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1、高中立体几何问题的解法比较探究摘要：本研究首先结合国内外专家、学者、一线教师发表的论文和专著，提出自己的思考，然后对几何学的教育价值以及向量的进入中学的过程及教材内容的比较作研究综述，试图通过实例分析比较立体几何问题解决中综合法和向量法的不同功能，探讨如何全面的看待综合法与向量法，以期使二者的积极功能得以体现，希望对向量理论融入立体几何课程的实践提供一些依据。1、 引言2、 文献综述本文研究的是向量在高中数学立体几何中的应用，并结合综合法对其进行类比研究。运用向量的平移、夹角、法向量等性质将立体几何中的点与线、点与面、线与线、线与面之间等问题转化为纯代数的问题，利用这种思想使问题简单化，以达到
2、让学生能熟练地解决立体几何问题的目的。3大纲和标准中立体几何内容的比较研究文献1通过构建刻画课程难度的数学模型定量比较了标准与大纲中立体几何内容的难度，并得出了“与大纲相比，标准中立体几何部分内容难度大大降低”，文献6通过对大纲和标准中“空间向量与立体几何”的内容比较，认为标准进一步强调“空间向量”的工具作用和应用价值，鼓励学生更多的理解“几何代数化”的发展趋势，向量可以帮助学生建立“多元多维的几何认识”。4.1.1立体几何部分教学内容比较与分析本文所研究的立体几何部分旧教材包括数学第二册(下B)的第九章，新教材包括数学2的第一、二章和数学选修2-1的第三章。如表4-1所示：表4-1新、旧教材
3、立体几何教学内容比较旧教材新教材第九章直线、平面、简单几何体9.1平面的基本性质9.2空间的平行直线和异面直线9.3直线和平面平行与平面和平面平行9.4直线和平面垂直9.5空间向量及其运算9.6空间向量的坐标运算9.7直线和平面所成的角与二面角9.8距离9.9棱柱和棱锥9.10球第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法通过比较
4、，我们分析可得：1.新教材立体几何的教学内容与旧教材立体几何的教学内容相比有些差异。单从上边看，高中数学新课程中“立体几何”部分新增加了空间几何体的结构和空间几何体的三视图，旧教材立体几何没有这部分内容。首先三视图这些内容与义务教育阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接，增加这部分内容的主要目的是进一步认识空间图形，通过空间几何体与其三视图的互相转化，对空间图形有比较完整的认识，培养和发展学生的空间想象能力、几何直观能力，更全面地把握空间几何体。通过观察，学生可以感受空间几何体的整体结构，先从整体上认识空间几何体，再深入认识点、线、面之间的关系，这样与学生的认知规律相符合。如在“空间几何
5、体的结构”一节中，为了使学生能够更好的认识空间几何体的结构，教材要求对图中的图片进行分类，并制定了分类标准：注意空间几何体与平面图形的联系，观察空间几何体的每个面的特点，以及面与面之间的联系。这样在对空间几何体进行比较的过程中形成对柱、锥、台、球结构特征的直观认识。3空间向量知识的介绍新、旧教材有差别。旧教材在“直线、平面、简单几何体”中对“空间向量及其运算”以及“空间向量的坐标运算”做了详细的讲解，这些内容在新教材数学2中的立体几何中没有介绍，而是放在选修2-1的第三章“空间向量与立体几何”中介绍。分析其原因是旧教材重点培养学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力。在过去的立体几何学习中，
6、旧教材主要使用演绎推理来学习立体几何，培养学生的逻辑思维能力。当空间的平行、垂直性质转化为向量表达式（共线、共面向量定理、内积运算）和向量运算后，学习重点就转移到用向量方法解决立体几何问题上来。因为几何发展的根本出路是代数化，所以引入向量研究几何是几何代数化的需要。使用旧教材的学生在高一已学习了平面向量，只要稍加推广就可以得到空间向量运算体系。首都师范大学硕士学位论文新教材的安排也有其道理，因为高中上学期的学习没有提及过向量，本章的学习也只是几何初步的学习，有些公理的推理证明也不需要完全证明。4从整套新教材来看，几何教学的要求不是一步到位，而是分阶段，分层次，多角度的。第一阶段新教材对立体几何
7、知识做了初步介绍，介绍了柱体、锥体、台体以及球的表面积和体积，介绍了线面、面面平行和垂直的判断定理和性质定理，但没有完全给出证明。二面角的求解和线线、线面关系的判定定理以及三垂线定理的证明等知识在第二阶段的“空间向量与立体几何”的学习中作了介绍。旧教材中立体几何的学习因为集中在“直线、平面、简单几何体”一章中学习，所以比较深入的学习了这些知识，新教材在第一阶段只是做了初步的介绍。4向量法求解立体几何问题的方法4.1向量法解决平行问题的方法3.1.1 线线平行设a ,b 分别是两条不重合的直线a , b 的方向向量,则a b a =b( R,且 0) .4.1.2 线面平行设直线L 在平面外,.
