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1、 编号: 本科毕业论文Cauchy-Schwarz不等式的推广及应用 院 系：数学科学系 姓 名：XXXx 学 号：XXXXX 专 业：数学与应用数学 年 级：XXXXX 指导老师：XX 职 称：XX 完成日期：2012年3月目录Cauchy-Schwarz is a very basic and important inequality in mathematics,and it is widely used in many branches of mathematics.2This paper mainly introduces the Cauchy-Schwarz inequality
2、two perplexitys ,application and promotion .This paper first disscusses the Cauchy-Schwarz inequalitys discrete form and continuous form and their different proofs. And then ,we continue debate our discussion of Cauchy-Schwarz inequality theorem and applications on the basis of the theorem . Finally
3、 ,we give Cauchy-Schwarz inequality of three prove and its in the real area ,n d Europe type space,probability theory and matrix and application.2Key words:Cauchy-Schwarz inequality ;determinant;nonnegative quadratic32 Cauchy-Schwarz不等式的推广42.1 Cauchy-Schwarz不等式4定理2.1 离散形式的Cauchy-Schwarz不等式.4若 和 是任意实
4、数,则有4定理2.2 连续形式的Cauchy-Schwarz不等式5注 除有限点外,有,但与并不成比例.62.2Cauchy-Schwarz不等式的推广63 Cauchy-Schwarz不等式的应用113.1Cauchy-Schwarz 不等式在n维欧式空间中的应用113.2Cauchy-Schwarz不等式在数论中的应用123.3Cauchy-Schwarz不等式在概率论中的应用14Cauchy-Schwarz不等式在实数域的形式1515而在概率论中亦有一个类似的不等式1515这里,15现在建立一个概率模型，用概率论中的不等式去证明Cauchy-Schwarz不等式.15设有二维随机向量（）
5、，它的联合分布为15151515151515151515那么，有随机变量的函数的数学期望公式可得：15151515由于1516所以1616即1616定理5 对于2个随机变量X、Y，若、存在,则有.16证明 当时，此时，故,不等式成立；16当时，16令16(恒成立)16于是1616即16163.4Cauchy-Schwarz不等式在矩阵中的应用16定理 6已知,则有16证明 若,则有.故.16即此时不等式成立.16当时,16令1617（恒成立)17注意到1717于是1717所以变成即可1717最后由的任意性将上述不等式中换成即得1717定理 7已知,是n阶正定矩阵,则有1717证明 当时,必有.
6、17此时两边都为零,成立.17当时17令1717(恒成立)17于是1717从而17183.5Cauchy-Schwarz在n 重黎曼积分中的应用18定理 8设是中的闭区域,在上黎曼可积,则有18证明 当时,有两边都为0,成立.18当时,18令181818恒成立18于是1818得证18推论 当时,即一元定积分中的18结束语19参考文献20致 谢21摘 要Cauchy-Schwarz是数学中一个非常基本而且重要的不等式,在许多数学分支中被广泛使用.本文主要介绍Cauchy-Schwarz不等式两种形式、应用及其推广.本文首先讨论了Cauchy-Schwarz不等式离散形式和连续形式及其证法;然后,
