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1、JIU JIANG UNIVERSITY毕 业 论 文 题 目 微分中值定理证明不等式方法研究英文题目Using differential mean value theorem proving inequality method studying 院 系 理学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 班 级 A0811班 指导教师 二零一二年五月摘 要不等式的证明有很多种，其中微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法。本文分别给出罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理的定义以及分别利用其定理证明的一些不等式。新课程标准更加注重理论联系实际且应用实际的原则，因此本文最后还给出一些
2、基本不等式在现实生活中的应用。关键词: 罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理；不等式证明；不等式的应用 Abstract There are many ways to prove inequality，And value theorem to prove the inequality is a kind of important method. This paper will give some examples that use Roller Mean Value Theorem，Lagrange Mean Value Theorem，Cauchy Mean Value
3、 Theorem and Taylor Mean Value Theorem to prove inequality. The new curriculum standard pay more attention to the principle that theory with the practice and apply practical，therefore this paper finally give some basic inequality in real life application.Key Words: Roller Mean Value Theorem; Lagrang
4、e Mean Value Theorem; Cauchy Mean Value Theorem; Taylor Mean Value Theorem; Apply of inequality; Prove inequality.目 录引言1第一章 知识准备21.1微分中值定理定义21.2微分中值定理证明不等式的步骤3第二章 利用罗尔中值定理证明不等式42.1罗尔中值定理的意义及分析42.2 罗尔中值定理的应用4第三章 利用拉格朗日中值定理证明不等式53.1拉格朗日中值定理的意义及分析53.2拉格朗日中值定理证明不等式5第四章 利用柯西中值定理证明不等式84.1柯西中值定理的分析84.2柯西中值
5、定理证明不等式8第五章 利用泰勒中值定理证明不等式115.1泰勒中值定理证明不等式的方法归纳115.2泰勒中值定理证明不等式11第六章 综合利用微分中值定理证明不等式146.1通过求极值点证明不等式14第七章 微分中值定理证明不等式在解题中的应用16第八章 基本不等式在现实生活中的应用18第九章 研究总结20参 考 文 献21致 谢22 引 言 不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别，
6、并且还给出基本不等式在现实生活中的应用.数学问题的解决关键在于我们对待数学问题的方法，如果在学习数学的过程中，我们能有意识地将数学问题系列化，解决数学问题的方法系列化，那么解决数学问题的能力将会得到升华.在高等数学的学习中，不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待的，不等式的证明是数学的重要内容之一，也是难点之一，其常用的方法有：比较法、综合法、分析法、重要不等式法、数学归纳法等，而有一些问题用上述方法解决是困难的，在学完中值定理与导数的应用的内容以后，可以利用微分中值定理、函数的单调性、常数变易法、函数极值性、凸凹性等知识解决一些不等式证明的问题.因此，微分中值定理为证明不等式注入了新的活力
7、，这一创造性思维有效合理的使不等式获得证明，从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系.随着时代的发展，科技的进步及课程改革的不断深入，微分中值定理的应用必将渗透到社会领域的方方面面.第一章 知识准备1.1微分中值定理定义微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理:定理1 罗尔中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且满足,那么在内至少存在
8、一点,使得.定理2 拉格朗日中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导, 那么在内至少存在一点,使得.当函数在内的变化范围已知时,有,于是可以利用拉格朗日定理来证明一类的不等式.定理3 柯西中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点均不为零,那么在内至少存在一点,使得. 定理4 泰勒中值定理:如果函数在含有点的区间上有直到阶的导数,则函数在内可表示成一个多项式与一个余项式的和:.其中,. 注:当时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式. 1.2微分中值定理证明不等式的步骤在微分学中,微分中值定理在证
9、明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等式的两边的代数式选取不同的函数,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这个等式根据取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值定理在证明不等式的应用.因此给出利用微分中值定理证明不等式的步骤（1） 构造辅助函数（2）构造微分中值定理需要的区间（2） 利用，对进行适当的放缩第二章 利用罗尔中值定理证明不等式 2.1罗尔中值定理的意义及分析罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线上必有一点,使得过该点的切线平行于轴.在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定