8、a 是L 的一个方向向量,.n 是的一个法向量,则L a n a n = 0.4.1.3 面面平行设m ,n分别是两个不重合的平面,的法向量,则/m/nm =n (R 且0) . 4.2向量法解决垂直问题 4.2.1线线垂直 设a ,b 分别为直线a , b 的一个方向向量,则a bab a b = 0.4.2.2线面平行设a为直线L 的一个方向向量, n 是平面的一个法向量,则L an a =n(R且0)4.2.3面面垂直设m ,n 分别为平面,的一个方向向量,则m n mn = 0.4.3向量法解决空间距离4.3.1两点间的距离 设空间两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)
9、的距离| d=|p1p2|= .4.3.2点线间的距离方法一： 点P 直线L ,设a 是直线L的一个法向量,在L上取点A , 在a上的投影为|OA|=, 则点P 到直线L 的距离d =|OA| =方法二：空间点到直线L的距离公式:设直线L的方程为点是直线L上的点，则空间点到直线L的距离为d=4.3.3点到面的距离方法一：设点平面，平面：Ax+By+Cz+D=0. 空间中点到平面的距离公式: d=方法二: 设平面a 的斜线AO a = O, n 是a 的一个法向量,则点A 到平面的距离d =4.3.4线线间的距离方法一：设a ,b 分别是异面直线a ,b 的方向向量,n是a ,b 的法向量,在a
10、 ,b 上各取一点A ,B , 在n 上的投影方法二：空间中两异面直线L1和L2之间的距离公式设直线Li的方程为 （i-1,2）d= 4.4 向量法解决空间角问题 4.4.1线线角设异面直线a、b 的夹角为( 090) ，a 、b 分别为a , b 的一个方向向量,则cos =| cos | = 4.3.2线面角若直线a 与平面 斜交于B 点，P 在直线a上，PA 于A，n为平面的法向量，a 与所成角为(090)，则 sin=sin(-)=cos= 4.3.3二面角二面角L为(0180)，n为平面的法向量，m为平面的法向量，则cos=cosn ，m，那么向量n，m的夹角n，m就是二面角AB（或
11、其补角）的大小。到底是哪种关系要通过观察图形来确定。若二面角是锐角，则选正的余弦值；若二面角是钝角，就选取负的余弦值，这种方法简单但容易判定失误。鉴于这种情况，国内主要专业期刊有不少的文章进行了讨论并给出了解决方案，如文献8,21,33,34等。下面是文献21给出的一种方法：首先明确一个概念：在二面角两个面内分别取一点，以这两个点为端点的线段的内点称为二面角的内点，二面角的内点的集合称为二面角的内部。这样，我们就可以有二面角两个面的法向量对于二面角的内部“戳出”或“戳进”的概念，那么，二面角-l-的大小(0)，与两个法向量夹角=的大小必是互补(两个法向量都是“戳进”或都是“戳出”时，图3(a)
12、,(b)或者相等(两个法向量一个“戳进”一个“戳出”时,图3（c）)。5综合法解决立体几何问题的方法5.1线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质:平行垂直直线a和直线b(1)同平行于直线c的两直线平行行(2)=b,a/,a (3)(4)a,b(5)两平行平面都和第三个平面相交分别交于a与b，则交线平行(1)ab,b/cac(2)a,bab(3)三垂线定理及其逆定理(4)a/,b ab直线a (b)与平面(1) (2) (3) a,a,a/(1) am, an a(2)a/b,ba(3)a/, a(4) , a, aba(5) ,a平面与平面(1)若内的两条相交直线a,b都平行于，则/(2)a,
13、a/(3)平行于同一平面的两平面平行(1) m,m(2) /,5.2综合法解决空间距离的方法 5.2.1异面直线距离：通常找公垂线段，在根据已知条件求出公垂线段长。或参考异面直线距离的8种求法。 5.2.2点到平面的距离：先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算；或利用等体积法。5.3综合法解决空间角的方法 5.3.1异面直线所成角：将异面直线平移，转化为同一平面内的两条直线，再借助三角形的正、余弦定理求解。5.3.2线面角：先求点到面的距离，然后解直角三角形。5.3.3二面角：方法一：设二面角- l - 的大小为(0180) ,a ,b 分别是平面,内且垂直于l 的向量,则
