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1、【标题】怎样培养学生列方程解题的能力 【作者】祁 莎 莎 【关键词】列方程能力审题思路等量关系训练数形结合一题多解转化思维 【指导老师】程 支 明 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言初等数学通常被划分为研究空间形式的几何学和探讨数量关系的代数学两大分支。方程是代数学，特别是初等代数学解决实际问题的有利工具，它在代数学中占有很重要的地位。方程这个名词，最早见于我国古代算书九章算术，是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作.我国古代数学家刘徽注释九章算术说，“程，课程也二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必
2、须列出几个等式一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程.其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产在应用题方面，往往用方程解比用算术方法简易得多，方程解应用题，只要对式子进行变式计算，不必仔细研究每个具体步骤中的实际意义.而算术方法却要从已知数据仔细分析，拐弯抹角地利用倒过去想，这样就难多了，而方程则是顺着做容易多了.2概述中国传统数学具有的”追求实用,注重算法,寓理于算”的特点,决定了数学以解决实际问题和提高技术为主要目标,算法是其成果的表现形式长期以来，我国的数学无论从教材或从教学来说，对应用题是重视的，但是也存在不少问题，主
3、要是偏重内容的教学，轻视能力的培养，加之教材的选择和编排不尽合理，教学的方法不尽恰当，以致于花力大，收效少.因此，如何提高学生列方程解应用题能力，又使学生负担减轻，成为一个值得认真研究探讨的问题.近年来，我国一些数学教研人员和教师也开始注意研究如何教给学生一般的解题思路和方法，特别重视分析题里的数量关系.有的实验教材中也加强理解题意，摘录应用题条件，补充应用题的条件，检验应用题的解答等的训练,这对于提高学生解答应用题能力有很大的帮助2.在我国,自80年代初小学开始增加列方程解应用题，一直有不同的看法.十多年的实践表明，增加简易方程和列方程解应用题，的确有助于发展学生的抽象思维，减少解应用题的难
4、度，培养学生灵活解题的能力，有利于中小数学的衔接.很多教师把方程解法作为向算术解法的过度，最后还是强调算术解法，忽视方程解法.近年来,有些改革实验，强调算术法与方程法并重，相辅相成，取得较好效果.例如，7据小学数学教师1989年第3期载上海虹口区教育学院按上述方法试验情况，第一次测试，试验班与控制班差异不明显，第二年秋追踪到中学进行测试，结果试验班成绩明显优于控制班，只学算术解法的学生到了中学产生了负迁移.另外小学数学教师1992年第2期载无锡市教委教研室等使用课程教材研究所编的实验教材，也取得类似的结果.许多国家或地区采取这些措施，使应用题教学更适合学生的年龄特点，无疑会有利于减轻学生的学习
5、负担，更好地激发学生对解应用题的兴趣和积极性.我国在解应用题方面一直存在着偏难偏多的问题，特别是升学考试为了便于择优录取，往往出现超过大纲、课本范围的题目，给教学带来很大的压力和负担.近年来实施义务教育以后，强调全面提高民族素质，应用题教学开始注意适当降低难度，是一个可喜的现象5.美国在80年代初就提出“解问题”是80年代学校数学的重点.在为90年代拟订的中小学数学课程标准中，再一次强调数学教育的目标之一是使学生成为“具有解数学问题能力的人”，“有效地应用数学方法解问题的人”.当然，培养学生解应用题能力的重要意义远不止于此，还可以发展学生的逻辑思维能力，培养学生良好的思维品质（如思维的灵活性、
6、创造性）和道德品质等.1988年第六届国际数学教育会议也强调教学生学会使用解题的一般策略.有的代表指出，传统的教学解问题的方法往往是由教师给出一个范例,让学生模仿；教师不仅没有给学生准备真实的问题情境，也没有教给学生一般的解题策略，这样既不能提高学生解问题的能力，也不能提高他们解问题的积极性.有代表提出解数学问题的一般策略有：联系、分析、分类、想象、选择、作计划、预测、推论、检验、评价等8.前苏联弗利德曼著中小学数学教学心理学原理中说：“形成和发展学生解任何数学题（包括实用题）的一般技能，这是数学教学的基本职能之一”.3何谓能力能力是人顺利地完成某种活动所必需具备的心理特征.在西方心理学中，能
