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1、二次函数压轴题解题思路一根底知识1会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转二典型例题一面积类1如图，抛物线经过点A1，0、B3，0、C0，3三点1求抛物线的解析式2点M是线段BC上的点不与B，C重合，过M作MNy轴交抛物线于N，假设点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长3在2的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？假设存在，求m的值；假设不存在，说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合分析：1了抛物线上的三
2、个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式2先利用待定系数法求出直线BC的解析式，点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长3设MN交x轴于D，那么BNC的面积可表示为：SBNC=SMNC+SMNB=MNOD+DB=MNOB，MN的表达式在2中已求得，OB的长易知，由此列出关于SBNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出BNC是否具有最大值解答：解：1设抛物线的解析式为：y=ax+1x3，那么：a0+103=3，a=1；抛物线的解析式：y=x+1x3=x2+2x+32设直线BC的解析式为：y=kx+b，那么有：，解得
3、；故直线BC的解析式：y=x+3点M的横坐标为m，MNy，那么Mm，m+3、Nm，m2+2m+3；故MN=m2+2m+3m+3=m2+3m0m33如图；SBNC=SMNC+SMNB=MNOD+DB=MNOB，SBNC=m2+3m3=m2+0m3；当m=时，BNC的面积最大，最大值为2如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点坐标为4，01求抛物线的解析式；2试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；3假设点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标考点：二次函数综合题.专题：压轴题；转化思想分析：1该函数解析式只有一个待定系数，只需将B
4、点坐标代入解析式中即可2首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标3MBC的面积可由SMBC=BCh表示，假设要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，假设设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M解答：解：1将B4，0代入抛物线的解析式中，得：0=16a42，即：a=；抛物线的解析式为：y=x2x22由1的函数解析式可求得：A1，0、C0，2；OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=O
5、BC+OCB=90，ABC为直角三角形，AB为ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：，03已求得：B4，0、C0，2，可得直线BC的解析式为：y=x2；设直线lBC，那么该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0；442b=0，即b=4；直线l：y=x4所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即 M2，3过M点作MNx轴于N，SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB=22+3+2324=4二周长类3如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标
6、原点，A、B两点的坐标分别为3，0、0，4，抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上1求抛物线对应的函数关系式；2假设把ABO沿x轴向右平移得到DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；3在2的条件下，连接BD，对称轴上存在一点P使得PBD的周长最小，求出P点的坐标；4在2、3的条件下，假设点M是线段OB上的一个动点点M与点O、B不重合，过点M作BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？假设存在，求出最大值和此时M点
7、的坐标；假设不存在，说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：1根据抛物线y=经过点B0，4，以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；2根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是5，4、2，0，利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可3首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；4利用MNBD，得出OMNOBD，进而得出，得到ON=，进而表示出PMN的面积，利用二次函数最值求出即可解答：解：1抛物线y=经过点B0，4c=4，顶点在直线x=上，=，b=；所求函数关系式为；2在RtABO中，OA=3，OB=4，AB=，四边形ABCD是菱形，BC=CD=D
8、A=AB=5，C、D两点的坐标分别是5，4、2，0，当x=5时，y=，当x=2时，y=，点C和点D都在所求抛物线上；3设CD与对称轴交于点P，那么P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，那么，解得：，当x=时，y=，P，4MNBD，OMNOBD，即得ON=，设对称轴交x于点F，那么PF+OMOF=+t，SPNF=NFPF=t=，S=，=0t4，a=0抛物线开口向下，S存在最大值由SPMN=t2+t=t2+，当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为0，三平行四边形类4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A3，0、B0，3，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴
9、的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t1分别求出直线AB和这条抛物线的解析式2假设点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求ABM的面积3是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，请直接写出点P的横坐标；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型分析：1分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A3，0B0，3分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；2设点P的坐标是t，t
10、3，那么Mt，t22t3，用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=t3t22t3=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+SAPM计算即可；3由PMOB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，t22t3t3=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值解答：解：1把A3，0B0，3代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的
