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1、2012全国各地高考数学试题分类汇编（函数与导数）1. （2012辽宁）设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为A5 B6 C7 D8【解析】由知,所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且，而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B.2.（2012安徽理）（本小题满分13分）K 设 （I）求在上的最小值； （II）设曲线在点的切线方程为；求的值。【解析】（I）设；则 当时，在上是增函数 得：当时，的最小值为 当时， 当且仅当时，的最小值为（II） 由题意得：3.(2012安徽文)（本小题满分12分
2、）设定义在（0，+）上的函数（）求的最小值；（）若曲线在点处的切线方程为，求的值。【解析】（I） 当且仅当时，的最小值为 （II）由题意得： 由得：4(2012北京理)（本小题共13分）已知函数f（x）=ax2+1（a0）,g(x)=x3+bx(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；(2) 当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-，-1）上的最大值，解：（1）由为公共切点可得：，则，则，又，即，代入式可得：（2），设则，令，解得：，；，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增若，即时，最大值为；若，即时，最大
3、值为若时，即时，最大值为综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为5. (2012福建理)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为。（）求的值；（）若，且，求证：。【解析】（1）， （2）由（1）知,由柯西不等式得（lby lfx）6. (2012福建理)（本小题满分14分）已知函数 （）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。解：（） 由题意得： 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为（）设； 则过切点的切线方程为 令；则 切线与曲线只有一个公共点只有一个根 ，且 （1）当时， 得
4、：当且仅当时， 由的任意性，不符合条件（lby lfx） （2）当时，令 当时， 当且仅当时，在上单调递增 只有一个根 当时， 得：，又 存在两个数使， 得：又 存在使，与条件不符。 当时，同理可证，与条件不符 从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点7. (2012广东理)（本小题满分14分）设，集合，（1）求集合（用区间表示） （2）求函数在内的极值点。解（1）由有 ，即 有 又 当时，恒成立。B=R当时，当时，即1）当时，方程有两个不同的根其中，且 （显然）2）当时，3）当时， （显然） ， （，显然）综合上述：当时，当时，当时，（2），由 有当时，1+00+ 函数在
5、内的极值点为或当时， （）而 ，即（） 同理 （）而 ，即，故+0+ 函数在内的极值点为当时，而 ， 函数在内的无极值点综合上述： 当时，函数在内的极值点为或；当时，函数在内的极值点为当时，函数在内的无极值点8. （2012广东理）(本小题满分14分)已知函数f(x)=1+，求：（1）当x为何值时，函数f(x)取得极大值;（2）作出函数f(x)的草图，并写出分析过程.解：（1）函数的定义域为（-，-3）（-3，+）对函数f(x)求导得：f(x)=令f(x)=0，得x=3因为x（-，-3）时，f(x)0；x（-3，+）时，f(x)2n3+1当n=0,1,2时，显然故当a=时，对所有自然数都成立所
6、以满足条件的a的最小值是.（3）由（1）知，则，下面证明：首先证明：当0x1时，设函数当故g(x)在区间（0,1）上的最小值g(x)min=g所以，当0x1时，g(x)0,即得由0a1知0ak0.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。解(1),由得当变化时,的变化情况如下表:0-0+极大值极小值故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)由(1)知在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从
7、而函数在区间(-2,0)内恰有两个零点,当且仅当,解得.所以,的取值范围为.（3）时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，在上的最大值，而最小值为与中的较小者，由知，当时，故，所以，而在上单调递增，因此，所以在上的最小值为.当时,且, 下面比较的大小. 由在上单调递增,有 又由, 从而 所以综上,函数在区间上的最小值为.29（2012浙江理）(本小题满分14分)已知a0，bR，函数()证明：当0x1时，()函数的最大值为|2ab|a；() |2ab|a0；() 若11对x0，1恒成立，求ab的取值范围解：()()当b0时，0在0x1上恒成
8、立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，此时的最大值为：|2ab|a；综上所述：函数在0x1上的最大值为|2ab|a；() 要证|2ab|a0，即证|2ab|a亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，令当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，|2ab|a；综上所述：函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a即|2ab|a0在0x1上恒成立()由()知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大11对x0，1恒成立，|2ab|a1取b为纵轴，a为横轴则可行域为：和，目标函数为zab作图如下：由图易得：当目标函数为zab过P(1，2)时，有所求ab的取值范围为：30. (2012浙江文)（本题满分15分）已知函数求的单调区间证明：当时，解： 由题意得 当时，恒成立，此时的单调递增区间为 当时，此时函数的单调递增区间为和单调递减区间为 由于故当时，当时，设于是010+1减极小值增1所以，所以当时，故