7、力一词有两种含义：既可解释为实际能力(actual ability)也可解释为潜在能力(potential ability).实际能力是指个人现在实际所能做的，这种能力以知识技能来表现，而知识技能主要是学习的成就或训练的结果.所以实际能力也称为成就(achievement)，潜在能力不是指个人已经发展出来的实际能力，而是指如果通过训练可能达到的水平，在英语中常用capacity(能量)或aptitude(倾向、才能)等词来表示1.一个学生解一道数学题，在解题的过程中，所应用的公理、定义、公式等属于知识，而在解题过程中思维活动的严密性和灵活性则属于能力可见，能力和知识是密切联系的，不能分割的，要
8、提高学生的解题能力，应注重从知识和能力两方面入手.“解题是数学的心脏”.解数学问题是学习数学的重要环节与基本途径.所谓解题，就是揭开“条件”与“结论”之间的内在联系，或是探索“已知”可以导出怎么样的“未知”,数学问题千千万万，难易不一，每个题目的要求也不一，所起的作用也不一，就是用一个题目对不同的人来说难易也不一样.培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，其最终目的是为了培养学生分析问题和解决问题的能力.因此，解题能力的培养，不仅是以上三种能力的综合体现，也是提高数学教学质量的主要标志,这就需要数学教师通过解题教学，帮助学生明确数学问题的意义、分类、解数学题的基本要求和程序，掌握解题的策略原
9、则和解数学问题的数学思想和数学方法，提高学生解题能力的水平等等.4如何列方程首先最重要的是让学生体会到列方程解应用题的优越性.其次,要教给学生找题中相等关系的方法，进行找相等关系的转向训练，关键是建立数学模型，即将问题中相关的量及相互关系用代数式和方程表达出来，换句话说就是让学生学会自己列方程.列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，使学生会列方程解答应用题,能正确说出数量间的相等关系,提高学生分析问题和解决问题的能力.列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确列出一元一次方程，从而突破难点.最后使学生掌握检验方
10、法，养成自觉检查，验算的良好习惯2.用方程解应用题比算术方法简易得多，但是应注意一些问题:应根据等量关系式改写成式子，一定要根据题意做；解所得方程是否已求出未知数；认真核对答案是否正确，符合题目给定的实际意义，最后写答.4.1体会列方程解应用题的优越性用方程解应用题，不仅可使解答应用题化难为易，开拓解题思路，发展学生思维能力，而且有利于中小学数学教学的衔接.例1买1张桌子和4把椅子一共用了336元.今年养兔的只数比去年的3倍少5只.大卡车每次比小卡车多运货3500千克10.诸如上述例题我们用过去学过的算术解法很难列出等式，为解决问题,我们引入了可以使问题简单化的方法列方程解题法.解：设桌子的价
11、格是x元，椅子的价格是y元，根据题意得：X+4y=336设去年养兔子x只,今年养兔子的只数为y只，根据题意得：3x-5=y设大卡车每次运货x千克，小卡车每次运货y千克，根据题意得：x-y=3500答略.例2服装厂有240米花布，做了一批连衣裙，每件用布2.5米，还剩65米,这批连衣裙有多少件？一般算术法第一步先求出做一批连衣裙用去多少花布:240-65=175(米).第二步利用每件用布2.5米求出连衣裙有1752.5=70(件).列方程法解:设连衣裙有X件,根据题意,得:2.5X+65=240X=240-652.5X=70这样就将问题一步代出，很多复杂的问题也就简单了许多.4.2谈如何培养学生
12、的审题能力应用题是由情节和数量关系两个部分交织在一起组成的.审题就是要审清题目的情节内容和数量关系，知道该题讲的是一件什么事情，事情的经过是怎样的，并能找出已知条件和要求的问题，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答应用题创造良好的前提条件.具体说来要做到：4.2.1“读”读，就是认真读题，初步了解题意.读题是了解题目内容的第一步，是培养审题能力的开始.要培养学生反复、仔细、边读边想的读题习惯,读题时要训练学生做到不添字、不漏字，不读错字，不读断句，养成自觉通过默读理解题意的习惯.4.2.2“敲”敲就是仔细推敲字、词、句，准确理解题意，语言文字是应用题
