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1、函数的单调性对称性和周期性考点函数单调性判断的两种思维方法讨论函数fx=x+a0的单调性.方法一 显然fx为奇函数，所以先讨论函数fx在0，+上的单调性，设x1x20,那么f(x1)-f(x2) =x1+-x2+=(x1-x2)1-.当0x21,那么fx1-fx20，即f(x1)x2时，00,即f(x1)f(x2),故fx在，+上是增函数.fx是奇函数，fx分别在-，-、，+上为增函数；fx分别在-，0、0，上为减函数.方法二 由=1-=0可得x=当x时或x0,fx分别在，+、-，-上是增函数.同理0x或-x0时，0,b0时的常数，其图象在，上单调递减，在上单调递增，在0，+上图象似“对号的形
2、状，故简称为“对号函数 .此题不就是换元法化归对号函数区间上的单调性求最值吗？考点复合函数确定单调区间树立定义域优先的意识例求函数y=4x-x2的单调区间.解 由4x-x20，得函数的定义域是0，4.令t=4x-x2，那么y=t.t=4x-x2=-(x-2)2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4，增区间是0，2.又y=t在0，+上是减函数，函数y=4x-x2的单调减区间是0，2，单调增区间是2，4).例要使函数 在R上是减函数，那么实数的取值范围为 A B C D 解析 认识R上单调的意义，注意分界点处函数值满足的条件，构建不等式组有 点评 此题由06北京高考题改编而来，考查R上单调的意义
3、，对分界点处要注意两段函数函数值的大小关系，对运动变化观念和数形结合思想的应用都进行了考查。考点复合函数的同步为增，异步为减的认识和应用考点函数的奇偶性和对称性 定义在R的函数在上是增函数，且函数是偶函数，当时，有A B C D 大小不确定 解析 由复合函数的对称轴确定外层函数的对称轴，借助图像平移研究，是偶函数向右平移个单位得到，那么其对称轴为，注意到在上是增函数和的意义作草图可知有；点评 复合函数与其外层函数之间的关系，借助图象变换认识直观，利用对称性和单调性比较大小，这是函数图像和性质的具体应用。例 重庆假设定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+
4、f(x2)+1,那么以下说法一定正确的选项是 A f(x)为奇函数B f(x)为偶函数 C f(x)+1为奇函数 D f(x)+1为偶函数解析：赋值运算为突破口。令x1=x2=0,可得，于是令x1=x,x2=-x即得，f(x)的图像关于对称，所以f(x)+1的图像关于对称，f(x)+1为奇函数，选c.点评 假设如果对于定义域内的任意一个的值，.那么函数的图像关于点中心对称.特别地，假设那么函数的图像关于点中心对称. 这是研究函数本身关于特殊点对称的充要条件。xf(x)1-1O例全国1奇函数 ，且在在上为增函数，且，那么不等式的解集为 A B C D答案：D；解析 注意函数图象关于原点对称的特征
5、，那么化简函数不等式等价于，可构造不同的模拟函数求解。方法1：利用函数图象关于原点对称和同号特征，原不等式等价于，由 模拟的图像如右上图，可得不等式的解集为，选D. 点评 认识和理解图象关于原点对称的意义，认识函数图象的对称性和同号的简化功能的认识，对应法那么不确定的函数构造模拟函数使复杂问题简单化，这是构造的数学思想和方法的表达。此题的两种构造模拟函数的方法，来源于平时对函数求解总结提炼和积累，要好好回味不同的构造函数模型的过程，自觉提高求解抽象函数问题的能力。考点抽象函数中注意其对称性和周期性的探究 例 定义在R上的奇函数满足,那么 解析 由函数奇偶性的意义和关系式探求周期由0 感悟 函数
6、的周期性和奇偶性就是为简化计算引入的，抽象函数问题，要挖掘题设条件，类比三角函数掌握探究周期的方法，提高简化求解问题的能力，看一看近几年的高考题。再次感悟学习图象和性质的出发点和归宿.( 2009山东文理16)定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,假设方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,那么 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 解析：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数如下图,那么方程
7、f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案：-8命题立意:此题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题 ( 2009辽宁文6)函数满足：x4,那么；当x4时，那么A B C D解析：32log234,所以f(2log23)f(3log23)， 且3log234 f(3log23) (2009辽宁文理9)偶函数在区间上单调增加，那么的x取值范围是 A 解析：由有，即，。山东10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，那么f2009的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2解析:由目
8、标意识函数可能为周期函数，区间上求值探究，由得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f2009= f5=1,应选C.感悟：此题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算；对函数对应法那么的递推关系可类比数列的类似性质性质进行探究，根据特殊值得探究，观察函数值的规律，归纳函数的周期性进行求解，这类方法要好好总结 ( 2009山东文12)12 定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,那么( ) A B C D 解析：因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 那么,又因为在R上是奇函数， ,得,而由得,又因为在区间0,2上是增函数,所以,所以,即,应选D 答案：D命题立意:此题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题