14、 = 或 = - 方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。6.例题分析例1在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCDPD =DC点E是PC的中点，作EF PB交于点F。求证：PA平面EDB.求证：PB 平面EFD.求二面角C -PB -D的大小。（1）综合法思考过程由“求证”想“判定”，要证线面平行，可以通过线线平行或面面平行来证明，这就要求学生对于定理的掌握灵活熟练，而且还应有一定的解题经验。即使告诉学生“有了中点找中点，两点相连中位线”，有的还会看不出应作三角形PCA的中位线EO。一方面是不能够从复杂的图形中分离出
15、需要的基本图形，抓住主要矛盾；另一方面也需要通过教师的讲解形成学生的经验，这样就可以不断的提高学生读图的水平，消除观察障碍，使空间想象能力得到提升。垂直关系是空间元素间重要的位置关系，是高中数学知识的重点。而线面垂直又是重点内容的核心，它与平行的问题、垂直的问题、距离和角的求解有着密切的关系。本题要证线面垂直，必将通过线线垂直和面面垂直来转化。由已知PBEF，只需去寻找PB与另外一条线垂直即可。由于问题中垂直关系比较充分，通过线线垂直线面垂直BC 平面PDC面面垂直平面PDC 平面PBC-线面垂直DE 面PBC-线线垂直DE PB-线面垂直PB面EFD的转化，使问题得到解决。在上面的过程中，学
16、生的思维在经历直观感知、观察发现、演绎推理中得到提升。要想灵活运用定理，必须熟悉定理的使用条件及结论，以及定理的各种标准及变式图形，应能在各种“环境”中找到定理的条件，这种训练也是提高学生空间想象能力及逻辑思维能力的手段。由二面角的平面角的定义我们可以得到：平面角所在的面必定与棱垂直！所以由第2问的结论，二面角的大小易求。故只需在RtDEF中求出即可。这一步不仅考察二面角的平面角的做法，而且也要求学生对非常规位置（课本中定理定义图形的画法）的图形有比较好的观察力，综合法中对于空间角的求法是“一作，二证，三计算”，要求学生不主观臆断，注意说理的层次型，这对训练学生的数学思维是很有必要的。（2）向
17、量法（用法向量解决）建立空间直角坐标系后只需证明PA和平面EDB的法向量n垂直即可。可用数量积来证明垂直。只需求平面CPB和DPB的法向量的夹角即可。图5可求出平面PBC的一法向量m=(0,1,1)，易知AC=(1,1,0),为平面PBD的法向量。，即两个法向量的夹角为60，通过观察可知，二面角C-PB-D的大小也为60.这个方法并不依赖较多的知识：大量定理、定义、以及严格的演绎逻辑推理过程。只须直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，解题过程模式化强。在这个方法体系中，平行、垂直、角的求出对学生来说是可以被明确把握的了。学生易错点是不能正确表示点或向量的坐标。这种方法也是标准教材B版中所提供
18、的方法。而在标准教材A版中给出了下面的解法:解：如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1.可以发现它的思路是综合法与向量法的综合，是个结合体，在证明线面平行和垂直的时候，还是利用公理体系中的判定定理来证明，但是在寻找应用定理所需要的条件时，利用向量知识来证明线线平行和垂直。例如由PA =2EG，得到PAEG，由PB。 DE =0得到PB DE,同样，在求二面角的大小时，也是先找到平面角，然后利用向量的计算优势去求解。可以看出，课程改革的理念也并不是彻底抛弃综合法，而是注意到两者的结合，走的是中间路线，既保持了综合法的一些要求，也发挥了向量法的计算优势。A版教材的解法也给我们提供了一种