13、各种关系的纽带，也是解题的拦路虎.因此，审题教学要像语文教学一样，让学生理解应用题中每个字、词、句的意义，培养学生书面语言的阅读能力.首先，对应用题中的数学术语应该有一个正确的理解.如倍数应用题“倍”的含义、行程问题“相向而行”、“相背而行”的行走情景，学生对这些术语没有正确的理解，就无法理解题意，进而妨碍数量关系的确立.其次，对应用题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，为正确解题铺平道路.如“同学们修补图书，五年级修补127本，比四年级多修补28本,四年级修补多少本？”对此题有的学生一下子分辨不出五年级修补的多还是四年级修补的多，这就要抓住“比四年级多修补28本”这个关键句，
14、联系前后内容把这个简短的句子一步一步地补充完整，使之明朗化，即“比四年级多修补28本”，就是“五年级比四年级多修补28本”，也就是“127本比四年级修的多28本”，这样不难判断出五年级修补的多，四年级修补的少，问题便迎刃而解了.4.2.3“述”述，就是复述题意，进入情境，用自己的话复述题意，能促进学生进一步分析清楚应用题的情节，使题目内容转化为鲜明的表象，让学生真正进入角色.如“小明家养了35只鸡，28只鸭，如果每只鸡一年可以产13千克蛋，每只鸭一年可以产12千克蛋,这些鸡、鸭一年一共可以产多少千克蛋？”学生若能这样复述：“小明家养35只鸡，每只鸡一年能产13千克蛋，还养了28只鸭，每只鸭一年
15、可产12千克蛋,小明家养的这些鸡和鸭一年总共能产多少千克蛋？”这就说明学生对题意已真正完整地理解了.复述题意能准确地反映出学生对题意的理解程度，有利于培养学生的概括能力和数学语言的表达能力，从而提高审题能力.4.2.4“拟”拟，就是模拟情景，展示数量关系.有些题目可通过指导学生列表、画图等方法模拟应用题的情景，使应用题的情节、数量关系直观全面地展示在学生面前，进而扫除理解题意的障碍.1.列表审题时把条件和问题用表格表示出来，通过列表整理，题目中的条件、问题及其数量关系便一目了然.例3某粮食加工厂有3台磨面机，4小时可磨面粉2184千克，现在要增加同样的5台磨面机，7小时可以磨面粉多少千克？如表
16、4.1表4.1台数（台） 时间（小时） 面粉数（千克）3 4 21843+5 7 ？例4某农场种水稻600公亩，小麦180公亩，玉米比小麦多种300公亩，农场共种三种农作物多少公亩？如表4.2表4.2水稻600公亩小麦180公亩玉米比小麦多种300公亩三种农作物多少公亩?这样列表条理清楚，不至于搞错数量间的关系.2.画图审题时,把条件和问题用图形表示出来，通过图形整理题目中的条件、问题及其数量关系便一目了然.例5五（1）班47是男生，已知这个班的女生有24人，求男生的人数.依题意可画出线段图：图4.1从图中可清楚地看出“24人”与“47”无直接关系，但从图中，可看出其对应分率应是“37”，这一
17、点的突破就是审题的关键.此外，在教给审题方法的基础上，教师要对学生进行严格的审题训练，以培养他们认真审题的习惯,提高审题的能力.一、 善于寻找题中的等量关系6找等量关系是根据题意列方程的关键,有些应用题数量关系复杂，学生一时不易找出隐含的等量关系，以致列不出方程，这是屡见不鲜的事.因此找题中的等量关系应在教学中引起高度重视.训练找等量关系的能力，可以从数量关系比较明显的问题开始，再过渡到数量关系较复杂的问题,可以组织找等量关系的练习.例6买1张桌子和4把椅子一共用了336元.今年养兔的只数比去年的3倍少5只.大卡车每次比小卡车多运货3500千克.以上这些关键句，都能直接说出相应的等量关系式，在
18、教学中应加强抓关键句的训练.对于一些较隐含的等量关系式,可以借助图形和表格显示题中的等量关系，以探索题中不变量，揭示等量关系.二、善于从不同角度列方程列方程的实质是把题中的“生活语言”转化为“代数语言”，即把文字等量关系式用已知数与未知数代入,即得方程.它的知识点有：设未知数为x；根据等量关系列方程;根据等量关系列方程教学时，应鼓励学生根据不同的等量关系式列出不同的方程，然后加以比较，找出较好解法，以提高学生灵活运用方程法解题的能力.我认为从不同角度列方程应该是教学的核心，能培养学生思维的灵活性6.例7李师傅比徒弟每小时多加工零件10个李师傅4小时加工零件180个，徒弟每小时加工零件多少个？首
