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1、函数的奇偶性【知识要点】1函数奇偶性的定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫奇函数（odd function）.2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象.3判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别与的关系；（1）奇函数；（2）偶函数.4函数奇偶性的几个性质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；（2）奇偶性是函数的整
2、体性质，对定义域内任意一个都必须成立；（3）若奇函数在原点有意义，则；（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；（6）函数与函数有相同的奇偶性.5奇偶性与单调性：（1）奇函数在两个关于原点对称的区间上有相同的单调性；（2）偶函数在两个关于原点对称的区间上有相反的单调性.【典例精讲】类型一 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）；（3）； （4）；（5） （6）变式 判断下列函数的奇偶性
3、：(1)f(x)=x4； (2)f(x)=x5； (3)f(x)=x+； (4)f(x)=. （5） （6） （7） （8）例2 已知是R上的奇函数，且当时，求的表达式。类型二 函数奇偶性的简单应用例3 （1）设函数f(x)=为奇函数，求实数a的值；（2）设函数y=f(x)是奇函数，若f(2)+f(1)3=f(1)+f(2)+3，求f(1)+f(2)的值；（3）已知是奇函数，是偶函数，且求与的解析式。变式 （1）设是定义在R上的奇函数，当x0时，=，则 .（2）已知为奇函数， （3）已知是奇函数，且，若，则 。类型三 函数性质的综合应用例4 (1)奇函数在, 上为增函数，试分析它在(a, 上的
4、单调性。(2)已知奇函数在单调区间上有最大值，则在上的最 值是 。(3)已知偶函数在单调区间上有最大值，则在上的最 值是 。 例5 定义在上的函数满足,且对任意,都成立。 (1)证明:函数是奇函数；(2)如果并且试求在区间上的最值。【课堂练习】1. 函数，是（ ）A偶函数B奇函数C不具有奇偶函数D与有关2. 若奇函数在3, 7上是增函数，且最小值是1，则它在上是（ ） A. 增函数且最小值是1 B. 增函数且最大值是1C. 减函数且最大值是1 D. 减函数且最小值是1若函数为偶函数，则 ( )（A） （B） （C） （D）4. 已知是偶函数,则函数的图象的对称轴是( ) A. B. C. D.
5、 5. 设奇函数f(x)的定义域为5, 5, 若当x0, 5时, f(x)的图象如图所示, 则不等式f(x)0的解是.6. 已知函数，求。【思维拓展】1.定义在上的函数满足,且对任意,当时,都有。(1)证明:函数是奇函数；(2)用函数的单调性定义判断并证明函数在上的单调性。【课外作业】1已知函数是奇函数，当时，；当时，等于（ ）A. B. C. D. 2. 对于定义域是R的任意奇函数都有（ ）A. B. C. D.3若为奇函数，则的值为（ ）A. B. C. D.4. 已知的定义域为，且满足，则的表达式为_.5. 若是偶函数，则的大小顺序是_.6. 已知是定义在上的奇函数，在是增函数，且，则的解集为 .7若对于一切实数，都有. （1）求，并证明为奇函数； （2）若，求。已知函数是定义在上的偶函数，已知时，（1）画出偶函数的图象；（2）根据图象，写出的单调区间；同时写出函数的值yxO
