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1、圆锥曲线概念的应用一、第一定义的应用：例1：（1）设定点，动点P满足则动点P的轨迹是什么？ （2）若一个动点P（x,y）到两定点A（-1，0），B（1，0）的距离之差的绝对值为定值，求点P的轨迹。例2：（1）方程表示什么曲线？ （2）方程表示什么曲线？ （3）方程表示什么曲线？例3：（1）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，直线l过点F2交椭圆C于A、B两点，求ABF1的周长。 （2）已知双曲线的方程为，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，求ABF1的周长。 （3）抛物线y2=4x截直线y=2x+b得弦AB，若|AB|=，F是抛物线的焦点
2、，求ABF的周长。例4：（1）一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程。 （2）求与圆C：内切，且过点A（2，0）的动圆圆心M的轨迹方程。 （3）已知直线l：y=-1及圆C：，动圆M与l相切且与圆C外切，求动圆圆心M的轨迹方程。（4）在中，BC=2，且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。二、第二定义的应用：例5：（1）椭圆上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，求P到右焦点的距离。 （2）若双曲线上一点P到右焦点的距离为8，求点P到左准线的距离。 （3）斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，求线
3、段AB的长。例6：（1）已知椭圆，F1、F2分别为椭圆的左右焦点，点A（1，1）为椭圆内一点，点P为椭圆上一点：求|PA|+|PF1|的最大值和最小值； 求|PA|+|PF2|的最小值。 （2）已知双曲线，F为其右焦点，A（4，1）为平面内一点，点P在双曲线上，求|PA|+|PF|的最小值。 （3）已知点M（-2，4）及焦点为F的抛物线y=x2,在此抛物线上求一点P使|PM|+|PF|的值最小，并求出最小值。 （4）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A（，4），求|PA|+|PM|的最小值。例7：（1）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的左
4、支上，且|PF1| |PF2|=32，求的大小。 （2）已知双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且，求双曲线方程。 （3）在双曲线x2-y2=4上取一点，使该点与焦点的连线互相垂直，求该点坐标。例8：（1）设P（x0,y0）是离心率为e，方程为（）的椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，求证：|PF1|=a+ex0；|PF2|=a-ex0 （2）若双曲线（）的左右焦点是F1、F2，P（x0，y0）是双曲线上任意一点，求证：|PF1|=|a+ex0|；|PF2|=|a-ex0| （3）若抛物线y2=2px（p0）的焦点是F，点P（x0，y0）是抛物线上任意一点，求证：|PF|=x0+例9：（1
5、）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任一点，证明：若 |PF1| |PF2|的最大值是 （2）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线上任意一点，求证：若 |PF1| |PF2|的最小值是例10：求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切。例11：过抛物线y=ax2(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若|PF|=m，|QF|=n，则 。例12：设抛物线方程为y2=2px(p0)，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长|AB|=圆锥曲线定义的深层及综合运用圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆
