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1、函数极值的几种求法 针对高中生所学知识摘 要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。关键词：函数；单调性；导数；图像；极值Abstract: Function is an important part of mathematics
2、 teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic fu
3、nction, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This a
4、rticle will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school.Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量的幂，也就是的平方的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量。就这样“函数”这词逐渐盛
5、行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数”。显然，在李善兰的这个定义中的函数就是：凡是公式中含有变量，则该式子叫做的函数。这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。从1775年欧拉对函数定义之后，又有法国数学家柯西、俄国数学家罗巴契夫斯基等数学家不断对函数定义进行改进和完善。最后德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于的每一个值，总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立，之间的对应方法如何，均将称为的函数”。虽然函数的定义在不断变化但它的本质属性都是一样的。变量称为的函数，只须有一个法则存在，那就是这个函数取值范围中的
6、每一个值，有一个唯一确定的值和它对应，不管这个法则是公式、图象、表格或其他形式。对中学生来说常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数，及由这几类函数中两类或多类形成的复合函数。中学生一般不采用定义法去求函数的极值，中学生常用的是图像法和求导法。本文首先简单介绍高中数学常见的函数类型和常用的求函数极值的方法，继而通过具体实例阐述求极值方法和函数类型如何匹配。1 预备知识定义1.1 函数的极值设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极大值。如果附近所有的点，都有，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。定义1.2 一次函数在某一变化过程中，设有
7、两个变量和，如果可以写成(为一次项系数，为常数)的形式，那么我们就说是的一次函数，其中是自变量，是因变量。 定义1.3 二次函数 把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项。定义1.4 指数函数把形如的函数叫做指数函数，其中是自变量。定义1.5 对数函数把形如的函数叫做对数函数，其中自变量是。2 求极值方法在各种函数类型中的应用函数是高中数学重要的内容,而函数的性质是高考命题的重点,又是高考命题的热点之一,利用导数方法研究函数的单调性,确定单调区间,研究函数的极值问题比传统的方法要简捷得多,因此在求极值时应把导数法作为主要研究方法。除了求导法另一种常见
8、的方法就是图像法。图像法适合简单的可以画出图像的一些函数，对于中学生来说遇到的函数80%都可以画出图像。函数图像画出后我们可以根据图像所表示的纵坐标再结合极值的定义观察函数的极值。求导法是先求出所求函数的导数，然后根据导数与零的大小关系判断函数的单调性，继而判断极值，求导法对一些复杂的函数特别是复合函数非常的适用。下面我们通过具体实例阐述方法和函数类型如何匹配。2.1 一次函数（为常数）一次函数比较简单在整个定义域内是整体单调递增或整体单调递减。对形如的一次函数的导数为，由此可知一次函数的单调性主要和值有关，则函数单调递增，函数单调递减。例2.1 求函数的极值 法一 求导法这个函数的值为2，显
9、然也就是说该函数单调递增，现在函数的极值就和其定义域有关。当自变量最大时函数有极大值，当自变量最小是函数有极小值，若自变量无最大值最小值则函数没有极值。我们假设该函数的定义域是，那么当时函数有极小值,当时函数有极大值。假设该函数的定义域为则函数无极大值极小值。若函数的定义域位函数无极小值，在时取得极大值 若定义域为函数无极大值，有极小值。 法二 图像法 一次函数的图像都是一条直线。函数的图像如下： 图2-1 图像通过察我们发现函数值随自变量的值增大而增大，也就是说最大时函数有极大值，最小时函数有极小值。一次函数相对来说比较简单，我认为求极值最好的方法是看值。当时自变量最大时函数有极大值，自变量
10、最小时函数有极小值。当时自变量最大时函数有极小值，自变量最小时函数有极大值，若自变量无最值则函数无极值。在此还有一点要提醒的就是通常所说的正比例函数，反比例函数都属于一次函数，故其极值的求法可用一次函数的方法。2.2 二次函数（其中是常数，）二次函数较一次函数复杂的多，但其极值的求法和一次函数大同小异，最常见的也是求导法和图像法。当用求导法来求极值时，需先求出导数然后判断导函数在那个区间范围内大于（等于）零，在那个区间范围内小于（等于）零，当导数大于等于零时原来的二次函数在该区间单调递增，当导数小于零时原来的二次函数在该区间单调递减，知道了单调性再来求极值就轻而易举了。图像法就是画出函数的图形
