上：
