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1、山东省2014届理科数学一轮复习试题选编41：函数的极值与导数一、选择题 (2012年高考(陕西文)设函数f(x)=+lnx 则（）Ax=为f(x)的极大值点Bx=为f(x)的极小值点 Cx=2为 f(x)的极大值点Dx=2为 f(x)的极小值点解析:,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选D （山东济南外国语学校20122013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科）若a0,b0,且函数在x=1处有极值,则ab的最大值（）A2B3C6D9【答案】D 【解析】函数的导数为,函数在处有极值,则有,即,所以,即,当且仅当时取等号,选D (2013浙江高考数学(理)已知为自然对数的
2、底数,设函数,则（）A当时,在处取得极小值 B当时,在处取得极大值 C当时,在处取得极小值 D当时,在处取得极大值 【答案】 C解:当时,且,所以当时,函数递增;当时,函数递减;所以当时函数取得极小值;所以选C; （山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设函数有三个零点、x2、x3,且则下列结论正确的是（）ABCD 【答案】D 函数, f(x)=3x24.令f(x)=0,得 x=. 当时,;在上,;在上,.故函数在)上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.故是极大值,是极小值.再由f (x)的三个零点为x1,x2,x3,且得 x1,. 根据f(0)=a0,且f()=ax2
3、0. 0x21.选D （山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）设函数有三个零点则下列结论正确的是（）ABCD【答案】C【解析】因为,所以函数的三个零点分别在之间,又因为所以,选C (2012年高考(大纲理)已知函数的图像与轴恰有两个公共点,则（）A或2B或3C或1D或1【答案】 答案A 【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而,当时取得极值 由或可得或,即. (2013福建高考数学(文)设函数的定义域为,是的极大值点,以下结论一定正确的是（）AB是的极小值点 C是的极小值点D是的极小值点【答案】 D【解析】本题
4、考查的是函数的极值.函数的极值不是最值,A错误;因为和关于原点对称,故是的极小值点,D正确. (2013湖北高考数学(文)已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B,由由两个极值点,得有两个不等的实数解,即有两个实数解,从而直线与曲线有两个交点. 过点(0,-1)作的切线,设切点为(x0,y0),则切线的斜率,切线方程为. 切点在切线上,则,又切点在曲线上,则,即切点为(1,0).切线方程为. 再由直线与曲线有两个交点.,知直线位于两直线和之间,如图所示,其斜率2a满足:02a1,解得0a. (2012年高考(重庆理)设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所
5、示,则下列结论中一定成立的是（）A函数有极大值和极小值B函数有极大值和极小值 C函数有极大值和极小值D函数有极大值和极小值【答案】 【答案】D 【解析】,由,函数为增; ,由,函数为减; ,由,函数为减; ,由,函数为增. 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减. (2013辽宁高考数学(理)设函数（）A有极大值,无极小值B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值【答案】 D解:由已知,.在已知中令,并将代入,得;因为,两边乘以后令.求导并将(1)式代入,显然时,减;时,增;并且由(2)式知,所以为的最小值
6、,即,所以,在时得,所以为增函数,故没有极大值也没有极小值. 二、填空题（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知函数的定义域为,部分对应值如下表,的导函数的图像如图所示,给出关于的下列命题:函数时,取极小值函数是减函数,在是增函数,当时,函数有4个零点如果当时,的最大值是2,那么的最小值为0,其中所有正确命题序号为_.【答案】 【解析】由导数图象可知,当或时,函数递增.当或时,函数递减.所以在处,函数取得极小值,所以正确,错误.当时,由得.由图象可知,此时有四个交点,所以正确.当时,的最大值是2,由图象可知,所以的最小值为0,所以正确.综上所有正确命题序号为. 三、解答题（201
7、3届山东省高考压轴卷理科数学）已知函数f(x)=-x3+x2-2x(aR).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;(2)若对于任意x1,+)都有f(x)2(a-1)成立,求实数a的取值范围;(3)若过点可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,求实数a的取值范围.【答案】【解析】(1)当a=3时,f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+3x-2. 因为f(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2), 所以当1x0,函数f(x)单调递增; 当x2时,f(x)0,函数f(x)单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-,1)和(2,+). (2)方法一