19、新的思路，为学生思维活动开发了更加广阔的天地例2如图1,在正方体ABCD -A1B1C1D1中, (1)判断BC1与平面A1ADD1的位置关系,并证明你的结论;(2)求证:B1D平面A1C1B.这道题运用“综合法”和“向量法”均可以,但运用前者的话,问题转化显得更容易,解答过程也就更顺畅,特别是第(2)小题.但笔者在批改的过程中发现:如果该校提前学习了“空间向量”的内容的话(注:此内容按规定应是下个学期的授课内容).那么用“向量法”解题的学生就超过95%,且若以第(2)小题为例,计算错误等差错的比率远高于用“综合法”解题的学生.例3(2008年湖北卷)如图2,在直三棱柱ABC -A1B1C1中
20、,平面A1BC侧面A1ABB1. ()求证:ABBC;()若直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角A1-BC -A的大小为,试判断与的大小关系,并予以证明.分析()由已知,ADA1B于D,则易证AD平面A1BC且ABBC.下面我们比较一下参考答案中的第()小题的两种解法.综合法:连结CD,则由()知ACD是直线AC与平面A1BC所成的角,ABA1是二面角A1-BC -A的平面角,即ACD =,ABA1=.于是在RtADC中,sin=ADAC,在RtADB中,sin=ADAB,由AB AC,得sinsin,又0,2所以0,又因为AC与n的夹角为锐角,则与互为余角.所以sin=cos=nAC|n
21、|AC |=acb a2+c2,cos=BA1BA|BA1|BA |=ca2+c2,所以sin=aa2+c2,于是由cb,得acb a2+c2aa2+c2,即sinsin,又0,2,所以.评注从上面这两个案例可以看出,由于空间直角坐标系的建立毫无障碍,习惯上用“向量法”解题的学生会马上作出这种选择.但事实上与“综合法”相比,用“向量法”解决上面的两个问题不但计算显得繁琐,解题步骤丝毫也不占任何便宜.这样就不仅浪费了宝贵的考试时间,其准确性也难以保证.对于某些建立空间直角坐标系较繁琐的题目来说就更不待言了.7、两种方法的比较分析7.1、向量法及其优势所谓向量法就是在图形上取适当的点作为坐标原点，
22、建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题。向量法在解决空间距离和角这类问题上有明显的优势。用向量法解决问题不需要做辅助线、无需证明过程，而且解题思路清晰。对于当前高中学生学习的特点而言，利用此法有利于认识空间几何图形。“综合法”的优点是解法简捷、优雅;对逻辑思维能力和空间想象力的提高较有成效.而缺点是常需添加辅助线、辅助面;须具备较高思维能力和掌握较高技巧. “向量法”的优点是以算代证,数形结合,由数定性、定量,方法统一、机械,可操作性强;弱化了技巧、降低了难度、丰富了思维结构.进一步而言,相对于传统方法,对立体几何题的探讨用向量法则显得自然
23、、简便.对立体几何的平行、垂直、角、距离等问题,特别是根据题设条件可以较方便地建立空间直角坐标系时,这种优越性便发挥得更为明显,既降低了难度,又易学易懂,有效地避开了立体几何中繁琐的定性分析.其缺点是适用范围比综合法窄(比较规则的几何体),运算量比较大,定量计算一旦算错,全盘皆错.而且正如上文所述,相对于传统方法而言,后者对于学生逻辑思维能力及空间想象能力的培养与提高稍显不足.二、向量法在立体几何中的运用在中学立体几何部分解决立体几何问题时，通常用综合法和向量法。运用综合法必须要经过作、证、算三个过程，而且做辅助线对学生的空间想象能力的要求比较高，证明过程也要求学生要有扎实的基础知识和逻辑推理
24、能力，并且计算时也比较复杂。所以学生对综合法的掌握有很大难度，而向量法在思想上就得到了彻底的解放。下面通过几例来展示向量法对比于综合法的优势。由于立体几何在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用，因而它成为历届高考重点考查的内容.(高考试卷中对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上)纵观近几年全国及各省市自主所命的试题，立体几何题一般都采用一题两法的模式，既可用传统的几何方法解答，也可用向量方法解答，且往往是一题多问，第一问一般是线面的平行或垂直等位置关系，第二军第三问是计算空间的角和距离问题.在立体几何中引入空间向量后，虽然一些问题可以用向量为工具来解决，但往往增大了建系