11、解析式是y=x22x3设直线AB的解析式是y=kx+b，把A3，0B0，3代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x3；2设点P的坐标是t，t3，那么Mt，t22t3，因为p在第四象限，所以PM=t3t22t3=t2+3t，当t=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，那么SABM=SBPM+SAPM=3存在，理由如下：PMOB，当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3当P在第一象限：PM=OB=3，t22t3t3=3，解得t1=，t2=舍去，所以P点的横坐标是；当P在第三象限：PM=OB=3
12、，t23t=3，解得t1=舍去，t2=，所以P点的横坐标是所以P点的横坐标是或5如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A0，1，B2，0，O0，0，将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到ABO1一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式；2设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积4倍？假设存在，请求出P的坐标；假设不存在，请说明理由3在2的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB的两条性质考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：1利用旋转的性质得出A1，0，B0，2，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；2
13、利用S四边形PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，再假设四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；3利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PBAB为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可解答：解：1ABO是由ABO绕原点O逆时针旋转90得到的，又A0，1，B2，0，O0，0，A1，0，B0，2方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+ca0，抛物线经过点A、B、B，解得：，满足条件的抛物线的解析式为y=x2+x+2方法二：A1，0，B0，2，B2，0，设抛物线的解析式为：y=ax+1x2将B0，2代入得出：2=a0+102，解得：a=1，故满足条件的抛物
14、线的解析式为y=x+1x2=x2+x+2；2P为第一象限内抛物线上的一动点，设Px，y，那么x0，y0，P点坐标满足y=x2+x+2连接PB，PO，PB，S四边形PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，=12+2x+2y，=x+x2+x+2+1，=x2+2x+3AO=1，BO=2，ABO面积为：12=1，假设四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍，那么4=x2+2x+3，即x22x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=12+1+2=2，即P1，2存在点P1，2，使四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍 3四边形PBAB为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可等腰梯形同一底上的两个内角
15、相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等10分或用符号表示：BAB=PBA或ABP=BPB；PA=BB；BPAB；BA=PB10分6如图，抛物线y=x22x+c的顶点A在直线l：y=x5上1求抛物线顶点A的坐标；2设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、DC点在D点的左侧，试判断ABD的形状；3在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题；分类讨论分析：1先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标2由A
16、点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标那么AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状3假设以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分AB为对角线、AD为对角线两种情况讨论，即ADPB、ABPD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标解答：解：1顶点A的横坐标为x=1，且顶点A在y=x5上，当x=1时，y=15=4，A1，42ABD是直角三角形将A1，4代入y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，B0，3当y=0时，x22x3=0，x1=1，x2=3C1，0，D3，0，BD2=OB2+OD2=18，AB2=432+12=2，
17、AD2=312+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90，即ABD是直角三角形3存在由题意知：直线y=x5交y轴于点E0，5，交x轴于点F5，0OE=OF=5，又OB=OD=3OEF与OBD都是等腰直角三角形BDl，即PABD那么构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G设Px1，x15，那么G1，x15那么PG=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1|PA=BD=3由勾股定理得：1x12+1x12=18，x122x18=0，x1=2或4P2，7或P4，1，存在点P2，7或P4，1使以点A、B、D、P为顶点的四边
18、形是平行四边形四等腰三角形类7如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置1求点B的坐标；2求经过点A、O、B的抛物线的解析式；3在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题；分类讨论分析：1首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长即OA长确定B点的坐标2O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式3根据2的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标，可先表示出OPB三
19、边的边长表达式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点解答：解：1如图，过B点作BCx轴，垂足为C，那么BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，点B的坐标为2，2；2抛物线过原点O和点A、B，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A4，0，B22代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x3存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为2，y，假设OB=OP，那么22+|y|2=42，解得y=2，当y=2时，在RtPOD中，PDO=90
20、，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点P的坐标为2，2假设OB=PB，那么42+|y+2|2=42，解得y=2，故点P的坐标为2，2，假设OP=BP，那么22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故点P的坐标为2，2，综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为2，2，8在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A0，2，点C1，0，如下图：抛物线y=ax2+ax2经过点B1求点B的坐标；2求抛物线的解析式；3在抛物线上是否还存在点P点B除外，使ACP仍
