全等三角形几种类型总结.docx

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1、全等三角形与角平分线全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角 全等多边形的对应边、对应角分别相等如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE 五边形 ABCDE这里符号“”表示全等，读作“全等于”ED全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三

2、角形能够相互重合的顶点、边、 角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“ ”全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的 角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3) 有公共边的，公共边常是对应边(4) 有公共角的，公共角常是对应角(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理 (SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(2) 角边角定理 (ASA)

3、 ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理 (SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理 (AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理 (HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等判定三角形全等的基本思路：找夹角 SAS已知两边 找直角 HL找另一边 SSS 边为角的对边 找任意一角 AAS已知一边一角边就是角的一条边找这条边上的另一角 ASA 找这条边上的对角 AAS 找该角的另一边 SAS找两角的夹边 ASA 找任意一边 AAS全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型 对称全等型 旋转

4、全等型由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（ 即等边对等角 ） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等 线段垂直 平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性 角平分线是天然的、涉及对称的模型

5、，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，三角形中线的定义： 三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一 （底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 中位线判定定理： 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边中线中位线相关问题 （涉及中点的问

6、题 ）见到中线 （中点 ），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式 ），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质例 1】在 AB 、 AC 上各取一点 E 、 D ，使 AE AD ，连接 BD 、 CE 相交于 O 再连结 AO 、 BC ，若 1 2 ，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由巩固】如图所示，AB AD，BC DC ， E、F在AC上， AC与BD相交于 P 图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由C板块二、三角形全等的判定与应用例 2】 （2008 年巴中市高中阶段教育学校

7、招生考试 AF BD ）如图， ACDE ，BC EF ， AC DE 求证：例 3】 （2008 年宜宾市 ） 已知：如图， AD BC ， AC BD ，求证： C D 巩固】如图， AC 、 BD相交于 O点，且 AC BD， AB CD ，求证： OA ODDC例 4】 （ 哈尔滨市 2008 年初中升学考试 ） 已知：如图， B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上， AB DC ， BE CF ， B C 求证： OA OD 例5】 已知，如图， AB AC，CE AB， BF AC ，求证： BF CE例 6】E、F 分别是正方形 ABCD的 BC、 CD边上的点，且 BECF

8、求证： AE BF DFC巩固】E、 F 、 G分别是正方形 ABCD的BC 、 CD 、 AB边上的点， BG CF BC GE EF ，GE EF 求证：例 7】 在凸五边形中，BE， C D，BC DE，M 为CD中点求证： AM CD4 / 17板块三、截长补短类例 1】 如图，点 M 为正三角形 ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点 （ 点 B 除外 ） ，作 DMN 60 ， 射线 MN与DBA外角的平分线交于点 N，DM 与MN有怎样的数量关系 ?巩固】如图，点 M 为正方形 ABCD的边 AB上任意一点， MN DM 且与 ABC外角的平分线交于点 N ， MD 与 MN

9、有怎样的数量关系？例 2】 如图， AD AB，CBAB，的长为 ( )A. a B. kDM=CM=a，AD=h，CB=k ，AMD=75，BMC=45，则 ABC. k hD. h例 3】 已知：如图，ABCD 是正方形， FAD=FAE. 求证： BE+DF=AE.DFC例4】 如图所示， ABC是边长为 1的正三角形， BDC是顶角为 120o的等腰三角形，以 D 为顶点 作一个 60o的 MDN，点 M、N分别在 AB、 AC上，求 AMN的周长C例5】 五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证： AD 平分 CDE板块四、与角平分线有关的全

10、等问题例 1】 如图，已知ABC 的周长是 21， OB，OC 分别平分ABC和 ACB， OD BC于 D，且OD 3，求 ABC 的面积例 2】 在 ABC 中，D为 BC边上的点，已知BAD CAD ，ABD CD ，求证： AB AC例 3】 已知 ABC 中， AB AC， BE 、 CD 分别是 ABC及 ACB 平分线求证： CD BE例4】 已知 ABC中， A 60o， BD、CE 分别平分 断 BE 、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明ABC和 ACB， BD、CE交于点 O，试判例 5】 如图，已知 E 是 AC 上的一点，又 12 ， 3 4 求证： ED EBD

11、B例6】 （ “希望杯”竞赛试题 ）长方形 ABCD 中，AB=4，BC=7，BAD 的角平分线交 BC 于点 E， EF ED 交 AB 于 F ，则 EF= 例7】 如图所示，已知 ABC中，AD 平分 证： EF ABBAC ，E 、F 分别在 BD、AD 上DE CD，EF AC 求巩固】如图，在 ABC中， AD交BC于点D ，点E是BC中点， EF AD交CA的延长线于点 F， 交 AB 于点 G ，若 BG CF ，求证： AD 为 BAC 的角平分线【巩固】在 ABC中， AB AC， AD是 BAC的平分线P是 AD上任意一点求证： AB AC PB PC 例 8】 如图，在

12、 ABC 中， B 2 C ， BAC 的平分线 AD 交 BC 与 D 求证： AB BD AC 例 9】AD 是 BAC 的平分线，若 CF ADC如图所示，在 ABC中， AC AB， M为 BC的中点，1且交 AD 的延长线于 F ，求证 MF 1 AC AB 2CD AD 于 D ， E 是 BC 的中点，求证巩固】如图所示，AD是 ABC 中 BAC的外角平分线，1DEAB 且 DE(AB AC)2巩固】如图所示，D在 ABC 中， AD 平分 BAC ， AD AB，CM AD 于 M ，求证 AB AC2AM C例10】如图， ABC中，AB AC ，BD 、CE分别为两底角的