19、先我们先用以前学过的代数方法解这道题：第一步求出李师傅每小时加工零件的个数：1804=45（个）.第二步运用已知条件“李师傅比徒弟每小时多加工零件10个”求出徒弟每小时加工零件个数：45-10=35（个）.现在我们用方程试着解这道题.在列方程时，引导学生根据“李师傅比徒弟每小时多加工零件10个”这一关键句说等量关系式，在此基础上列出方程.方法一解：设徒弟每小时加工零件x个根据题意列方程，得：1804-x=10x=45-10x=35方法二解：设徒弟每小时加工零件x个根据题意列方程，得：x+10=1804x+10=45x=35方法三解：设徒弟每小时加工零件x个根据题意列方程，得：1804+10=x
20、,学生发现x没有参与运算，实际是算术方法解，到此学生选择了以上两种较好的解法.还有没有其他思路呢？学生思考，得出以下解法:方法四解：设徒弟每小时加工零件x个根据题意列方程，得：180-4x=1044x=140x=35方法五解：设徒弟每小时加工零件x个根据题意列方程，得：4（x+10）=180x+10=45x=35在研究探索问题的过程中,我们发现方法五所抓的关键句不同于方法一、二、三，它利用的关键句是“李师傅4小时加工零件180个”，而根据“李师傅比徒弟每小时多加工零件10个”来设.通过讨论，我们的思维活跃了,学习兴趣也大大提高.三、灵活地运用算术解法和方程解法6应用题的算术解法与方程解法既有联
21、系，又有区别.两者最明显的区别在于：方程解法中未知数可以参加列式与运算；算术解法中则不能.正因为如此，方程解法就可降低分析推理的难度.一般来说算术解法是方程解法的基础，而方程解法优于算术解法；但是小学里教学的仅仅是简易方程，学生解方程的本领还比较差，特别是数的范围还没有扩展到有理数，有时会出现会列方程不会解方程的情况,因此教学中决不可忽视算术解法.教学列方程解应用题以后，有些应用题可以让学生分别用算术方法和方程法来解，通过比较逐步分清两种解法的思路有什么不同，并能根据题目不同特点，灵活选择解法.一般来说，顺向思维的题宜用算术解法；逆向思维的题宜用方程解法.直接求几何图形的周长、面积或体积，宜用
22、算术解法；否则宜用方程解法.教学列方程解应用题时，应注意的问题还有一些如：要重视检验.这是列方程解应用题的组成部分,它既能保证解答的正确性，又能培养学生的认真负责态度,养成检验答案的习惯，对以后的学习有好处.5应用题解题思路训练10应用题是义务教育阶段数学教学中的重点和难点，特别是一些较复杂的应用题，由于数量关系较隐蔽，学生在解题时很难找出正确的解题思路,会出现这样和那样的问题.因此,在应用题教学中,教师应教会学生运用已有数学知识,大胆地想象，力求通过不同方法，从不同角度进行探索,培养发散性思维能力,应重视各种解题思路的训练12.5.1列表模拟情景思路训练例8一户农民养鸡240只，平均5只鸡6
23、天要喂饲料4.5千克,照这样计算这些鸡15天要喂饲料多少千克？写出题中的条件问题：表5.15只鸡 6天 4.5千克240只鸡 15天 X千克解:设这些鸡15天要喂饲料X千克,根据题意得,4.556=X24015用归一法先求出1只鸡1天要喂的饲料，再求240只15天所需的饲料即4.55624015540（千克）答：240只鸡15天需饲料540千克.5.2数形结合看图分析训练例9修路队三天修了一段公路，第一天修40，第二天修12，第三天修2.5千米,这段公路长多少千米？先分段画图：图5.1再分析解答把全段公路看做单位“1”，那么第三天修的2.5千米正好是全段公路的（14012）,它和2.5相对应，
24、所以解:设全段公路长为X千米,根据题意得：X(1-40-12)=2.52.5（14012）25（千米）（答略）.例10有一桶油第一次取出25,第二次取出20千克,桶里还剩28千克油,全桶油重多少千克？先分段画图：图5.2把整桶油看作单位“1”，从图中清楚地看出,后两次取出油的总和,正好是第一次取油后余下的部分,即（125），它与（2028）相对应.解:设全桶油重X千克,根据题意得:X(125)=2028(2028)(125)80（千克）（答略）5.3一题多解思路的训练一题多解就是根据题目的结构特征和数量关系，引导学生借助已有的知识，从各个不同角度去思考，从各个方面去分析题中的数量关系,采用各种
25、不同解法达到知识的融会贯通、灵活运用.例11学校买来一批儿童读物,按4:5分给五年级甲乙两个班,甲班分得20本,这批儿童读物一共有多少本？解法一解:设这批儿童读物一共有x本,根据题意得:X(4:(4+5)=20X=20(4:(4+5)思路:把这批读物按4:5分给甲、乙两个班,可以看作是把这批读物平均分成(4+5)份，甲班分得4份，乙班分得5份,也就是甲班分得的本数与读物总数的比是4:(4+5).解法二 20(154)思路:如果把甲班分得的本数看作单位“1”，乙班分得的本数就是甲班的 54,那么这批儿童读物的总本数就是甲班分得本数的(1+54).解法三解:设这批儿童读物一共有x本,根据题意得:x