21、然是以AC为直角边的等腰直角三角形？假设存在，求所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：1根据题意，过点B作BDx轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；2根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；3首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案解答：解：1过点B作BDx轴，垂足为D，BCD+ACO=90，ACO+CAO=90，BCD=CAO，1分又BDC=COA=90，CB=AC，BCDCAO，2分BD=OC=1，CD=OA=2，3分点B的坐标为3，1；4分2抛物线y=ax2+ax2
22、经过点B3，1，那么得到1=9a3a2，5分解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x2；7分3假设存在点P，使得ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：假设以点C为直角顶点；那么延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，8分过点P1作P1Mx轴，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC10分CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P11，1；11分假设以点A为直角顶点；那么过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，12分过点P2作P2Ny轴，同理可证AP2NCAO，13分NP2=OA=2，AN=OC=1，可求
23、得点P22，1，14分经检验，点P11，1与点P22，1都在抛物线y=x2+x2上16分9在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A0，2，点C1，0，如下图，抛物线y=ax2ax2经过点B1求点B的坐标；2求抛物线的解析式；3在抛物线上是否还存在点P点B除外，使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？假设存在，求所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.专题：代数几何综合题；压轴题分析：1首先过点B作BDx轴，垂足为D，易证得BDCCOA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，那么可求得点B的坐标；2利用待定系数法即可求得二次函数的
24、解析式；3分别从以AC为直角边，点C为直角顶点，那么延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1Mx轴，假设以AC为直角边，点A为直角顶点，那么过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2Ny轴，假设以AC为直角边，点A为直角顶点，那么过点A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3Hy轴，去分析那么可求得答案解答：解：1过点B作BDx轴，垂足为D，BCD+ACO=90，AC0+OAC=90，BCD=CAO，又BDC=COA=90，CB=AC，BDCCOA，BD=OC=1，CD=OA=2，点
25、B的坐标为3，1；2抛物线y=ax2ax2过点B3，1，1=9a3a2，解得：a=，抛物线的解析式为y=x2x2；3假设存在点P，使得ACP是等腰直角三角形，假设以AC为直角边，点C为直角顶点，那么延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1Mx轴，如图1，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC，CM=CD=2，P1M=BD=1，P11，1，经检验点P1在抛物线y=x2x2上；假设以AC为直角边，点A为直角顶点，那么过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2Ny轴，如图2，同理可证AP2NC
26、AO，NP2=OA=2，AN=OC=1，P22，1，经检验P22，1也在抛物线y=x2x2上；假设以AC为直角边，点A为直角顶点，那么过点A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3Hy轴，如图3，同理可证AP3HCAO，HP3=OA=2，AH=OC=1，P32，3，经检验P32，3不在抛物线y=x2x2上；故符合条件的点有P11，1，P22，1两点五综合类10如图，抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B5，0，另一个交点为A，且与y轴交于点C0，51求直线BC与抛物线的解析式；2假设点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MNy轴交直线BC
27、于点N，求MN的最大值；3在2的条件下，MN取得最大值时，假设点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：1设直线BC的解析式为y=mx+n，将B5，0，C0，5两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B5，0，C0，5两点的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；2MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值
28、；3先求出ABN的面积S2=5，那么S1=6S2=30再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，那么四边形CBPQ为平行四边形证明EBD为等腰直角三角形，那么BE=BD=6，求出E的坐标为1，0，运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=x1，然后解方程组，即可求出点P的坐标解答：解：1设直线BC的解析式为y=mx+n，将B5，0，C0，5两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=x+5；将B5，0，C0，5两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的
29、解析式为y=x26x+5；2设Mx，x26x+51x5，那么Nx，x+5，MN=x+5x26x+5=x2+5x=x2+，当x=时，MN有最大值；3MN取得最大值时，x=2.5，x+5=2.5+5=2.5，即N2.5，2.5解方程x26x+5=0，得x=1或5，A1，0，B5，0，AB=51=4，ABN的面积S2=42.5=5，平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，那么BCBDBC=5，BCBD=30，BD=3过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，那么四边形CBPQ为平行四边形BCBD，OBC=45，EB
30、D=45，EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，B5，0，E1，0，设直线PQ的解析式为y=x+t，将E1，0代入，得1+t=0，解得t=1直线PQ的解析式为y=x1解方程组，得，点P的坐标为P12，3与点D重合或P23，411如图，抛物线y=ax2+bx+ca0的图象过点C0，1，顶点为Q2，3，点D在x轴正半轴上，且OD=OC1求直线CD的解析式；2求抛物线的解析式；3将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；4在3的条件下，假设点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？假设存在，求