10、理证明时要综合利用其他的微分中值定理.2.2 罗尔中值定理的应用例1 设函数在上连续，在内可导，且.证明：内必存在一点，使得.分析：由结论令 . 证明：令，由于在上连续，在内可导，且，又,则由罗尔定理知：存在，使得，又，从而在上.再由罗尔定理知：必存在一点，使得即 第三章 利用拉格朗日中值定理证明不等式 3.1拉格朗日中值定理的意义及分析拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线上必有一点,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线,两点的弦.我们在证明中引入的辅助函数,正是曲线与弦线之差.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格
11、朗日定理的一个特殊情形.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ,; (2) ;(3) 值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于,还是都成立.而则是介于与之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点表示成了,使得不论,为何值,总可为小于的某一整数.3.2拉格朗日中值定理证明不等式例2 (1)如果,试证; (2)求证: .证明 (1)令,在区间上连续,在内可导,应用拉格朗日中值定理,则有,.由于在闭区间上,有,所以.(2)当时,显然等号成立.当时,不妨设.设, 由拉格朗日中值定理得, ,.则有 所以 .以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活
12、些.例3 当时,函数在其定义域上可导,且为不增函数,又, 求证 .证明 用数学归纳法当时,显然不等式成立.当时,若均为,或者一个为时,当一个为时,显然有 .设均大于,不妨设,在应用拉格朗日中值定理可得:.在上再次利用拉格朗日中值定理可得:显然,由题设知, .所以 ,即 .假设当时不等式成立,即 .取,显然的情况不证而明,所以只考虑的情况.取,由前面已证的结论有 ,再用归纳假设可得 ,即当时结论成立.所以. .第四章 利用柯西中值定理证明不等式4.1柯西中值定理的分析柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为)取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日
13、中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例2用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下:证明 (1)令,.在区间上连续,在内可导,且在内每一点都不为零,那么由柯西中值定理可得:,则有 ,.下面与例2中解法同,这里就不再赘述了.4.2柯西中值定理证明不等式 例4 (1)设,对的情况,求证: .(2)设，求证: .证明 (1)设,.当时结论显然成立.当时,取或,在闭区间或上连续,在开区间或可导,且在内或每一点均不为零,由柯西中值定理可得:,或即 .所以得证.(2)设,在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可得:
14、,.即 ,.因为,所以.即 . 注意:例4中的两个不等式能用柯西中值定理来证明,但不能用拉格朗日中值定理证明.例 5 如果函数满足两个条件:(1)在闭区间上有二阶导数;(2) .试证明:在开区间内至少存在一点,使得 .证明 令.在此我们利用用反证法来证明本题,我们不妨假设,.对于构造的辅助函数及(其中是中任意固定的一点),两次利用柯西中值定理,可得:其中介于与之间(即或),为上任意点,特别地,在上式中取,并利用已知条件,则有:,其中满足,于是 .同理再取,并利用已知条件,则得:,其中满足.于是: .因此, .这是不可能的.所以在区间内至少存在一点,使得 .第五章 利用泰勒中值定理证明不等式5.
15、1泰勒中值定理证明不等式的方法归纳泰勒公式的余项大体分两种:佩亚诺型余项,拉格朗日型余项.与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比,带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数的假设条件较少,只需函数在处阶可导,不需要阶可导,也不需要在的邻域内存在阶连续导数,因此应用范围较广.但是在证明不等式时,精确度却不如带拉格朗日型余项的泰勒公式好. 利用此原理可以证明一般的不等式,积分不等式,估值不等式等多种不等式,这种方法的用法非常广泛.证明方法:根据已知条件,围绕证明目标,寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式.根据已知条件,向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.5.2泰勒
16、中值定理证明不等式例6 当时,求证:.分析:由于朗格朗日中值定理很容易证明,而利用泰勒中值定理时,当时,不等式为:.显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多,随着的增大,不等式的精确度会大幅度地提高,所以我们在做题过程中,按题目的要求来选择适当的方法来证明不同的不等式.证明 令,那么函数在点展开前项的泰勒公式,余项取拉格朗形式,那么有:.因为,所以,从而,所以有 .即 .同理,因为,所以左端的不等号也成立. 另外,在遇到高阶导数的不等式,一般都首先考虑泰勒中值定理.像之前的例4.我们也可以用泰勒中值定理来证明,下面具体来说明:例5的另一种证法:由题设条件,应用泰勒展开式有:,其中介于与之间,介
17、于与之间.上述两式相减,且有,得:,.令,则有:,.即 .例7 设函数在上二阶可导,且,.求证:对任意的,有.证明: 对任意的,将在点展开.(其中介于与之间).注意到,所以有.对上述不等式的两边对积分,得: 因为.所以. 第六章 综合利用微分中值定理证明不等式6.1通过求极值点证明不等式利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:如果函数在上连续,在内可导,则有:(1)如果在内函数的导数,则函数在上单调增加;(2) 如果在内函数的导数,则函数在上单调减少.另外,函数在内除有个别点外,仍有(或),则函数在上单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再
18、利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质,便可以方便地求出函数的极值,从而证明出不等式.其方法为:确定函数的定义域,然后求出定义域内的所有驻点,并找出连续但不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近的符号变化情况,确定函数的极值点,并求出相应的极大值点与极小值点,从而进一步证明不等式.例8 求证 (1)当时,证明成立.(2)当时,证明成立.证明 (1)令,因为函数在上连续,在内可导,且 .当时,所以当时,函数是单调递增的.故当时,有:,即,从而 成立.(2)因为,所以,.令函数,则有: 因为时, ,所以.即在时严格递增的,又因为,所以,即成立. 例9 设函数在闭区间上二次可微