26、4(4+5)=20思路:把这批读物按4:5分给甲、乙两个班，可以看作是一共分成了(4+5)份，甲班分得其中的4份把这批读物的本数看作单位1，甲班分得这批读物的49，正好是20本.解法四 204(4+5)思路:把这批读物按4:5分给甲、乙两个班，可以看作是一共分成了(4+5)份，其中甲班分得4份，是20本,可以先求出每一份是多少本，再求一共有多少本.学生还能列出以下算式：204(5+20)204(4+5)2045+20解:设这批读物一共x本x-20=2045解:设乙班读物有x本204=x5，再算x+20为培养学生的思维能力，引导学生探索解题思路，可对一道题的数量关系进行分析、对比，多角度、多层次
27、地沟通知识的内在联系.例12同学们参加野营活动,一个同学到负责后勤的老师那里去领碗老师问他领多少,他说领55个；又问“多少人吃饭”，他说“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗”算一算,这个同学给参加野营活动的多少人领碗？一般解法把饭碗数看作单位“1”，则菜碗数是12，汤碗数是13，总碗数55与（11213）相对应，根据除法意义可求出饭碗数.55（11213）30（个）根据题意，人数与饭碗数相同.（答略）方程解法解:设有x人参加野营活动，根据题意，得:饭碗数x个，菜碗数为x2，汤碗数为x3，列方程：xx2x3 55，解得x30（答略）按比例分配解法把饭碗数看作“1”，则饭碗数菜碗数汤碗数11
28、213632饭碗数是55663230（个）人数与碗数相同.（答略）此题解法不只限于以上三种，还有其他解法，这里不再赘述.5.4转化性题组训练有很多应用题题材不同，但数量关系相同，且解法完全一样,把这样一些应用题排在一起，有利于学生掌握问题的实质，找出这类题的解题规律.例13有下面一组题：(1)一项工程由甲工程队修建需12天，由乙工程队修建需要20天,两队共同修建需要多少天？(2)甲从东庄走到西庄需要2小时，乙从西庄走到东庄需要3小时，如果甲、乙分别从东西庄同时相向出发,需要经过几小时才能相遇？(3)甲、乙两个童装厂合做一批出口童装，甲厂单独做要20天完成，乙厂单独做要30天完成,两厂合做多少天
29、可以完成？(4)有一水池装有甲、乙两个进水管单开甲管需6分钟注满，单开乙管需4分钟注满,两管齐开需多少分钟注满?13分析：(1)设工程总量为单位“1”,甲每天完成工程的112，乙每天完成120,甲乙合做一天完成工程的(112120),解:设两队共同修建需要X天,根据题意,得:1=X（112120）.(2)设东庄到西庄的路程为单位“1”,甲、乙二人的速度分别是12和13，甲、乙每小时走完全程的(1213)，解:设甲、乙分别从东西庄同时相向出发，需要经过X小时才能相遇,根据题意,得:1=X（1213）.(3)设这批童装的总量为单位“1”,甲厂每天完成的工作量是120，乙厂每天完成130，两厂合做一
30、天就完成总量的（120130），解:设两厂合做X天可以完成,根据题意,得:1=X（120130）.(4)设水池的容积为单位“1”,甲管每分可注水16，乙管每分可注水14，甲、乙两管齐开每分钟可注（1614）,解:设两管齐开需X分钟注满,根据题意,得:1=X（1614）.（答略）通过以上的类比训练，可使学生弄清工程问题、相遇问题、工作问题、水管问题,虽然题材不同，但它们数量关系相同，这就使知识间的联系在学生的头脑中形成.在此基础上再引导学生对上面的各种不同解法进行比较，使学生看到题目中的条件虽然是用比来表示的,但却可以看成是分数、整数相除等关系，从而认识到整数、分数、比和比例这些知识的内在联系,
31、虽然学生练习的是一道题，但这道题的知识覆盖面却很广.学生在解答时需要选择头脑中储存的多种信息,并进行比较，找到解题的途径和方法，寻求最佳解法，并要善于选择思路简捷、计算简便的解答方法.这就说明，这样训练不仅有利于知识的沟通，而且有利于培养学生分析、解决问题的能力.列方程解应用题的思路比较简单、顺畅，思维难度小，且解法划一，可以使一些应用题化难为易（特别是逆向思考的还原应用题和两步计算的和倍、差倍及分数应用题等），有明显的优越性，这对提高学生应用数学基础知识，培养学生解题的能力，有积极作用。总之,只有在符合认知规律前提下，老师在学法上正确指导，学生多动手,动脑,及时总结,理解透彻,在思维上强化训练,才能使学生在列方程解题能力培养上达到理想的效果.