25、设标和计算过程的难度，削弱了对空间想象与逻辑推理能力的要求.事实上，高考立体几何试题的传统证法依然是对中学数学教学评价必不可少的考查内容之一。3“综合法”和“向量法”的选择上的几点思索根据笔者的反复研究和思考,并借鉴相关的资料,认为有以下几点值得思索.3.1两者在培养功能上的区别和对比首先,“综合法”与“向量法”在学生的读图、识图与作图能力的培养功能上有所差异.在解决立体几何的垂直、平行、空间距离与角过程中,用“综合法”一般要经历寻找、猜想、证明或计算等探索过程;而用“向量法”则仅熟练了学生的“以算代证”能力,图形的“自然本色”似乎是得到了很好的保持.其次,“综合法”与“向量法”在学生的空间想
26、像能力的培养功能上有所差异.用“综合法”解决立体几何问题时,学生对具体图形的各种位置关系与度量关系都有互不相同的感性探索与认识,再通过归纳总结上升为理性认识,学生更易发现图形的本质特征;而用“向量法”,所有的问题似乎均“千人一面”,题解完了,但学生不一定会发现图形的本质特征.其三,“综合法”与“向量法”在学生逻辑思维能力的培养功能上有所差异.如在求点面距离时,用“综合法”通常都需反复做理性的转化,涉及线线距离、线面距离、点线距离、点点距离或等积法等知识、方法及逻辑思维能力,而用“量法”,依然只是固定模式的重复.另外,“综合法”与“向量法”在学生运算能力的培养功能上也有所差异.“综合法”的运算功
27、能主要体现在解三角形等方面,而“向量法”则更多地体现出了代数功能,突现了研究几何问题的常见出路几何问题代数化.总之,在用综合法解决立体几何问题时,虽然观察、探索、发现以及解决问题的过程较艰难,可是在这一过程中,学生的识图能力、作图能力、空间想像能力、逻辑推理能力等都得到了充分的展示与锻炼;而在用“向量法”解决立体几何问题时,尽管使问题的探索及论证转化成了套用模型和计算(特别是在求空间的角与距离问题时),降低了探索、论证的难度,但相应地,学生的以上所述的几种能力,尤其是在陌生情况下解决问题的能力等方面,却并未得到有效的培养.3.2针对以上问题的解决方法那么,针对以上的这些情况,教师在教学中应如何
28、把握教材,才能使“综合法”与“向量法”的积极功能都得以体现,从而全面提高学生解决立体几何问题的能力呢?首先,基础对于高中立体几何学习而言是至关重要的.所以在立体几何的初始学习阶段,应该使学生先牢固掌握“综合法”的基本解题要点,特别是在平行、垂直,空间角等的证明与计算方面.让学生培养起能为以后进一步学习提供良好支撑的读、识与作图能力、空间想像能力以及逻辑推理等能力.而对空间直角坐标系知识在初始学习时仅作了解或初步运用即可.理科班学生可以在选修阶段给予加强与提高,而文科班学生则不再作进一步的要求了.其次,在引入“向量法”后,对于理科生而言,我们应通过一题多解或两种方法的综合应用,使学生既能领悟“向
29、量法”的以算代证功能,又能强化以上所述的各种能力的提高.久而久之,学生分析和解决立体几何问题的敏锐程度将不断提高,达到根据不同的题目选择用不同的方法灵活解决的程度.6最后,文7的调查结果表明,许多师生认为综合法是处理几何问题的基本方法(向量法只能解决某些特殊问题),这种观点显然是值得商榷的.笔者认为空间向量的引进,对于高中数学教育来讲是利大于弊的,关键在于我们的科学认识.切不能因为盲目的功利心理而贻误了教材编者的初衷,这才是大忌所在.4.3两种方法的比较4.3.1两种方法的联系：比较以上两种做法，综合法的整个过程可以概括为先证后算，说理性强。第一种向量方法是教材给出的做法，我们发现在整个解题过