7、在这些定理的基础上,我们继续讨论Cauchy-Schwarz不等式定理的推论及其应用;最后,给出Cauchy-Schwarz不等式在n维欧式空间、数论、概率论、矩阵和n维黎曼积分中的应用.关键词:Cauchy-Schwarz不等式;行列式;非负二次型AbscractCauchy-Schwarz is a very basic and important inequality in mathematics,and it is widely used in many branches of mathematics.This paper mainly introduces the Cauchy-Sc
8、hwarz inequality two perplexitys ,application and promotion .This paper first disscusses the Cauchy-Schwarz inequalitys discrete form and continuous form and their different proofs. And then ,we continue debate our discussion of Cauchy-Schwarz inequality theorem and applications on the basis of the
9、theorem . Finally ,we give Cauchy-Schwarz inequality of three prove and its in the real area ,n d Europe type space,probability theory and matrix and application.Key words:Cauchy-Schwarz inequality ;determinant;nonnegative quadratic 1引 言Cauchy-Schwarz不等式是数学领域中一个非常重要的不等式,此不等式的具体模型为离散形式的Cauchy不等式和连续形式
10、的Schwarz不等式.这是2个非常重要的不等式,应用广泛.Cauchy-Schwarz不等式有很多种变形,所以很有必要讨论有关该不等式的证明、推广及其应用.运用不同的方法证明 Cauchy-Schwarz不等式的成立;很多资料中都介绍Cauchy-Schwar不等式的在实数域、微积分、n维欧式空间、概率论中的变形及其证法,甚至在数学竞赛中也有这种题目的考察.本文给出了Cauchy-Schwarz不等式的两种基本形式以及构造一元二次函数使用判别式的证明方法.然后将该证明方法用于Cauchy-Schwarz在定积分和概率论中的证明;最后将不等式连同证明方法推广至矩阵论中的运算以及二次型变换.2
11、Cauchy-Schwarz不等式的推广2.1 Cauchy-Schwarz不等式定理2.1 离散形式的Cauchy-Schwarz不等式.若 和 是任意实数,则有 （1）此外,如果有某个,则上式中的等号当且仅当存在一个实数x使得对于每一个 都有 时成立.式（1）称为离散形式的Cauchy-Schwarz不等式.证明 当 全为零时,命题显然成立. 当 不全为零时, 令即 这是关于x的一元二次函数. 由于 恒成立,因此判别式 0 , 即化简得且等号当且仅当存在X,使时成立.定理2.2 连续形式的Cauchy-Schwarz不等式 若 在 上可积,则 (2)称为连续形式的Cauchy-Schwar
12、z不等式.证明 因为,都在上可积,则有定积分的性质、 均在 上可积,对区间 进行n等分,分点为由定积分的定义,有 又再有极限的保号性知不等式成立. 注 除有限点外,有,但与并不成比例. 2.2Cauchy-Schwarz不等式的推广 推论1 设满足,则 证明 取 ; 显然、满足定理1的条件 经简单计算得 由定理1即得结论. 推论2由定理2知:设、均在 上可积,则有著名的Cauchy-Schwarz不等式由此知当存在一组不全为零的数使得 时等号成立,这一不等式可以改写为以下行列式形式：推论3 设 均在 上可积,则有证明:关于 的二次型 为非负二次型,从而其系数行列式从而推论3得证.推论4 设 均
13、在 上可积,则有证明类似推论3. 例 1 证明:设在上可积，且满足,则有证明 由,从而显然该不等式等价于两边积分 结合平均值不等式 得两边平方,并整理.即得结论.例 2 证明:设可积且满足,则有 当时,等号成立. 证明 关于的二次型 为非负型,从而其系数行列式 由此得 由,于是代入上式，则不等式得证.另由上例知 = 将此结论代入,则不等式得证. 例 3设在上有连续的导函数,试证:证明 令则,由知，因此 由本例可见:有时候需要对所给不等式中的积分做适当的变形才能应用Schwarz不等式.3 Cauchy-Schwarz不等式的应用3.1Cauchy-Schwarz 不等式在n维欧式空间中的应用