6、锥曲线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。图1解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。二、双曲线定义的深层运用例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。图2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y1的最短距离。图3解析：易知抛物线的准线l：，作AA”l，BB”l
7、，MM”l，垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为2故M到直线y1的最短距离为。评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. 已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ）图4已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ）A. 圆 B. 椭圆C. 双曲线 D. 抛物线解析：如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|QP|，而|QM|OM|OQ|2|OQ|即|OQ|Q
8、P|2|OP|故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点长轴长为2的椭圆。应选B。同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5. 如图5，已知三点A（7，0），B（7，0），C（2，12）。若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。图5解析：由椭圆定义知，|AP|AC|BP|BC|，即故P的轨迹为A（7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，其方程为；经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上总有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14
9、故点Q的轨迹为以A（7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，其方程为。练习1. 已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以为焦点，为其顶点，若P为两曲线的公共点，且，则e_。答案：2. 已知O：，一动抛物线过A（1，0）、B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F的轨迹方程。答案：圆锥曲线中的方法与运算1. (与名师对话第51练) 已知抛物线,点, 问是否存在过点的直线,使抛物线上存在不同的两点关于直线对称,如果存在, 求出直线的斜率的取值范围; 如果不存在,请说明理由.分析: 这是一个求变量(斜率)的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率)相关的变量(
10、根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到. 我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量的取值范围. 解: 设直线的方程为,若,则结论显然成立,即可取.若,则直线PQ的方程为, 由方程组 可得,. 直线PQ与抛物线有两个不同的交点, 即 . 设线段PQ的中点为G(), 则, , 点G()在直线上, =, 由 可得, , , () , 或.综上所述, 直线的斜率的取值范围为.2
11、. (与名师对话第51练)已知椭圆, 点A是椭圆与轴的交点, F为椭圆的右焦点, 直线与椭圆交于B,C两点.（1） 若点M满足,求直线的方程;（2） 若,在上,且,求动点的轨迹方程.分析: 题(1)是个定状态的问题: 由可知,点M是定点,且由是线段BC的中点, 由此可求得直线BC即直线的方程.解(1) 由椭圆可知A(0,4), F(2,0). , (2,0)-(0,4)=2()-(2,0), 即M(3,-2). , 点M是线段BC的中点, 直线BC即直线的斜率为. (可以有四中方法:,点差法,设法,设而不求法求得). 直线的方程为,即.分析: 题(2)是一个动状态的问题:点D随AB的变化而变化