30、程中，还是应用的线面平行和线面垂直的判定定理来证的，同样二面角也是先找到平面角再求出。看来课改精神和教材的理念是坚持演绎推理与向量运算并举，两种方法互相结合，有时也不分你我。4.3.2两种方法的不同：首先，综合法与向量法的观察点不同：主要是从对图形的认识角度来说。从学生探索过程来看，用综合法更利于培养学生的空间想象能力。空间想象能力一般包括看图能力、识图能力、分析图形的能力、组合能力、直觉思维。由于立体几何研究的对象是从现实世界抽象出来的空间形式，与现实原型有本质区别，所以直观图并不直观，这也正是立体几何综合法的难点所在。由于课本中反映概念及定理的图形通常是以标准位置给出，比如“线面垂直”、“
31、面面垂直”定理的图形，“二面角的平面角”的概念图形等。由于标准图形的特殊性，导致学生机械的识记和思维的呆滞。而综合法解决问题的依据正是这些定理和概念，正确认识概念和定理图形所反应的本质是解决问题的基础。故只有通过利用图形位置的变化和衬托背景的变换，反复变更概念的非本质，突出且保持概念定理的本质特征，才能排除由标准图所带来的错误信息的干扰。学生若经常进行这样的训练，形成学生自己的经验，从而能够提高他们的解释图形信息的能力以及视觉加工能力和抽象能力，对学生的空间想象能力的培养起到促进作用。而用向量法解决问题时，可能连图形都不用画，学生对图形中的点、线、面之间的运动和关系可以说没有体会，大多数的数学
32、内在都被“隐藏”在了代数运算中。只会用向量法解决问题的学生对图形的认识要比用综合法的学生肤浅得多。其次，综合法与向量法的思考点不同：立体几何涉及二面角，题中有线线关系，线面关系，面面关系，知识覆盖面大。学生在找作、证、求、解的过程中，或在转化问题的过程中，学生对具体图形的各种位置关系与度量关系都有互不相同的感性探索与认识，经历观察、操作、推理、想象等过程。发现如果应用综合法解决该问题，学生对问题的理解肯定比19用向量法思维转化更多更深，尤其是学生在排除干扰和非本质现象，得到正确的结论的过程中，学生的能力必得到了提高，从而使他们在不知不觉中提高逻辑思维能力及空间想象能力。而向量法注重表层形式的操
33、作过程，而轻内部深层的思维操作过程。把空间结构利用向量载体代数化，把空间的研究从定性转为定量，避开了各种辅助线添加的难处，减少了学生思维转换的难度和复杂度，体现了高效性，模式化和可操作性。再次，综合法与向量法的论证点不同：用综合法解题，最终都要有理有据的的有层次有条理的表述出来，要准确，简明的使用数学语言，学生在文字、符号、图像三种表达途径灵活转化的过程中锻炼了自己的思维能力。数学家谷超豪院士说：“数学成为各门科学可靠的工具，也正因为它具有最严谨、最严格的特性。因此，一定要逐步使学生适应这种严格的推理方式，并且在书写上能反映出来。特别是在几何学的教学上，一定要这种逻辑的演绎，这也是训练逻辑思维
34、能力的有效方法，是要重视几何教学的一个原因。”向量法比较侧重量的表示，将形式逻辑证明转化为数值计算的过程，对解题过程推理论证要求比较低。事实上，有些同学尽管解题思路正确甚至很巧妙，但却经常出现“心中有理却说不出”的现象，不能做到有理有据。而不断用综合法处理问题的训练过程中，就可以训练学生的这种论述能力，丰富数学语言系统，提高数学语言水平，数学语言的精确程度影响到数学思维的准确性，也有利于学生欣赏体会数学的统一美，对称美、简单美。第六章本文观点6.1综合法与向量法的比较总结综合法与向量法比较而言，前者对训练学生的逻辑思维能力和空间想象能力较有成效，而且能提高学生论述能力，提高数学语言水平，也有利
35、于学生欣赏体会数学的简洁美。正是由于它本身的这种训练功能，在用综合法处理几何问题时需要学生有较高的空间想象能力，判断点线面位置关系能力及较高的作图读图能力，而且不同的问题需要不同的技巧，没有统一的方法，所以学生与老师普遍感到困难。虽然有一定难度，但为培养学生抽象思维能力、养成良好的分析问题的习惯提供了良好的条件。后者为学生学习立体几何解决立体几何问题提供了一种新的思维模式，开阔了学生的数学视野，让学生体会到了用代数法解决几何问题的优势。尤其在比较规则（易于建立空间直角坐标系）的几何体中证明位置关系及计算角与距离时，优势更加明显，从短期目标来看能够不同程度的提高学生的数学成绩。但如果只对学生进行
