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1、二次函数动点专题专题说明：动点问题一直是中考综合题的一个重要的知识结合点，是综合题常考的一种类型；动点问题是二次函数与几何图形结合的一种灵活运用，从近2年中考及模拟情况看，二次函数与三角形结合考察动点问题的综合题更为常见。方法与对策：解决动点问题首先要求学生对二次函数、三角形、四边形、圆等知识点全面掌握，在这个基础上，我们可以将动点问题划分为两大类：1、化“动”为“静”，在点移动过程中，找到满足题目要求的特殊值，通过特殊值求解（例如2010年中考24题）。此类问题要求学生对几何图形的各种特殊情况给予充分考虑。2、建立新的解析式并求最值（例如2010年西城一模、朝阳一模）。此类问题要求学生通过一
2、定的数量转换方式将动点变量与所求建立联系。xyO112010年北京中考24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。 (1) 求点B的坐标； (2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的 垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动 时，C点、D点也随之运动)j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速
3、运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。24. 解：(1) 拋物线y= -x2+x+m2-3m+2经过原点，m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m1，m=2，拋物线的解析式为y= -x2+x，点B(2，n)在拋物线y= -x2+x上，n=4，B点的坐标为(2，4)。 OABCDEPyx图1(2) j
4、 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为(a，2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为(3a，2a)，由C点在拋物线上，得2a= -(3a)2+3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0(舍去)，OP=。 k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A(10，0)，点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= -x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情
5、况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。PQ=DP=4t，t+4t+2t=10，t=。 第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。OQ=10-2t，F点在直线AB上，FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t+2t+2t=10，t=2。 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。t+2t=10，t=。综上，符合题意的t值分别为，2， 。图4yxBOQ(
6、P)NCDMEFxyOAM(C)B(E)DPQFN图3ExOABCyPMQNFD图2西城一模25如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC yOABC11x（1）求证：ABC是等边三角形；（2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点E，分别连结EA、EP若CP6，直接写出AEP的度数；若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出AEP的度数；（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位
7、长度 EC与AP于点F，设AEF的面积为S1，CFP的面积为S2，yS1S2，运动时间为t（t0）秒时，求y关于t的函数关系式25（1）证明：如图10，xOABC1PE图10y1一次函数的图象与x轴交于点A（3,0），B（0, ）C（3,0）OAOC又y轴AC，ABBC在RtAOB中， BAC=60.ABC是等边三角形.2分（2）答：AEP=1203分解：如图11，作EHCP于点H，y轴垂直平分AC，ABC是等边三角形，EA=EC，BEABEC，EBP=30BEH=60ED垂直平分AP， EA=EP EAECEP. 5分EH垂直平分CP，在CEP中，CEH=PEH，BEH=BECCEH=60A
8、EP=AECPEC1206分y（3）作PGx轴于点G， B在RtPGC中，PC= t，在RtBEH中，G11CAxFDHOP又yS1S2，E（S1SACF）（S2SACF）， SEACSPAC图11SEAC=，SPAC=y（t0）7分朝阳一模24（本小题满分7分）已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，PQA是
9、直角三角形；（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由24（本小题7分）解：（1） 直线y=kx-3过点A（4，0）， 0 = 4k -3，解得k= 直线的解析式为y=x-3 1分由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C(0,-3) 抛物线经过点A(4,0)和点C, ，解得 m= 抛物线解析式为 2分（2）对于抛物线，令y=0，则，解得x1=1，x2=4 B(1，0). AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t. 若Q1P1A=90,则P1Q1OC（如图1）， AP1Q1AOC. , 解得t= ； 3
10、分 若P2Q2A=90, P2AQ2 =OAC， AP2Q2AOC. , 解得t=； 4分 若Q A P=90,此种情况不存在. 5分 综上所述，当t的值为或时，PQA是直角三角形（3）答：存在 过点D作DFx轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）. SADF=DFAE，SCDF=DFOE SACD= SADF + SCDF=DFAE +DFOE=DF(AE+OE)=(DE+DF)4=()4=6分 SACD=（0x4）又024且二次项系数， 当x=2时，SACD的面积最大而当x=2时，y= 满足条件的D点坐标为D (2,) 7分崇文一模25已知抛物线经过点A（1，3）和点B（2，1）（1）求此抛
11、物线解析式；（2）点C、D分别是轴和轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；（3）过点B作轴的垂线，垂足为E点点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）25解：（1）依题意：解得抛物线的解析式为（2）点A（1，3）关于轴的对称点的坐标是（-1，3），点B（2，1）关于轴的对称点的坐标是（2，-1）由对称性可知=由勾股定理可求AB=，所以，四边形ABCD周长的最小值是（3）确定F点位置的方法：过点E作直线E
12、G使对称轴到直线EG成角，则EG与对称轴的交点为所求的F点设对称轴于轴交于点H，在Rt中，由HE=1，得HF=1所以，点F的坐标是（1，1）丰台一模25（本小题满分8分）已知抛物线（1）求抛物线顶点M的坐标；（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 ANMCQBP2P1xy25解：（1）抛物线顶点M的坐标为 - 1分（2）抛物线与与x轴的两交点为A(-1,0) ，B（2，0）设线段BM所在直线的解析式为解得 线段BM所在直线的解析式为- 2分设点N的坐标为点N在线段BM上，. S四边形NQACSAOCS梯形OQNC - 3分S与t之间的函数关系式为，自变量t的取值范围为- 4分（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则且，分以下几种情况讨论：若PAC90，则解得， - 6分若PCA90，则解得， 当点P在对称轴右侧时，PAAC，所以边AC的对角APC不可能是直角存在符合条件的点P，且坐标为， - 8分