12、,从而点D的坐标是刻画直线AB的变化的量的参数(斜率)的函数, 可设BC的方程为(k存在), 从而点M是直线AM(直线AD用参数k刻画)与直线BC的交点,在由是直角得参数k与b的关于式,消参数k与b即得点D的方程.解法(一) 设直线AB的斜率为,则直线AC的斜率为.直线AB的斜率为方程为,由方程组可得, , ， 同理得, . ， 直线BC的方程为, +，. 直线AD的方程为, ,由与移项相乘消去可得, 即 .说明: 本解法用的是参数法中的特殊方法-交轨法.解法(二): 设直线的方程为, 则直线AD的方程为.(显然由方程和方程消去和即可得点D的轨迹方程, 这里我们必须给出和的关系式,将这一几何条
13、件转化为代数形式即可得和的关系式)由方程组可得,设, 则. , , , , , +化简得,.解得,(舍去)或. 方程即为, 由方程和方程消去得, , 即 .3. (与名师对话第51练)已知直线过点(1,0),且与抛物线交于两点,为原点,点 在轴的右侧且满足:.（1）求点的轨迹C的方程;（2） 若曲线的切线的斜率为,满足:,点到轴的距离为,求的取值范围.分析：由可知，点的轨迹C就是弦AB的中点的轨迹.解(1) 显然直线的斜率存在,设为,则直线的方程为: ,由方程组消去整理得,设, , , 消去得点的轨迹C的轨迹方程为: . , 或, 点在轴的右侧, ,故点的轨迹C为抛物线上的一段弧.分析: 点到
14、轴的距离为就是点的横坐标的绝对值.因为曲线的切线的斜率为,所以=,由知,由此可知,我们必须建立点的横坐标的绝对值关于的关系.解(2): 设, 则由可知,=, , , , , , 方法(一) , (), , .方法(二) , (), , , 且 .4. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为 ,过点且倾斜角为(0)的直线交抛物线于两点,且.（1）求的值;（2）若点分所成的比为,求关于的函数关系式.分析: 要求的值,必须给出关于的方程.解(1): 设过点且倾斜角为(0)的直线的方程为.由方程组消去整理得, 则, , , . 分析: 由可知过点且倾斜角为(0)的直线为.先建立关于的函数关系式,再
15、转换为关于的函数关系式. 解(2): 关于的函数关系式, , , 由(1)可知,由方程组可消去得,. 00）的一个焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过原点O。参考答案给出了如下的几何证法：证明：如图，DlNEXCOFYBA记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作ADl，D是垂足则 ADFEBC连结AC，与EF相交手点N，则根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC| 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O 近几年，笔者在高三复习备考教学中，对该题的条件与结论进行一番探究，编拟如下一组命题，从而
16、得到圆锥曲线的一个统一性质。命题1 设椭圆的右焦点为F，经过点F的直线交椭圆于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过定点。XEAAACONFYDBA证明：如图，记x轴与椭圆的右准线l的交点为E,过A作ADl，D是垂足则 ADFEBC连结AC，与EF相交于点N，则根据椭圆的第二定义，即点N是EF的中点，直线AC经过EF的中点N。命题2 设双曲线的右焦点为F，经过点F的直线交双曲线右支于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过定点。XEAAACONFDBAlY证明：如图，记x轴与双曲线的右准线l 的交点为E，直线AC与EF交于点N，过A作ADl，D
17、是垂足 ADFEBC 根据双曲线的第二定义即 |AF|BC=|BF|AD| 点N是EF的中点，故 直线AC过定点（EF的中点N）。命题3 设双曲线的右焦点为F，经过点F的直线交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过定点。证明：如图，记x轴与双曲线的右准线l 的交点为E，直线AC与EF交于点N，过A作ADl，D是垂足 ADFEBCXEAAACONFDBAlY 根据双曲线的第二定义即 |AF|BC=|BF|AD| 点N是EF的中点，故 直线AC过定点（EF的中点N）。 由此可见，这个直线过定点问题具有普遍性质，不是某一类圆锥曲线所特有的性质，而是圆锥曲线