13、外角平分线， AD BD于 D，AE CE 于 E 求证： AD AE 巩固】已知： AD和 BE分别是 ABC的CAB和CBA的外角平分线，1证： DE AB； DE AB BC CA 2CD AD， CE BE，求例 11】在 ABC 中， MB 、 NC 分别是三角形的外角 ABE 、AN CN垂足分别是 M 、 N求证： MNBC， MNACF 的角平分线， AM BM ，1AB AC BC2巩固】在 ABC 中，MB 、NC 分别是三角形的内角垂足分别是 M 、ABC 、 ACB 的角平分线， AMBM ，AN CNN 求证： MN BC ， MN1AB2AC BCM巩固】( 北京市

14、中考模拟题) 如图，在四边形ABCD中， AC平分BAD，过 C 作CEAB于E，1并且 AE (AB AD)，则 ABC ADC 等于多少？2例 12】如 图，A D 180 ， BE 平分 ABC ， CE 平分BCD，点 E 在 AD上 探讨线段 AB 、 CD 和 BC 之间的等量关系 探讨线段 BE 与 CE 之间的位置关系版块一、倍长中线1例 1】 已知： ABC 中， AM 是中线求证： AM 1(AB AC) 2巩固】 (2002年通化市中考题 )在 ABC 中， AB 是什么？5,AC 9，则 BC边上的中线 AD的长的取值范围例 2】 如图， ABC 中， ABAC ， A

15、D 是中线求证： DAC DAB 例4】 已知 ABC， B=C， D， E分别是 AB及 AC延长线上的一点，且 BD=CE，连接 DE 交底BC 于 G，求证 GD=GEADCBGE例 3】 如图，已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，AF EF ，求证： AC BE DE是 AD上一点，延长BE交 AC于F ，AMB， AMC的平分线分别交 AB于E、交 AC于F求证：例 5】 已知 AM 为 ABC 的中线， BE CF EF A例 6】 在 Rt ABC 中， A 90 ，点 D 为 BC 的中点，点 E 、 F 分别为 AB 、 AC 上的点，且 ED FD 以线段 B

16、E 、EF 、 FC 为边能否构成一个三角形？若能， 该三角形是锐角三角形、 直角三角形或钝角三角形？巩固】如图所示，在ABC中， D是BC 的中点，DM 垂直于 DN ，如果 BM 2 CN2DM 2DN 2求证 AD2 1 AB2 AC 24例7】 （ 2008年四川省初中数学联赛复赛 初二组 ）在 Rt ABC中， F 是斜边 AB的中点， D 、E分别 在边 CA 、 CB上，满足 DFE 90 若 AD 3，BE 4，则线段 DE的长度为 版块二、中位线的应用例 8】 AD 是 ABC 的中线， F 是 AD 的中点， BF 的延长线交 AC 于 E 求证：1AE AC 3例9】 如

17、图所示， 在 ABC中， AB AC，延长 AB到 D，使BD AB，E为AB的中点，连接 CE、 CD ，求证 CD 2EC 巩固】已知 ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为 ABC的AB边上的中线 求 证 CD=2CE例10】已知：ABCD是凸四边形，且 AC GNM D例 11】在 ABC 中， ACB 90 ， AC 求证： AE EB且 AE BE 11BC ，以 BC 为底作等腰直角2BCD， E是 CD的中点，D例12】如图，在五边形 ABCDE中， ABC AED 90 ， BAC EAD，F 为CD的中点求证：BF EF E例13】 (“祖冲之杯 ”

18、数学竞赛试题，中国国家集训队试题 )如图所示， P 是 ABC 内的一点， PACPBC ，过P作 PM AC于M，PL BC于 L，D为 AB的中点，求证 DM DL例14】 (全国数学联合竞赛试题 ) 如图所示，在 ABC中， D为 AB的中点，分别延长 CA 、 CB到点E、F，使DE DF 过E 、 F分别作直线 CA 、CB的垂线，相交于点 P，设线段 PA、PB 的中点分别为 M 、 N 求证：(1) DEM FDN ；(2) PAE PBF F家庭作业习题 1】如图，已知 AC BD ， AD AC ， BC BD ，求证： AD BC 【习题 2】点 M， N 在等边三角形 A

19、BC 证 MN=MB+NC的 AB 边上运动，【习题 3】在 ABC中， AB 3AC ， 证： AD DE BAC的平分线交ABBD=DC， BDC =120， MDN =60，求BC于D，过 B作BEAD， E 为垂足，求C习题 4】如图，在 ABC中， AB BD AC， BAC的平分线 AD交BC与 D求证： B 2 C习题 5】如图，在等腰ABC中， AB AC， D是BC的中点，过 A作AE DE，AF DF ，且AE AF 求证： EDB FDC F习题 6】如图， 已知在ABC中， AD是 BC 边上的中线，E是AD上一点，且BE AC，延长 BE交AC于 F ， AF 与EF 相等吗？为什么？习题 7】如右下图，在 ABC中，若 B 2 C，AD BC，E为 BC边的中点求证： AB 2DE