19、,且满足,试证:当时,有不等式: 成立.证明 令,那么.由于,可知在闭区间上是严格递增的,即,从而有 ,故函数在闭区间上也是严格递增的,于是当时,有:,即 成立.第七章 微分中值定理证明不等式在解题中的应用 例10 a1,n.证明 分析：即证 注意： 对用微分中值定理证明：令 即 例11 设0a1时 所以在（0，+）上严格下凸，因而(2)设=,则所以在上严格下凸，因而例13 设在连续，在二阶可导，证明存在使证明：设 由于 在区间上对应用Lagrange中值定理，即得到 即证第八章 基本不等式在现实生活中的应用数学是来源于生活且应用于生活.在新课标的标准下，我们的课程标准更加注重理论联系实际，摆
20、脱曾经所出现的“书呆子”一说.无一例外，基本不等式在现实生活中有着广泛的应用，下面举例介绍如何利用基本不等式解决生活中的实际问题.一 商品销售价格例14 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（5050元时，可知利润： 因为x-500，所以，当且仅当，即x=60或x=40（不合题意）时，p=2500成立.所以当销售价格为每件60元时，每天获得利润最多.二 节省纸张问题例15 在一页书上所印文字要占S ,上下页空白处要留a cm宽，左右要留b cm宽，若从节约纸张出发，如何设计书页的高和宽的尺寸最为有利？解：设书页的高为x cm,宽为y cm，则书页的面积为.因为（x-2a）(y
21、-2b)=S,所以，. 当且仅当，即时，取最小值为.此时所求的书页的高为宽为. 所以书页高为,宽为时最省纸张.三 费用最少例16 近年随着我国国民经济的发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，据有关部门抽样调查的结果显示，我国城乡居民拥有量比2005年初翻了一番.某种汽车，购车费是10万元，每年支付的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，这种汽车使用多少年时，它的平均费用最少？解：设用x年平均费用最少，由于年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，可知汽车维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此汽车x年
22、总的维修费用为万元.设汽车平均费用为y万元，则有： .当且仅当，即x=10时，它的平均费用最少.第九章 研究总结 通过本论文的写作，我们可以看出微分中值定理在证明不等式方面的贡献.其实，在我们数学的学习中，很多地方都用到了微分中值定理.可见，微分中值定理不仅在不等式方面，在其他高等数学中也有很大的贡献. 本文主要是通过罗尔中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理，泰勒中值定理来证明不等式.由于新课程标准注重理论联系实际原则，且数学是来源于生活、应用于生活.因此，本文在最后给出了不等式在现实生活中的应用. 从中学阶段，我们就开始接触了不等式，并且也学会了不少解决不等式的方法.如分析法、级数法、对
23、数法、导数法、综合法、数学归纳法等等.在学习了微分中值定理证明不等式后，我们将对不等式有了更深刻的理解，也体现出初等数学与高等数学的联系，培养我们的思维能力和逻辑推理能力，提高解题效率，锻炼了学生的创造性思维和发散思维.一题多解也是现代素质教育所提倡的解题方法，学生在学习了微分中值定理证明不等式后，对不等式的证明有了更多的解题方法.这样可以促使学生在今后解决不等式方面的问题时可以根据需要灵活的选用解题方法.参 考 文 献 1D.S.密斯特利诺维奇.解析不等式M.北京:科学出版社.1987.2.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第八版）.北京:高等教育出版社.20063.科朗等.微积分和数学分析引论M
24、.北京:科学出版社.2002. 4华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,1991.5裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,1994.6刘玉莲.数学分析讲义M.北京:高等教育出版社,1999.7林丽绿.利用微分中值定理证明不等式J.泉州师专学报,1997,第一卷.8赵文祥.微分中值定理与不等式J.天津电大学报,2007,增刊.9孙学敏.微分中值定理的应用J.数学教学研究,2008,第28卷第10期.10邵士敏高等数学基础M科学出版社，200011.11陈光曙大学数学（理工类）上册M同济大学出版社，2007.212 汪荷仙. 高等数学解题方法指导M.成都科技大
25、学出版社， 1995.12 13 马德炎. 常见的代数不等式的证明J.高等数学研究.2009（5）27-29. 14 Black, F, M. Jensen, and M. Stoles, “The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests”, in Jensen, M “Studies in the Theory of Capital”, 197215 Cox, J, Ingersoll, J. E. and S.A. Ross, 1985b, A theory of term structure of interest rates,
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27、ple of Mathematical Analysis （Second edition）, Mc Graw-Hill , New York, 1964.96-102. 致 谢 本文是在强毅老师的悉心教诲指导下完成的，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，但强毅老师一直都本着细心、严谨的态度对我的论文进行指导.由于我的知识水平有限，在完成一稿时，论文基本上是不成型的，不管是内容、格式，各方面都存在非常大的缺陷.强毅老师对我的论文耐心的分析，然后教导我本论文的研究方向，给我列出论文大纲，指引我如何进行二稿的修改.二稿结束后，虽然比一稿有了很大的进步，但在强毅老师严谨治学、耐心批改下，还是发现了很多的瑕疵.论文排版、格式、字体等很多细节上都存在不少问题.所以，在论文三稿时，在这方面就有了很大的改善.在论文的写作过程中，我还查找了图书馆的不少资料，以及向同学请教了很多问题.所以，在此，向图书馆的老师及同学表示忠心的感谢.由于我的学术水平有限，论文还有很多不足，恳请各位老师和学友批评和指正!