11、，根据图形结合极值定义求出函数极值。下面我针对具体函数其定义域为这个二次函数来详细阐述这两种方法。例2.2 求函数的极值 法一 求导法通过计算我们知道该函数的导数为我们令其导函数大于等于零即解得也就是说函数在上单调递增，当时有最小值，当x=2时y有最大值。同理我们可以知道函数在（由于在递增区间上已经取过-2，所以此处的-2不能再取，只能用圆括号）上单调递减，因为-4和-2前为圆括号，也就是说自变量不能等于-4和-2，所以函数在上无最小值也无最大值。综上所诉函数在上有最小值，最大值.因为该函数在上连续所以其最小值等于其极小值，最大值等于其极大值。所以此函数在上有极小值-15，极大值17。法二 图
12、像法 二次函数的图像为一条抛物线函数的图像如下图所示:图2-2 图像 通过观察可知，函数在点B取得极小值-15，在点A取得极大值17。2.3 指数函数 此类函数比较简单，单调性在定义域内是整体的，无论是求导还是画图都很容易发现函数的单调性与值得大小有关。在时函数在整个定义域内单调递增，和一次函数像似自变量取最大值时函数有极大值，自变量取最小值时函数有极小值。在时函数在整个定义域内单调递减，在自变量取最大值时函数有极小值，自变量取最小值时函数有极大值。下面我们通过一个具体的函数来操作一下。例2.3 求函数和(取值范围是)的极值对这个函数来说其，根据上面结论我们知道函数在整个定义域内单调递增，当是
13、函数有极小值，当时函数有极大值8。对它的，函数在整个定义域内单调递减当是函数有极大值4，当时函数有极小值。我们可以通过图像来观察下我们的结论是否正确如下图2-3为的图像，图2-4是的图像：图2-3 图像图2-4 图像 通过图像我们可以很明显的发现上述结论的正确性。2.4 对数函数 对数函数和指数函数情况一样，函数的极值和与1的大小有关。在时函数在整个定义域内单调递增，自变量取最大值时函数有极大值，自变量取最小值时函数有极小值。在时函数函数在整个定义域内单调递减，在自变量取最大值时函数有极小值，自变量取最小值时函数有极大值。在这里我们就不举例子来阐述了。2.5 三角函数三角函数的类型比较多但做法
14、相似，在这里我仅详细阐述正弦函数的极值的求法。三角函数是周期函数，所以它的极值有多个。下面我们来看 这个函数。例2.4 求函数 的极值法一 求导法 求函数导数令其大于等于0解得，再结合的定义域我们知道当导函数大于0时的取值范围是，也就是的递增区间是，。再令导函数小于0同理函数的递减区间为，。为了简单明了的求出极值我们把得到的数据填在表2.1里表2.1取值单调性递减递增递减递增极值极小值极大值极小值由上表可知函数有两个极小值，一个极大值。法二 图像法 函数的图像如图所示图2-5 图像 通过图像可以快速的观察出函数有两个极大值，有一个极小值。 通过比较我们不难发现第一种方法较复杂，第二种简单明了。
15、但是画图过程少不了第一种方法中的计算，所以我建议对于三角函数类问题的极值数形结合最好。2.6 复合函数最后我们来看一个复合函数的极值例2.5 求函数的极值法一 求导法 函数的定义域是，导函数 当时函数单调递增，当时函数单调递减。所以函数在时取得极大值 法二 图像法图2-6 图像 显然函数在M点处取得极大值。复合函数的图像如果不借助电脑软件，画起来非常的复杂，所以我个人意见对复合函数求极值求导法最好。3 求不同类型函数极值方法总结结合上述例子我们发现对于一次函数和指数函数、对数函数来说求极值问题可直接利用结论。一次函数看值，指数函数和对数函数看值。二次函数求导或画图都比较简单。三角函数极值问题，
16、数形结合较好。复合函数求导判断单调性较好。4 求函数极值的实际应用价值数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，尽管具有极强的抽象性逻辑性，却能在现实生活中找到数学原型，而数学知识能赋予这些数学原型更深的内涵,在经济高速发展的今天，面对日趋复杂的经济现象，人们仅仅依靠经验来认识它们已经远远不够了。生活中一些以函数为背景的实际问题,可通过函数建模转化为求函数的最值问题。例4.1某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,市场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.问每件衬衫降价多少元时,市场
17、平均每天盈利最多?最多是多少?解 设每件衬衫应降价元,根据题意得 去掉括号后，我们发现它是一个二次函数，根据前面阐述的方法我们很容易求出在时有极大值1250，所以当时,商场盈利最多,最多盈利是1250元。5 结束语“函数”是高中数学中最基本、最重要的概念。函数所包含的内容十分广泛，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分，因此它又是进一步学习的重要基础。函数极值作为函数性质的一个重要分支和基本工具在数学与其他科学领域都有广泛的应用。本文只针对高中所学知识，简单浅显的谈了几种基本函数常用的求极值的方法，以及函数极值在实际生活中的应用。由此，我们可以更加了解函数的极值及其应用。参考文献：1 陈路
18、飞. 函数发展史J. 数学爱好者, 2006,2: 49-50.2 李建华. 普通高中课程标准试验教科书数学选修1-1AM. 北京：人民教育出版社，2007. 3 马复. 九年级教课书数学上册M. 北京: 北京师范大学出版社，2014.4 钱佩玲. 普通高中课程标准试验教科书数学必修一AM. 北京: 人民教育出版社, 2007.5 汤小梅. 浅析高考导数应用中的几个问题J. 中学生时代, 2006,6: 42-43.6 2014年普通高等学校招生全国统一考试卷(湖北卷)Z. 第22题.7 卜芳. 函数极值知识在生活中的应用J. 科教文汇, 2012,10: 84-89.8 余玲. 二次函数的极值J. 数学学习, 2004,1: 3-4.9 刘佰秋. 函数与方程思想在普通高中教学中的实践研究D.东北师范大学,2012.