18、的一个统一性质。现将圆锥曲线这一个统一的性质归纳概括成如下定理：XEAAACONFDBAlY定理 过圆锥曲线的焦点的直线交圆锥曲线于A、B两点，点C在相应的准线l上，且BCl ，则直线AC过定点。XEAAACONFDBAlY解析几何综合题中的韦达定理在解析几何的综合题中，直线与圆锥曲线是永恒的主题，不少考生对突破这一常规难点心存疑虑，信心不足。造成这一困惑的主要原因除运算量较大外，还有一个非常重要的原因是对韦达定理在解题中的应用技巧认识不足，训练不到位。 中国人们大学附属中学的王建民老师曾就解决直线与圆锥曲线的综合问题提出过三个环节：第一，当直线与圆锥曲线交于两个点时，将直线方程与曲线方程联立
19、，得到一个变元的一元二次方程，这时便可得到判别式（问题成立的必要条件），韦达定理表达式；这一环节千篇一律，易于掌握。第二，用和（或和）或坐标的其他形式表示本题中涉及到的量或关系。这一环节的特点是千变万化，丰富多彩，不易把握，是主要矛盾。我们解题的主要工作量和难点就在于此。在解题实践中，我总结出关于韦达定理应用的三个变式技巧，就像三把“利剑”,可以帮助大家解决很多问题。 一、利用（或）将与长度或面积有关问题与韦达式联合例1，从抛物线外一点引倾角为的直线交抛物线于两点。若成等比数列，求抛物线方程。分析：设,由已知易得，直线方程为，代入中，可得，所以，解得或，且（）,因为成等比数列，所以，,利用平几
20、知识，将平面直角坐标系下的距离比化为一维（轴）上的长度之比，即，即,将（）式代入可化得， 若，则有，解的（舍去）若，此时无解。若，解的，均应舍去。故。例2（2007年高考全国卷）已知椭圆的左、右焦点分别为.过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，二、利用（或）实施消元变形。例2：已知椭圆的右准线为,过右焦点的直线与椭圆相交于两点,经过点与x轴平行的直线交右准线于点,求证直线过一定点.解题分析：1.1首先用特殊直线探究定点位置。当垂直x轴时就可以找到定点位置。（普遍性寓于特殊性之中的哲学道理学生是清楚的）即解如下方程组：，得到，和,故有,由此得到直线过定点.1.2如何进行规范的解析证明？直线
21、过定点的一般形式是怎样的？ ， 是一个变数。我们写出直线的方程。设，则，所以,所以的方程为（1）同学们对方程（1）一筹莫展，不知如何处理才能找到定点。问题是在方程（1）中涉及到三个参变数，必须尽量减少变元个数,这些变元与那些因素有关呢？我们将直线的方程与椭圆方程联立，并应用韦达定理进行处理试试看。第一种想法：设方程为（不包括平行于y轴的直线），代入中，化简得：，由韦达定理，得接下来大家对消去参变元的运算量产生了畏难情绪。的确，关于的韦达定理对消去参变元十分麻烦，同学们可以试试看。第二种想法：设方程为，（不包括x轴）代入中，化简得：，_（2）根据方程（1）的形式，大家观察上述两个不同的韦达定理形
22、式，用那一个更好？对直线方程不同形式的选取会产生不同的韦达定理形式，进而会产生繁简不同运算量,这在解析几何综合问题中是经常碰到的事。因而很有必要让学生加以体验和辨析。大家思考后可以发现，第二个关于的韦达定理形式比较简单，而且从方程（1）来看含有纵坐标的变数较多，因而我们应选用关于y的韦达定理形式进行代入，但仍然比较麻烦！有一位同学这样写道：,把和代进来，化简可得：,将它代入方程（1），还是得不到想要的结果。 我们利用韦达定理积极主动消元的大方向是正确的。观察一下关于y的韦达定理（2），看看能不能先行处理一下，然后再应用它呢，即把两式相除，就会得到：（3）在（3）式基础上，可得。（由此可见，这是
23、一个重要的韦达定理变形技巧！）将它和一并代入,化简可得,代入方程（1）有：方程为，即,故直线恒过定点解后反思：本题能推广至椭圆的一般情形： 命题1：已知椭圆，过其焦点的直线与椭圆相交于两点，过点与长轴所在直线平行的直线交相应准线于点，则直线必过定点。 因为，所以，定点是焦点至准线的垂线段的中点，而且在椭圆之外。 命题还能推广至其他圆锥曲线吗？答案是肯定的！作为练习大家可以试证下面的两个命题。命题2：已知双曲线，过其焦点的直线与双曲线相交于两点，过点与实轴所在直线平行的直线交相应准线于点，则直线必过定点()。且该定点在双曲线内部且在焦点至准线的垂线段的中点。命题3：已知抛物线，过其焦点的直线与抛