8、:由f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+ax-2. 因为对于任意x1,+)都有f(x)2(a-1)成立, 即对于任意x1,+)都有-x2+ax-20成立. 令h(x)=x2-ax+2a, 要使h(x)对任意x1,+)都有h(x)0成立,必须满足0,或 即a2-8a0或 所以实数a的取值范围为(-1,8). 方法二:由f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+ax-2. 因为对于任意x1,+)都有f(x)2(a-1)成立,即对于任意x1,+)都有f(x)max2(a-1). 因为f(x)=-2+-2,其图象开口向下,对称轴为x=. 当1,即a2时,f(x)在1,+)上单调递
9、减,所以f(x)max=f(1)=a-3. 由a-3-1,此时-1a2; 当1,即a2时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f=-2.由-22(a-1),得0a8,此时2a8. 综上可得,实数a的取值范围为(-1,8). (3)设点P是函数y=f(x)图象上的切点,则过点P的切线的斜率为k=f(t)=-t2+at-2,所以过点P的切线方程为y+t3-t2+2t=(-t2+at-2)(x-t). 因为点在切线上,所以-+t3-t2+2t=(-t2+at-2)(0-t),即t3-at2+=0. 若过点可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,则方程t3-at2+=0有三个不同的
10、实数解. 令g(t)=t3-at2+,则函数y=g(t)与t轴有三个不同的交点. 令g(t)=2t2-at=0,解得t=0或t=. 因为g(0)=,g=-a3+,所以g=-a3+2. 所以实数a的取值范围为(2,+). （山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数.(1)是函数的一个极值点,求a的值;(2)求函数的单调区间;(3)当时,函数,若对任意,都成立,求的取值范围.【答案】解:(1)函数 , 是函数的一个极值点 解得: (2) (3)当a=2时,由(2)知f(x)在(1,2)减,在(2,+)增. b0 解得:0b0,当(-2,)时,0,求函数y=f(x)在区间
11、(a-1,a+1)内的极值.【答案】(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),得m-n=-3. 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得=3x2+2mx+n, 则g(x)=+6x=3x2+(2m+6)x+n. 而g(x)的图象关于y轴对称,所以-=0,解得 m=-3. 代入得n=0. 于是=3x2-6x=3x(x-2) 由0得x2或x0, 故f(x)的单调递增区间是(-,0),(2,+); 由0,得0x2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2) (2)由(1)得=3x(x-2),令=0得x=0或x=2 当x变化时,f(x)的变化情况如下表: x(，0)0(0,2)2(2，)00f(x)增函数
12、极大值减函数极小值增函数由此可得:当0a1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当1a3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值; 当a3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得,当0a1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1a3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a3时,f(x)无极值 (2012年高考(重庆理)(本小题满分13分,()小问6分,()小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.() 求的值;() 求函数的极值.【答案】解:(1)因,故 由于
13、曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即, 从而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去), 当时,故在上为减函数; 当时,故在上为增函数; 故在处取得极小值. (2013福建高考数学(理)已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极值.【答案】解:函数的定义域为,. ()当时, , 在点处的切线方程为, 即. ()由可知: 当时,函数为上的增函数,函数无极值; 当时,由,解得; 时,时, 在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上:当时,函数无极值 当时,函数在处取得极小值,无极大值. （山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知
14、是三次函数的两个极值点,且,求动点所在的区域面积.【答案】解:由函数可得, , 由题意知,是方程的两个根, 且,因此得到可 行域, 即,画出可行域如图. 所以 （山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知(1)当a=1时,求的单调区间;(2)求在点(0,1)处的切线与直线x=1及曲线所围成的封闭图形的面积;(3)是否存在实数a,使的极大值为3?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)当a=1时, 当时,时,或 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为:(-,0),(1,+) (2)切线的斜率为 切线方程为y=-x+1 所求封闭图形面积为 (3) 令 列表如下: 由表可知,= 设 在上是增函数, 不存在实数a,使极大值为3.