36、这方面的训练，就会降低、淡化数学知识本身所具有的强心健脑的功23能，学生可能形成只会按步照搬，缺乏创造力、分析力、想象力的行为模式，从这个角度讲，不利于学生思维能力的培养和以后学习能力的提高。测试分析表明，对用综合法解决立体几何比较熟练的学生来说，学习向量法解决几何问题时也比较容易接受。6.2建议基于以上的比较分析，本文认为在高中阶段，学习综合法和向量法都是必要的，重要的在于处理好二者的地位和关系。首先，在高一阶段学习综合立体几何，打好基础。基础对学习立体几何是很重要的。在立体几何的初始学习阶段，应使学生在作图、识图、读图方面以及在位置关系的判断方面夯实基础，培养他们的空间想能力和逻辑思维能力
37、。高一阶段正好是由初中的“实物”到“抽象”的时期，该阶段数学课程作为初高中数学衔接的载体，此时采用向量途径是不可取的：在缺乏足够的具体模型、几何经验和空间感的条件下，学习几何的向量结构会造成更大教育上的困难。欧氏几何许多经典的内容在数学课程中仍具有重要的地位，在高一阶段我们应该大力加强学生的思维习惯和思维方式的训练，利用推理的逻辑性、证明的简洁性，培养学生科学的思考问题的习惯和科学的思维方法。其次，在高二阶段学习向量法，但内容不必太多，也不必占用太多的课时。由于向量所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构。向量的引入可以理解为现代数学与初等数学的衔接的组成部分之
38、一，为初等数学的研究性学习带来了活力，有助于学生体会数与形的关系，认识数学内容之间的内在联系，培养学生建立几何代数关系，体会用代数方法解决几何问题的思想方法，也为学生进入高一级学校学习如空间解析几何、线性空间、微分几何打下了一个基础。本文认为，向量几何的学习应该安排在高一完整的学习综合几何后。一方面，良好的综合几何的基础对对学习向量内容是有帮助的；另一方面，在高一学生学习了物理课上的“既有大小又有方向的量”之后，比如力，速度，加速度，位移等后，学生对向量的理解就会有比较深的物理情境的体会，这样他们学习起向量理论就会更自然，更容易接受。所以，在高二阶段学习向量知识才是比较恰当的。但要明确学习向量
39、知识主要是让学生接触认识和体会用代数方法解决几何问题，24内容不必太多，不必占用更多的课时，在有限的课时里应捡一些更利于学生做思维体操的内容来教学生。毕竟在空间视觉关系方面，向量几何忽略了视觉的要求，弱化了严密的演绎论证，熟练了学生的以算代证的能力，在训练方面功能不如综合几何更有效。现行高中数学教材立体几何,在引入了空间向量内容后,无可非议在解决立体几何问题上为学生提供了更加广阔的思维背景,结合本人多年教学体验,从以上实验列举中,可以看出新教材立体几何在旧教材基础上引入了空间量法(工具)处理问题,也在实际教学中在一定程度上给学生带来了淡化空间想像能力,作图能力,逻辑推理能力的负面影响,在学习立
40、体几何时容易造成立体几何问题解答向量法万能的假象,这与立体几何学科重在培养学生的空间想象能力,作图能力,逻辑推理能力的新课标要求背道而驰,如何处理好在立体几何教学中培养学生思维广阔性同时,不降低学生空间想象能力,作图能力,逻辑推理能力,以适新教材大纲要求,本人认为应该注重以下几方面教学尝试。在平时立体几何课堂教学中,精心组织设计问题,让学生加强训练,在教师启发解题时着力于拓展思维,尽可能演示发散思维:融合综合法,向量法并举解决问题,切忌用单一向量法解决问题了事,教会学生把握,空间想象能力,作图能力,逻辑推理能力,计算能力在平时学习中得以贯通,在具体解题中得以灵活应用。多角度训练,可以利用复习课,专门抽出单位时间,精心组织设计问题集中练习学生知识薄弱环节,使学生在学习立体几何时知识薄弱环节在平时中就得以充分暴露,以便及时补救。针对学生普遍轻综合法,重向量法解决立体几何问题的现象,平时教学中可以专门抽出单位时间规定学生只能用综合法来解决立体几何问题,以矫正学生思维定势。在综合能力培养上,教师重在平时教学,不失良机地引导学生,针对具体问题突破问题关键,合理选择综合法或向量法解决立体几何问题。进而帮助个体学生归纳出解决立体几何问题贵在发挥个体拥有知识特长寻找最佳解题途径。
