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1、第十二章全等三角形杨1全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边对应边相等。2全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角对应角相等。证明三角形全等基本思路：三角形全等的判定(1)三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS1.如图，ABAD，CBCD，求证：(1)ABCADC；(2)BD.证明：(1)连接AC，在ABC与ADC中，ABCADC(SSS)(2)ABCADC，BD.2.已知在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,求证AD1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三点共线，ABCB，EBDB，ABCEBD90)，连接AE，
2、CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论解：结论：AECD，AECD.F证明：延长AE交CD于F，在ABE与CBD中，ABECBD(SAS)，AECD，EABDCB，DCBCDB90，EABCDB90，AFD90，AECD.2.在ABC和CDE中，CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=90，AE与BD交与点F（1）求证：ACEBCD（2）求证：AEBD1,利用SAS证明全等，AC=BCDC=ECBCD=ACE2，全等得到角相等CAE=DCBCAB+EAB+ABC=90DCBEAB+ABC=90三角形全等的判定(3)两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA两个角和其
3、中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等如图，AD为ABC的中线，且CFAD于点F，BEAD，交AD的延长线于点E，求证：BECF.证法1：AD为ABC的中线，BDCD.BEAD，CFAD，BEDCFD90.在BED与CFD中BEDCFD(AAS)，BECF.证法2：SABDADBE，SACDADCF，且SABDSACD(等底同高的两个三角形面积相等)，ADBEADCF，BECF.三角形全等的判定(4)斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”如图，E，F分别为线段AC上的两点，且
4、DEAC于点E，BFAC于点F，若ABCD，AECF，BD交AC于点M.求证：BMDM，MEMF.证明：AECF，AEEFCFEFAFCE.在RtABF与RtCDE中RtABFRtCDE(HL)，BFDE.DEAC，BFAC，DEMBFM90.在BFM与DEM中BFMDEM(AAS)，BMDM，MEMF.角的平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等文字命题的证明方法：a.明确命题中的已知和求证；b.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；c.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程方法总结：（1）角平分线的性质是证明线段相等的另一途径（2）在已知角
5、平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用的辅助线1.在ABC中，AD是ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上一点，并且有EDFEAF180.试判断DE和DF的大小关系并说明理由解：结论：DEDF.证明：过点D作DGAB于点G，作DHAC于点C，AD是ABC的角平分线，DGDH.DGADHA90，GDHBAC180，EDFEAF180，GDHEDF，GDHEDHEDFEDH，GDEFDH.在DGE与DHF中，DGEDHF(ASA)，DEDF2.如图，在ABC中
6、，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BEAD于点E，过点C作CFAD交AD的延长线于点F，且BECF.求证：AD是ABC的中线利用AAS证明全等BDE=FBDE=CDFBE=CF利用全等证明垂直此类题目中必有垂直，利用垂直角度和是90，再根据全等转换一个角，达到另外的两个角度和是90，得到第三个角是90，进一步证明线的垂直关系。1. 将两块全等的直角三角形如图1摆放，其中DCE=ACB=90D=A.(1)求证:ABDE;(2)将图中的ADCE绕点C顺时针旋转45得到图2,交于点N,DE,BC交于M.求证:CM=CN第一问中延长AB交DE于F，已经知道全等，知道垂直，就可以将D+E=90转化为
7、A+E=90得到AFE=90进而证明了垂直第二问中，利用ASA证明相等旋转角度是45MCD=DCA=45A=DCD=CA得到CMDCNA(ASA)从而证明CM=CN2.如图，已知等腰RtOABC和等腰RtACDE,AC=BC,CD=CE,M,N分别为AE,BD的中点(1)判断CM与CN的位置关系和数量关系:(2)若CDE绕C旋转任意角度，其他条件不变，则(1)的结论是否仍成立试证明，几何证明中常见的“添辅助线”方法一. 连结:构造全等三角形或等腰三角形1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.1.连结AC构造全等三角形2.连结BD构造两个等腰三角形2:如图,AB=AE,BC=ED,B=E
8、,AMCD,求证:点M是CD的中点.连结AC、AD构造全等三角形3:如图,AB=AC,BD=CD,M、N分别是BD、CD的中点，求证：AMBANC连结AD构造全等三角形二. 角平分线上点向两边作垂线段:构造直角三角形,得到距离相等1:如图,ABC中,C=90o,BC=10,BD=6,AD平分BAC,求点D到AB的距离.过点D作DEAB构造全等的直角三角形且距离相等2:如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分BAC,求证:AB=AC+DC过点D作DEAB构造了全等的直角三角形且距离相等3:如图,梯形中,A=D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.过点E作EFBC构造全
9、等的直角三角形且距离相等三. 垂直平分线上点向两端连线段构造直角三角形,得到斜边相等ABC中,ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DEAB于E，作DFAC于F。求证：BE=CF连接DB,DC垂直平分线上点向两端连线段四. 倍长中线：中线延长一倍构造直角三角形,得到斜边相等AD是ABC的中线，求证延长AD到点E，使DE=AD，连结CE.如图，在ABC中，D为BC的中点(1)求证：ABAC2AD；(2)若AB5，AC3，求AD的取值范围五.截长补短1.已知在ABC中，C=2B,1=2求证:AB=AC+CD在AB上取点E使得AE=AC，连接DE在AC的延长线上取点F使得CF=C
10、D，连接DF2.如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=AB在AB上取点F使得AF=AD,连接EF3.如图，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90.E，F分别是BC，CD上的点，且EAF60.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明六.“周长问题”的转化借助“角平分线性质”如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB,DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少BE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB七.“周长问题”的转化借助“垂直平分线性质”AD+AE+DEBD+CE+DE
