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1、3.1导数与函数的单调性【学习要求】1结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系2能利用导数判断函数的单调性3会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)【学法指导】结合函数图像(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.一基础知识回顾1.函数单调性：一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0单调递减f(x)0常函数二问题探究探究点一：函数的单调性与导函数正负的关系例1：已知导函数f(x)的下列信息：当1x0；当x4，或x1时，f(x)0；当x4，或x1时，f(x)0.试画出函数
2、f(x)图像的大致形状解：当1x0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x4，或x1时，f(x)0得，x3；由f(x)0得，2x0，即20，解得x.又x0，x.令f(x)0，即20，解得x或0x0，0x.f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)跟踪训练2：求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x； (2)f(x)； (3)f(x)sin x(1cos x)(0x0，所以x10，由f(x)0得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0得x0，(x2)20. 由f(x)0得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0得x3，又定义域为(，2)(2，)，所
3、以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)f(x)cos x(1cos x)sin x(sin x) 2cos2xcos x1(2cos x1)(cos x1)因为0x0得0x或x2；由f(x)0得x0，函数在(0,6)上单调递增2f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图像如图所示，则函数yf(x)的图像可能是(D)解析：由导函数的图像可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即函数f(x)为增函数观察选项易知D正确3函数f(x)ln xax(a0)的单调增区间为(A)A B C(0，) D(0，a)解析：f(x)的定义域为x|x0，由
4、f(x)a0，得0x0，得x2；令y0，得x0，得x或x；令y0，得x0和f(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的则甲是乙的 (A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2 函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是(D)A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)3 函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23bg(x)，则当axg(x) Bf(x)g(x)f(a) Df(x)g(b)g(x)f(b)7 函数yf(x)在其定义域内可导，其图像如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为2,3)8 函数yx2
5、sin x在(0,2)内的单调递增区间为9函数yax3x在R上是减函数，则a的取值范围为_10.已知函数yf(x)的导函数f(x)的图像如图所示，试画出函数yf(x)的大致图像解：由yf(x)的图像可以得到以下信息：x2时，f(x)0，2x0，f(2)0，f(2)0.故原函数yf(x)的图像大致如下：11求下列函数的单调区间：(1)yxln x； (2)y.解：(1)函数的定义域为(0，)，y1，由y0，得x1；由y0，得0x1.函数yxln x的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)(2)函数的定义域为x|x0，y，当x0时，y0，得x1；令f(x)0，得1x0，即3mx26mx0，当
6、m0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，解得0x0时，函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)3.2函数的极值【学习要求】1了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2掌握函数极值的判定及求法.3掌握函数在某一点取得极值的条件【学法指导】函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质函数极值可以在函数图像上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.一基础知识回顾1极大值点与极大值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等
7、于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2极小值点与极小值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值3如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.二问题探究探究点一：函数的极值与导数的关系问题1：如图观察，函数yf(x)在d、e、f、g、
8、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？答：以d、e两点为例，函数yf(x)在点xd处的函数值f(d)比它在点xd附近其他点的函数值都小，f(d)0；在xd的附近的左侧f(x)0，右侧f(x)或x时，f(x)0；当x时，f(x)0. 所以f(x)的单调递增区间为单调递减区间为(，) (，)和(，)；当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图像的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图像有三个不同的交点，即方程f(x)a
9、有三个不同的实根跟踪训练3：若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围解：f(x)2x36xk，则f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是减函数，f(x)在(，1)和(1，)上为增函数f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k. 要使函数f(x)只有一个零点，只需4k0(如图所示)即k4. k的取值范围是(，4)(4，)三练一练1“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2下列函数存在极值的是(B)Ay Byxex Cy
10、x3x22x3 Dyx3解析：A中f(x)，令f(x)0无解，A中函数无极值B中f(x)1ex，令f(x)0可得x0. 当x0，当x0时，f(x)0. yf(x)在x0处取极大值，f(0)1. C中f(x)3x22x2，424200. yf(x)无极值D也无极值故选B.3已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为(D)A1a2 B3a6 Ca2 Da6解析：f(x)3x22ax(a6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6或a0，a1.5直线ya与函数yx33x的图像有三个相异的交点，则a的取值范围是2a2解析：f(x)3x23，令
11、f(x)0可以得到x1或x1，f(1)2，f(1)2，2a2.四课时小结1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题.4.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极
12、大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值五作业设计 1. 函数yf(x)的定义域为(a，b)，yf(x)的图像如图，则函数yf(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(A)A1个 B2个 C3个 D4个2 下列关于函数的极值的说法正确的是 (D)A导数值为0的点一定是函数的极值点 B函数的极小值一定小于它的极大值C函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数3 函数yx33x29x(2x0；当x(1，)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0C当x(，1)时，f(