14、定理3 ,当且仅 线性相关时等号成立. 注意 在n维欧式空间中,对任意的向量 定义内积: 定义的长度或范数位证明 若 则 等号成立 若 则令则 且 = 当线性相关时,等号成立. 反之,当等号成立时,或或 即 线性相关. 例 1证明：证明 令, 由Cauchy-Schwarz不等式易知 整理得3.2Cauchy-Schwarz不等式在数论中的应用 定理4 对,等号成立的条件是,使得;或者,使得.证明 显然当时,不等号成立;否则令,令,则对又是关于的一元二次多项式,所以即 例 2 设 若 均为正数则有证明 令,则有(而 所以显然等号当且仅当时成立.例 3 若都是正数 ,又（常数）求证:证法一根据C
15、auchy-Schwarz不等式在实数域中的形式可得 而不等式左边整理可得于是证法二设根据Cauchy-Schwarz不等 不难得到 即两边平方得： 3.3Cauchy-Schwarz不等式在概率论中的应用Cauchy-Schwarz不等式在实数域的形式而在概率论中亦有一个类似的不等式这里,现在建立一个概率模型，用概率论中的不等式去证明Cauchy-Schwarz不等式.设有二维随机向量（），它的联合分布为那么，有随机变量的函数的数学期望公式可得： 由于所以待添加的隐藏文字内容3即 定理5 对于2个随机变量X、Y，若、存在,则有.证明 当时，此时，故,不等式成立；当时，令(恒成立)于是即3.4
16、Cauchy-Schwarz不等式在矩阵中的应用定理 6已知,则有证明 若,则有.故.即此时不等式成立.当时,令 （恒成立)注意到于是所以变成即可最后由的任意性将上述不等式中换成即得定理 7已知,是n阶正定矩阵,则有证明 当时,必有.此时两边都为零,成立.当时令 (恒成立)于是从而3.5Cauchy-Schwarz在n 重黎曼积分中的应用定理 8设是中的闭区域,在上黎曼可积,则有证明 当时,有两边都为0,成立.当时,令 恒成立于是得证推论 当时,即一元定积分中的 结束语 本文主要讨论了Cauchy-Schwarz不等式的两种形式、推广及其应用.首先介绍Cauchy-Schwarz的离散形式和连
17、续形式,其中这两种形式在证明过程中运用了判别式法、配方、利用条件极值原理、利用积分变换、利用函数的单调性等一些常用的方法;其次Cauchy-Schwarz不等式化成矩阵形式推广.最后讨论给出Cauchy-Schwarz不等式在n维欧式空间、数论、概率论、矩阵和n维黎曼积分中的应用.由于Cauchy-Schwarz不等式有很多种形式,所以其推广也有很多种形式,在本文中我讨论了一种形式下的推广及应用,做的不足之处还请老师给予指导.参考文献1刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义,M.高等教育出版社,1963.2（美）TomM.Apostol著,刑富冲等译.数学分析(第2版)M.北京:机械工业出版社,2006
18、.3吴传生.数学分析(上册）习题精解 M .合肥:中国科学大学出版社 ,2004.4匡继昌.常用不等式M.长沙,湖南教育出版社,1989.5华东师范大学数学系,数学分析（下册）M.北京高等教育出版社,1981.6武汉大学数学系,线性代数M.北京:高等教育出版社,1980.6李有法.数学计算方法,M.北京:高等教育出版社,1996.7裴礼文,数学分析中的典型问题与方法 M.高等教育出版社,1993.8李长明周焕山.初等数学研究,M.北京:高等教育出版社,1995.9裘宗沪编.奥林匹克数学教程（高中提高册)M.北京:开明出版社,1994.710张立圃.利用初等数学的方法证明schwarz不等式J.
19、雁北师范学院学报.2007，23（2）：85-86.11 D.S.Mitrinovic解析不等式,张小萍译,北京:科学出版社,198712徐利治王兴华.数学分析的方法及例题选讲M.北京:高等教育出版社.198213秦曾复，朱学炎.数学分析(第三版)上册M.高等教育出版,2001.14刘建忠.约束条件下Ccuchy-Schwarz不等式的改进J.高等数学研究2005，8（4）：38-39.15薛昌兴.几个积分不等式及其应用J.甘肃教育学院学报.2004，18（1）：1-4.致 谢经过半年的忙碌和努力，此次毕业论文设计已经接近尾声，在这里我要感谢我的指导老师沈林老师，在论文资料查阅，修改，确定的过程中沈老师给了我悉心的指导和鼓励，如果没有沈老师的监督与指导，我很难完成这项任务.其次要感谢提供给我参考文献的那些老师们，正因为如此我才能顺利的完成论文，我还要感谢我的母校黄淮学院，是母校给我提供了优良的学习环境；再此表示衷心的感谢！