31、出这个最小值；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：1利用待定系数法求出直线解析式；2利用待定系数法求出抛物线的解析式；3关键是证明CEQ与CDO均为等腰直角三角形；4如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，那么PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF的周长最小如答图所示，利用勾股定理求出线段CC的长度，即PCF周长的最小值解答：解：1C0，1，OD=OC，D点坐标为1，0设直线CD的解析式为y=kx+bk
32、0，将C0，1，D1，0代入得：，解得：b=1，k=1，直线CD的解析式为：y=x+12设抛物线的解析式为y=ax22+3，将C0，1代入得：1=a22+3，解得a=y=x22+3=x2+2x+13证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且OCOD，OCD为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx轴，那么点C、E关于对称轴直线x=2对称，点E的坐标为4，1如答图所示，设对称轴直线x=2与CE交于点M，那么M2，1，ME=CM=QM=2，QME与QMC均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CE
33、QCDO4存在如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，那么PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F，在线段QE上取异于点P的任一点P，连接FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而FC+FP+PC是点C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE的周长如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形，QCE为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形
34、，点C的坐标为4，5；C，C关于x轴对称，点C的坐标为0，1过点C作CNy轴于点N，那么NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定理得：CC=综上所述，在P点和F点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为12如图，抛物线与x轴交于A1，0、B3，0两点，与y轴交于点C0，3，设抛物线的顶点为D1求该抛物线的解析式与顶点D的坐标2试判断BCD的形状，并说明理由3探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？假设存在，请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：1利用待定系数法即可求得函数的解析式；2利用勾股定理求得
35、BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；3分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解解答：解：1设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C0，3，可知c=3即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3把点A1，0、点B3，0代入，得解得a=1，b=2抛物线的解析式为y=x22x+3y=x22x+3=x+12+4顶点D的坐标为1，4；2BCD是直角三角形理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F在RtBOC中，OB=3，OC=3，BC2=OB2+OC2=18在RtCDF中，DF=1，CF=OFOC=43=1
36、，CD2=DF2+CF2=2在RtBDE中，DE=4，BE=OBOE=31=2，BD2=DE2+BE2=20BC2+CD2=BD2BCD为直角三角形解法二：过点D作DFy轴于点F在RtBOC中，OB=3，OC=3OB=OCOCB=45在RtCDF中，DF=1，CF=OFOC=43=1DF=CFDCF=45BCD=180DCFOCB=90BCD为直角三角形3BCD的三边，=，又=，故当P是原点O时，ACPDBC；当AC是直角边时，假设AC与CD是对应边，设P的坐标是0，a，那么PC=3a，=，即=，解得：a=9，那么P的坐标是0，9，三角形ACP不是直角三角形，那么ACPCBD不成立；当AC是直
37、角边，假设AC与BC是对应边时，设P的坐标是0，b，那么PC=3b，那么=，即=，解得：b=，故P是0，时，那么ACPCBD一定成立；当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是d，0那么AP=1d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=13，此时，两个三角形不相似；当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是e，0那么AP=1e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=9，符合条件总之，符合条件的点P的坐标为：三对应练习13如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是1，0，C点坐标是4，31
38、求抛物线的解析式；2在1中抛物线的对称轴上是否存在点D，使BCD的周长最小？假设存在，求出点D的坐标，假设不存在，请说明理由；3假设点E是1中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求ACE的最大面积及E点的坐标考点：二次函数综合题.专题：代数几何综合题；压轴题分析：1利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；2利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；3根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式=0时，ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后
39、求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解解答：解：1抛物线y=ax2+bx+3经过点A1，0，点C4，3，解得，所以，抛物线的解析式为y=x24x+3；2点A、B关于对称轴对称，点D为AC与对称轴的交点时BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+bk0，那么，解得，所以，直线AC的解析式为y=x1，y=x24x+3=x221，抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=21=1，抛物线对称轴上存在点D2，1，使BCD的周长最小；3如图，设过点E与直线AC平行
40、线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x25x+3m=0，=52413m=0，即m=时，点E到AC的距离最大，ACE的面积最大，此时x=，y=，点E的坐标为，设过点E的直线与x轴交点为F，那么F，0，AF=1=，直线AC的解析式为y=x1，CAB=45，点F到AC的距离为=，又AC=3，ACE的最大面积=3=，此时E点坐标为，14如图，抛物线y=x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，假设A点的坐标为A2，01求抛物线的解析式及它的对称轴方程；2求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；3试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；4在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？假设存在，求出符合条件的Q点坐标；假设不存在，请说明理由考点