24、物线相交于两点，过点与对称轴所在直线平行的直线交相应准线于点，则直线必过定点.且该定点在在焦点至准线的垂线段的中点即顶点。三、利用（或）搭桥，将具有（或）的关系式与韦达式联合，实施转化变形。例3：设直线：双曲线：,双曲线的离心率为，交于两点，直线与y轴交于R点，且。（1）证明：；（2）求双曲线的方程；（3）若点F是双曲线的右焦点，是双曲线上的两点，且，求实数的取值范围。分析：对（1）小题只需利用,可得，方程：化为，将代入其中，得，设，,由韦达定理得：，所以,根据已知条件转化为，将韦达式代入化简可得结论：.（2）因为，,得，因为,又,所以,将韦达式代入可得，结合（1），解方程组得，故双曲线的方程
25、为：。（3）因为，由,知三点共线。设，设直线的方程为，代入中，得（），所以由得，所以又,故,将韦达式代入，可得,又所以,既有，由此确定的取值范围是：。参考文献徐志平：例析“降维”思想在一类圆锥曲线题中的妙用.数学通报2007.3圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题我们知道，圆锥曲线一章是高考考查的重要内容之一，而圆锥曲线中的最值问题更是无处不在。在很多教学参考书中，我们都会见到这样的类似问题：已知椭圆C的方程为，F1、F2是它的左右两个焦点，点A的坐标为(3,1)，试在椭圆上求一点P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+2|PF2|最小，并求出相应的最小值。（亦可把椭圆改为双
26、曲线或抛物线，同样有类似的问题）类似于这样的问题，初学者往往很难作答，即使在老师的讲解和点拨下也不易掌握。基础好的同学还可以理解，一般的同学下次再遇到类似的问题时仍然难以做对，还会出现很多不应有的错误。这里笔者想能过一个实例，给出这种问题的一般解题策略和具体处理方法。BALPOB/关于|PA|+|PF2|最小值的问题，同学们不应该感到陌生。在初中我们曾求过这样的问题：如图，已知A、B两点在直线L的同侧，试在L上求作一点P，使得|PA|+|PB|最小。（相对应的还有一个应用题：A、B两个小村庄，L是一条河，今要在河上架设一座大桥，使从A、B两村庄铺设到大桥的公路总长最短，应该如何选址？）我们知道
27、两点之间的连线中，线段最短，所以|PA|+|PB|AB|显然等号不成立，因为A、B在直线L的同侧，如果A、B两点在L的异侧就好了，因为A、B若在L异侧，线段AB就与L相交，交点即为所求作的P点。所以能不能在L的另一侧找到一点B/，使得|PB/|总是等于|PB|呢？求作点B（或者A）关于直线L的对称点B/即可。B/ALQOBQO转化思想就是我们解决问题的基本策略。我们只要将同侧的两点转化为异侧的两点，问题就得以解决。比如：请在L上再找一点Q，使得|QA|-|QB|最大？同样道理，|QA|-|QB|总是小于|AB|，如能等于|AB|就行。我们还是转化，异侧两点同侧化，当Q为AB/的延长线与L的交点
28、Q/时，|QA|-|QB|=|QA|-|QB/|AB/|。（这里B关于L的对称点B/与A的连线要与L相交才行，否则Q/点不存在）我们总结得到：同侧和最小异侧化，异侧差最大同侧化。AF2F1PxyoNM根据以上分析，我们可以用类比的方法解决圆锥曲线中的类似问题。能不能将椭圆C内部（同侧）的两点A或者F2转化为一内一外呢？显然无法作出点A（或者F2）关于曲线(椭圆)的对称点（没听说过），使得|PA|总是等于|PA/|。如图，|PA|+|PF2|总是大于|AF2|，但|PA|-|PF2|还是能够等于|AF2|，作直线AF2，与椭圆交于M、N两点，当P运动到图中的N点时，|PA|-|PF2|=|AF2
29、|，当P运动到图中的M点时，|PA|-|PF2|= -|AF2|能不能将|PA|+|PF2|转化为|PA|-|PF2|呢？所以我们给出解决圆锥曲线问题的另一解题策略：回归定义。椭圆的第一定义是：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹。我们不能将点A（或点F2）转移到椭圆外，但我们可以将P到F2的距离转化为点P到另一焦点F1的距离。因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a-|PF1|，于是|PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2aAF2F1PxyoRS要求|PA|+|PF2|的最值，就等价于求|PA|-
30、|PF1|的最值。如图作直线AF1交椭圆于R、S两点，则 -|AF1|PA|-|PF1|AF1|所以2a-|AF1|PA|+|PF2|2a+|AF1|将具体数据代入即可求得本文开始时提出的(1)的解答。那么对于(2)又如何解答呢？与(1)相比，就是在|PF2|前多了个系数2，也只能是2（否则无解），我们可以用圆锥曲线的统一定义，将同侧（内部）问题转化为异侧问题来求解。AF2F1PxyoMl椭圆的第二定义是：平面内到一定点F2的距离与到一定直线l的距离之比为小于1的常数的点的轨迹就叫做椭圆。其中定点为焦点，定直线为此焦点相应的准线，小于1的常数就是椭圆的离心率e。如图，PMl于M，则，所以|PM
