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1、2017年高考模拟试卷（5）南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上(第4题)开始否输出S是S0n 3SS+nnn - 1结束输入n1 设集合，则 2 若复数z满足，则z的共轭复数是 3. 用系统抽样方法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生随机地编号为，按编号顺序平均分为个组若第组中用抽签的方法确定抽出的号码为，则第组抽取的号码为 4. 如图是一个算法流程图，若输入n的值是6，则输出S的值是 5 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号盒子中各有1个
2、球的概率为 6 设，则“”是“”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择） 7 已知圆与抛物线（）的准线交于A、B两点，且，则的值为 （第9题）8 设是等差数列的前项和，则的值为 9 如图，三棱锥中，是中点，在上，且，若三棱锥的体积是2，则四棱锥的体积为 10已知函数（），且（），则 11已知函数f (x)若函数yf(f (x)k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是 12已知ABC外接圆的半径为2，且，则 13设是三个正实数，且，则的最大值为 14设a为实数，记函数f(x)axax（x，1）的图象为C如果任何斜率不小于1的直线与C都至多有一个公共点，则
3、a的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长若acosB1，bsinA，且AB（1）求a的值； （2）求tanA的值EFABCDP（第16题）16(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD为矩形，且AB，BC1，E，F分别是AB，PC的中点，PADE（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：平面PAC平面PDE17(本小题满分14分)某市2016年新建住房面积为500万m2，其中安置房面积为200万m2.计划以后每年新建住房面
4、积比上一年增长10% ，且安置房面积比上一年增加50万m2. 记2016年为第1年.（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m2？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.18(本小题满分16分)已知椭圆C的方程为，点A，B分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点A为圆心为半径作圆A，以点B为圆心为半径作圆B若直线：被圆A和圆B截得的弦长之比为（1）求椭圆C的离心率；yAAOxlBA （2）已知a=7，问在x轴上是否存在点P，使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为，若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由1
5、9（本小题满分16分）已知函数（e为自然对数的底数，e，）（1）当时，求的单调区间和极值；（2）若对于任意，都有成立，求k的取值范围；若，且，证明： 20(本小题满分16分)给定数列，记该数列前项中的最大项为，该数列后项中的最小项为，（）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的；（2）若是数列的前项和，且对任意，有， 其中且 设，判定数列是否为等比数列； 若数列对应的满足：对任意的正整数恒成立， 求的取值范围第卷（附加题，共40分）21【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选
6、修41：几何证明选讲BDCAPE（第21A题）如图，ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP/AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P求证：PAEBDEB选修42：矩阵与变换求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.C选修44：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），且曲线上的点对应的参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的普通方程；（2）若是曲线上的两点，求的值D选修45：不等式选讲已知a0，b0，ab1，求的最小值22【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤题图BCDA1B1C1第22题图如图
7、，在直三棱柱中，已知，.是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小的余弦值.23【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤设ab0，n是正整数，An(anan1ban2b2a2b n2 ab n1bn) ，Bn()n（1）证明：A2B2；（2）比较An与Bn（nN*）的大小，并给出证明2017年高考模拟试卷(5)参考答案一、填空题1 2 3. 391 4. 18 5 6充分不必要 74 8 91010已知函数（），且（），则 10由，知，因为，所以，所以11(1，2 f(f (x)作出函数f(f (x)的图像可知，当1k2时，函数yf(f (x
8、)k有3个不同的零点1212由可得，即，所以圆心在上，且 注意到，所以，所以13由，得，设，则，因为，所以，所以的最大值为14设a为实数，记函数f(x)axax（x，1）的图象为C如果任何斜率不小于1的直线与C都至多有一个公共点，则a的取值范围是 14由任何斜率不小于1的直线与C都至多有一个公共点，也即x，1时，曲线上任意两点连线的斜率都小于1，所以在x，1上恒成立由，即，设，只需，且，所以二、解答题 15解：（1）由正弦定理知，bsinAasinB，又acosB1， ，两式平方相加，得(asinB)2(acosB)23，因为sin2Bcos2B1，所以a（负值已舍）； （2）由（1）中，两式
