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1、2,例2,解,3,辐角主值的定义:,当z落于一,四象限时，不变。,当z落于第二象限时，加。,当z落于第三象限时，减。,5,5.复数和差的模的性质,6,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,7,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,8,故三角表示式为,指数表示式为,9,例2,求下列方程所表示的曲线:,解,10,化简后得,11,例3,证,12,两边同时开方得,13,例1,解,14,例2,解,15,即,16,例3,解,即,17,18,(1)圆环域:,练习,判断下列区域是否有界?,(2)上半平面:,(3)角形域:,(4)带形域:,答案,(1)有界;(2)(3)(4)无
2、界.,19,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答案,简单闭,简单不闭,不简单闭,不简单不闭,20,三、典型例题,解,无界的单连通域(如图).,例1 指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.,21,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,22,例2,解,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,23,是多连通域.,不是区域.,24,4.复变函数与自变量之间的关系:,例如,25,解,三、典型例题,例1,还是线段.,26,例1,解,仍是扇形域.,27,例2,28,例1,证(一)
3、,29,根据定理一可知,证(二),30,例2：求,解：,因为,在,处连续，因此,32,例3,证,33,例1,解,34,例2,解,35,36,例3,解,37,38,例5,解,39,二、典型例题,解,不满足柯西黎曼方程,40,四个偏导数均连续,指数函数,41,四个偏导数均连续,42,例2,证,43,例3,解,44,例4,解,例5 函数 在何处可导，何处解析.,解,故 仅在直线 上可导.,故 在复平面上处处不解析.,47,例6,证,48,参照以上例题可进一步证明:,例7,1.偏积分法,如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法
4、称为偏积分法.,解,例1.,上式关于x积分，得,51,因此,52,2.全微分方法,对上式从(0,0)沿x轴到(x,0),再从(x,0)沿直线,到(x,y)积分得,53,方法3,由导数公式得,显然,因为u(x,y)中不含任意常数，所以c是纯虚数，,54,方法4：,解法,55,因为u(x,y)中不含任意常数，所以c是纯虚数，,例1,解,例2,解,注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,65,66,67,例1,解,直线方程为,例2,解,(1)积分路径的参数方程为,y=x,(2)积分路径的参数方程为,(3)积分路径由两段直线段构
5、成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,例3,解,由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。,例4,解,积分路径的参数方程为,75,77,78,例6,解,积分路径的参数方程为,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,例1,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,例2,解,例3,解,使用:“分部积分法”,例4,解,根据柯西古萨定理,有,例5,证,由柯西古萨定理,由柯西古萨定理,由上节例4可知,例6,解,根据柯西古萨定理得,例7,解,依题意知,根据复合闭路定理,例8,解,由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是
6、圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.,三、典型例题,例1,解,由柯西积分公式,例2,解,由柯西积分公式,例3,解,由柯西积分公式,例4,解,例4,解,由闭路复合定理,得,例4,解,三、典型例题,例1,解,根据复合闭路定理,例2,解,例3,解,由柯西古萨基本定理得,由柯西积分公式得,例4,解,根据柯西积分公式知,例,解,根据复合闭路定理和高阶导数公式,解（1）,（2）,例2,解,级数满足必要条件,但,例3,故原级数收敛,且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,故原级数收敛.,所以原级数非绝对收敛.,例4,解,例5 判别级数的敛散性.,解,发散，,收敛，,例5 判别
7、级数的敛散性.,解,解,收敛,收敛,例5 判别级数的敛散性.,例6 求下列幂级数的收敛半径,解,(3),在收敛圆内可以逐项积分,即,或,附:常见函数的泰勒展开式,例1,解,四、典型例题,上式两边逐项求导,例2,分析,如图,即,将展开式两端沿 C 逐项积分,得,解,例3,解,例4,解,本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点,四、典型例题,例1,解,例2,内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,解,由,且仍有,此时,仍有,解,例3,例4,解,例5,内的洛朗展开式.,解,例7 求积分,解,因为在,内，有,解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,如果补充定义:,时,解,无负幂项
8、,另解,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为有限值,不存在且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,解,注意:不能以函数的表面形式作出结论.,不含正幂项,含有无穷多的正幂项,课堂练习,答案,解,所以,因为,例1,例2,解,例4,解,例5 计算积分,解：被积函数,在,所围区域内有奇点,例1 计算积分,解,带人积分中,例2 计算积分,解,163,例3 计算积分,解：,由定理可得,.,165,例 求单位阶跃函数,的拉普拉斯变换.,解,166,最后的条件,167,例2 求,的拉普拉斯变换.,解,注意,168,解,同理可得,169,解,例5 利用微分性质求,解,例6 求函数 的拉氏变换（为正整数）,解法一：直接利用定义求解,可得递推关系,又由于,得到,解法二：利用微分性质求解,且,即,解,例8 求函数,解,由于,即,解,177,例10 求下列函数的卷积,解：由定义有,178,解：,解 由于,解 方法一 利用部分分式求解,方法二 利用留数求解,解,四 拉普拉斯变换的应用,例1 求常微分方程初值问题,的解.,解,例2 求常微分方程组,满足初始条件x(0)=y(0)=1的解.,解,取得拉普拉斯逆变换，得原方程组的解为,