31、|=|PF2|本题中，椭圆的离心率e=，所以|PM|=2|PF2|所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，于是我们将问题转化为从定点A到准线l的“折线段”PA与PM的长的和的问题，也就是说将同侧（内部）两点的距离和问题转化成了异侧一点一线距离和的问题。显然当A、P、M三点共线且垂直于直线l时，|PA|+|PM最小，即直接过A作准线l的垂直交椭圆于P点，则P即为所求作。这种转化看来只适用于形如|PA|+|PF2|的最小值的问题。以上我们给出了解决圆锥曲线中这两种最值的解题策略和具体做法，即利用圆锥曲线的定义实现了问题的转化，即同异互化，回归定义。本文开头的问题具体解答如下：AF2F1Px
32、yoRS(1) 由已知椭圆方程得：a=4,b=2,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0)因为P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF2|=8-|PF1|所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF1|=|PA|-|PF1|+8过A、F1作直线RS交椭圆于R、S两点，因为|PA|-|PF1|AF1|=，AF2F1PxyoMl所以8-|PA|+|PF2|8+当P为S点时，|PA|+|PF2|的最小值为8-当P为R点时，|PA|+|PF2|的最大值为8+(2)易求得椭圆的离心率为e=，右准线l方程为x=8过P作l的垂线交l于M点，则|PM|=|PF2|=2|PF2|,
33、所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，当A、P、M三点共线且垂直于l时，|PA|+|PM|最小，且最小值就是点A到直线l的距离。易求得A到直线的距离为5，所以|PA|+2|PF2|的最小值为5，此时点P的纵坐标为1，将y=1代入椭圆方程得x=,所以点P的坐标为(,1).下面我们给出几个题目供同学们练习巩固：1已知两点A(4,1)和B(-1,11)，（1）试在x轴上求一点P，使得|PA|+|PB|最小。（2）试在y轴上求一点Q，使得|PA|-|PB|最大。2已知A(3,1)，双曲线C的方程为，F1、F2是它的左右两个焦点，试在双曲线C上求一点P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2
34、)使得|PA|+|PF2|最小.3已知A(4,1)，F为抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|+|PF|最小值。求解圆锥曲线中的最值问题 历年来，高考数学都要考查圆锥曲线中的最值问题。这些问题形式多变，要求较高，但其解法仍然有章可循，有法可依。本文将介绍求解圆锥曲线最值问题的常用方法。例1.求抛物线上与点距离最近的点及相应的距离。解：设是曲线上任意一点，即，此关于的函数在上单调递增，其最小值在时取得，此时，故所求，相应的距离。评析：上述解题过程是将求圆锥曲线最值转化为讨论二次函数最值，其中运用配方法进行恒等变形。此时应注意其定义域受题设条件限制时，要避免简单地认为一定在抛物线顶
35、点处取得最值。例2、求椭圆上到直线距离最短的点及相应的距离。解：设椭圆上任意点，该点到直线的距离， 当即时， 此时，即所求点，相应的距离为。评析：解题时恰当地引入参数，可以简化繁琐的计算过程，并提供进一步利用函数性质的可能性。F1F2AMxyO例3.、分别是椭圆的左右焦点，为定点，为椭圆上任意点，求的最小值。解：连结、，则， ， ；由。评析：回归圆锥曲线定义，并结合平面几何相关定理，使求解过程显得自然流畅。例4.如图所示，、分别是椭圆长轴上顶点和对应焦点，位于轴正半轴上的动点与的连线交射线于，求：（1）点、的坐标和直线的方程 ；yxQoFTA（2）的面积关于 的函数及其最小值。解:（1）椭圆中心，点、；直线即直线，。（2）当时，；当时，由，=，当且仅当即时等号成立。即所求，（当时）。评析：利用均值不等式性质定理来解圆锥曲线最值问题时，要先将目标函数配凑成积（或和）为定值的形式，这种恒等变形是使用最值定理的重要前提。例5、已知椭圆，过原点且倾斜角为 和 的两条直线分别交椭圆于、和、四点，（1）用、表示