13、x)0D当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于(D)A2 B3 C6 D99 若函数yx33axa在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是(B)A1a2 B1a4 C2a4或a0，可得x1或x；令f(x)0，可得x0)有极大值，求m的值x(，m)mmf(x)00f(x)极大值 极小值解：f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，则xm或xm.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)极大值f(m)m3m32m34 m1.12设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)
14、求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值解：(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的极大值是f()a，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值f()a，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，即a0，a1，当
15、a(，)(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点13已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)当a时，求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，由a知，2aa2.以下分两种情况讨论：若a，则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x) 极大值极小值x(，a2)a2(a2，2a)2
16、a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如上表：所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.3.3最大值、最小值问题(一)【学习要求】1理解函数最值的概念，了
17、解其与函数极值的区别与联系2会用导数求某定义域上函数的最值【学法指导】弄清极值与最值的区别是学好本节的关键函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.一 基础知识回顾1函数f(x)在闭区间a，b上的最值如图，函数f(x)在闭区间a，b上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值，(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，
18、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二问题探究探究点一：求函数的最值问题：函数的极值和最值有什么区别和联系？答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值例1：求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x1,3；(2)f(x)xsin x，x0,2解：(1)f(x)2x312x，f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.当x
19、变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)增极大值减极小值增所以函数f(x)的单调递增区间为(，)，(，) 因为f(1)10，f(3)18，f()8，f()8；所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18. (2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0,2，解得x或x. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x02f(x)00f(x)0增极大值减极小值增当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).跟踪训练1：求下列函数的最值：(1)f(x)x32x24x5，x3,1；(2)f(x)ex(3
20、x2)，x2,5解：(1)f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4. 令f(x)0，得x12，x2.f(2)13，f，f(3)8，f(1)4，函数f(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3) ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.探究点二：含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在
21、点(1，f(1)处的切线方程(2)求f(x)在区间0,2上的最大值解：(1)f(x)3x22ax. 因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20. (2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a. 当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0. 当02，即0a0时，列表如下：由表可知，当x0时，f(x)取极大值，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)3，即b3. 又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)1
22、6a329，a2. (2)当af(1)，f(2)16a293，a2. 综上可得，a2，b3或a2，b29.探究点三：函数最值的应用例3：已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围解：f(x)ln x1ln x，xf(x)xln x1，而xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa. 令g(x)ln xx，则g(x)1. 当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最大值点，g(x)g(1)1. 综上可知，a的取值范围是.跟踪训练3：设函数f(x)2x39x212x8c，若对任意的x0,3，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.
23、 当x1时，f(x)取极大值f(1)58c. 又f(3)98cf(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c. 对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c9. c的取值范围为(，1)(9，)三练一练1函数yf(x)在a，b上(D)A极大值一定比极小值大 B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值 D最大值一定大于极小值解析：由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值2函数f(x)x33x(|x|1)(D)A有最大值，但无最小值 B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值 D既无最大值，也无最小值解析：f(x)3x233(x1)(x1)，当x(
24、1,1)时，f(x)0，则函数y在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin ，故选C.4函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为71 解析：f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0得x3或x1. 又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20. 由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.四课时小结1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可一般地，可
25、采用分离参数法f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.3.函数最值：(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b上连续单调，则最大、最小值在端点处取得五作业设计1 函数f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是(B)Af(2)，f(3) Bf(3)，f(5) Cf(2)，f(5) Df(5)，f(3)2 f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是(C)A2 B0 C2 D43 函数y的最大值为(A)Ae1 Be Ce2 D.4 已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于(C)A B. C D.或5 函数y在定义域内(C)A有最大值2，无最小值 B无最大值，有最小值2C有最大值2，最小值2 D无最值6 设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图像分别