9、相除，得，即tanB，因为AB，所以tanAtan(B) 32（14分）16证：（1）方法1：取线段PD的中点M，连结FM、AM.因为F为PC的中点，所以FMCD，且FMCD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EACD，且EACD.所以FMEA，且FMEA.所以四边形AEFM为平行四边形所以EFAM.又AM平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.方法2：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN.因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，所以BCEANE，CBENAE.又AEEB，所以CEBNEA.所以CENE.又F为PC的中点，所以EFNP.又NP平面PAD，EF平面PAD
10、，所以EF平面PAD.方法3：取CD的中点Q，连结FQ、EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AEDQ，且AEDQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQAD.又AD平面PAD，EQ平面PAD，所以EQ平面PAD.(2分)因为Q、F分别为CD、CP的中点，所以FQPD.又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ平面PAD.又FQ、EQ平面EQF，FQEQQ，所以平面EQF平面PAD.(5分)因为EF平面EQF，所以EF平面PAD.(2) 设AC、DE相交于G.在矩形ABCD中，因为ABBC，E为AB的中点，所以.又DAECDA，所以DAECDA，所以ADEDCA.又ADECDEADC9
11、0，所以DCACDE90.由DGC的内角和为180，得DGC90.即DEAC.因为点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上，所以PO平面ABCD.因为DE平面ABCD，所以PODE.因为POACO，PO、AC平面PAC，所以DE平面PAC，又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE.17解：（1）设年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m2， 依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而年内所建安置房面积之和为 m2， 则3 000，整理得， 解得. 答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m2. （2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1
12、.1为公比的等比数列， 设第年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为， 则， 由得，解得.答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变. 14分18解：（1）分别过点A、B作直线的垂线，垂足为，由题意得，由点到直线距离公式得，因为圆A以为半径，所以半径为c，被直线截得的弦长为，圆B以为半径，半径为a，被直线截得的弦长为.因为直线：被圆A和圆B截得的弦长之比为，所以，解得（ac0）.因为，所以所求的离心率为,（2）存在点P，使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为，设点，由题意可得直线方程为,直线截圆A所得的弦长为,直线截圆B所得的弦长为, , 化简得（*），由（1
13、）离心率为，得， 即方程（*）为,解得或， 即存在2个点和；当时，解得，当时，解得, 即有无数条直线； 故存在2个点P，使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为19解：（1）（i）当时，的递增区间是，无递减区间；无极值（ii）当时，由得，；由得，；的递减区间是，递増区间是，的极小值为，无极大值 （2）由，可得，因为，所以，即对任意恒成立，记，则，因为，所以，即在上单调递增，故所以实数k的取值范围为由已知，结合（1）可知，,在上单调递减，在上单调递增，又，时，不妨设，此时，故要证，只要证，只要证，因，即证设， 当时，在上单调递减，时，故当时，即成立，20解：（1）； 3分（2） 当时，
14、所以；当时，由，则，两式相减得，即，所以6分因为，所以当时，数列满足（），即数列是以为首项，为公比的等比数列；当时，数列不是等比数列 8分 由知，当时，；当时，10分又，由于，所以由可得，所以对任意的正整数恒成立，即数列的前项单调递增是题设成立的必要条件，易知12分因为，所以当时，由，得，解得，此时，不符合，舍去；当，由，得，解得，此时，符合综上所述，的取值范围是 16分第II卷（附加题，共40分）21A证：因为PA是圆O在点A处的切线，所以PABACB 因为PDAC，所以EDBACB，所以PAEPABACBBDE又PEABED，故PAEBDE 10分21B解：设点(x0，y0)为曲线|x|+
15、|y|=1上的任意一点，在矩阵对应的变换作用下得到的点为，则，所以 5分所以曲线|x|+|y|=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为|x|+3|y|=1，所围成的图形为菱形，其面积为 .10分21C解：（1）将及对应的参数代入为参数），得，所以，所以曲线的普通方程为.4分（2）曲线的极坐标方程为，将代入得，所以. 10分21D解：因为a0，b0，ab1，所以(2a1)(2b2)5，从而()(2a1)(2b2)14529 6分所以 当且仅当，且ab1，即a，b 时，取得最小值 10分22解：因为在直三棱柱中，所以分别以、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则,因为是的中点，所以，2分（1）因为，设平面的法向量，则，即，取，所以平面的法向量，而，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；5分（2），设平面的法向量，则，即，取，平面的法向量，所以，二面角的大小的余弦值10分23（1）证明：（2）证明：；令且，于是因为，所以
