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1、分式单元复习（一）、分式定义及有关题型一、分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B0）的式子，叫做分式。概念分析：必须形如“”的式子；可以为单项式或多项式，没有其他的限制；可以为单项式或多项式，但必须含有字母。例：下列各式中，是分式的是 1+ 练习：1、下列有理式中是分式的有（ ）A、 B、 C、 D、2、下列各式中，是分式的是 1、下列各式：其中分式共有（ ）个。A、2 B、3 C、4 D、5二、有理式：整式和分式统称有理式。即：例：把下列各有理式的序号分别填入相应的横线上 0 整式： ；分式 。三、分式有意义的条件：分母不等于零分式有意义：分母不为0（）分式无意义：分母为0（）分
2、式值为0：分子为0且分母不为0（）分式值为正或大于0：分子分母同号（或）分式值为负或小于0：分子分母异号（或）分式值为1：分子分母值相等（A=B）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）分式的值为整数：（分母为分子的约数）例:当x 时，分式有意义；当x 时，有意义。练习：1、当x 时，分式无意义。8使分式无意义，x的取值是（ ） A0 B1 C D2、分式，当时有意义。 3、当a 时，分式有意义4、当x 时，分式有意义。5、当x 时，有意义。分式有意义的条件是 。4、当x 时，分式的值为1；2（辨析题）下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（ ） A B C D（7）当为任意实数时，
3、下列分式一定有意义的是（ ）A. B. C. D. 四、分式的值为零说明：分式的分子的值等于零；分母不等于零例1：若分式的值为0，那么x 。例2 . 要使分式的值为0，只须（ ）.（A） （B） （C） （D）以上答案都不对练习：1、当x 时，分式的值为零。2、要使分式的值是0，则的值是 ； 3、 若分式的值为0，则x的值为 4、若分式的值为零,则x的值是 5、若分式的值为0，那么x 。6、若分式的值为零，则 7、如果分式的值为0，那么x的值是（ ） A0 B. 5 C5 D5分式有意义的条件是，分式的值等于零的条件是。（9）已知当时，分式 无意义，时，此分式的值为0，则的值等于（ ） A6
4、B2 C6 D2使分式的值为正的条件是 若分式的值为正数，求a的取值范围2、当x 时，分式的值为负数（3）当为何值时，分式为非负数.3、若关于x的方程ax=3x-5有负数解,则a的取值范围是 典型题：分式的值为整数：（分母为分子的约数）练习1、若分式的值为正整数，则x= 2、若分式的值为整数，则x= 8、若x取整数，则使分式的值为整数的x值有( )A3个 B4个 C6个 D8个（二）分式的基本性质及有关题型分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。1分式的基本性质：2分式的变号法则：例1： 测试：1.填空： ； ; = =；例2：若A、B表示不等于0的
5、整式，则下列各式成立的是（ D ）.（A）（M为整式） （B）（M为整式） （C） （D）5、下列各式中，正确的是（ ） A B=0 C D题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）（2）练习：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）（2）1（辨析题）不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ） A10 B9 C45 D904不改变分式的值，使分式的分子分母各项系数都化为整数，结果是 1、不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数， 2、不改变分式的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果
6、是 题型二：分式的符号变化：【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）（2）（3）1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数。= = = 2（探究题）下列等式：;中,成立的是（ ） A B C D3（探究题）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ） A B C D题型三：分式的倍数变化：1、如果把分式中的x,y都扩大3倍，那么分式的值 2、.如果把分式中的x,y都扩大10倍,那么分式的值 3、把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（ ） A不变 B扩大2倍 C扩大4倍 D缩小2倍4、把分式中的a、b都扩大2倍，则分式
7、的值（ C ）.（A）扩大2倍 （B）扩大4倍 （C）缩小2倍 （D）不变.7、若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）A、扩大3倍 B、不变 C、缩小3倍 D、缩小6倍2、若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A、 B、 C、 D、（三）分式的运算4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式
8、或整式。一、分式的约分：先将分子、分母分解因式，再找出分子分母的公因式，最后把公因式约去（注意：这里找公因式的方法和提公因式中找公因式的方法相同）最简分式：分子、分母中不含公因式。分式运算的结果必须化为最简分式1、把下列各式分解因式 （1）ab+b (2)2a-2ab (3)-x+9 (4)2a-8a+8a3.（2009年浙江杭州）在实数范围内因式分解= _2、 约分（16分）（1） (2) (3) (4) 例2计算：例5计算：3 、 约分（1）= ；（2）= ；4、化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、4（辨析题）分式，中是最简分式的有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个8、分式，中，最
9、简分式有（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个9、下列公式中是最简分式的是（ ） A B C D5（技能题）约分：（1）； （2）约分：例：将下列各式约分，化为最简分式 14、计算：1. 已知：，则的值等于（ ） A. B. C. D. 15、已知x+3，求的值九、最简公分母1确定最简公分母的方法：如果分母是多项式，要先将各个分母分解因式，分解因式后的括号看做一个整体；最简公分母的系数：取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母（因式）：取各分母中所有字母（因式）的最高次幂.2确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.例：分
10、式和的最简公分母是 分式和的最简公分母是 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）； （2）；（3）； （4）1在解分式方程：2的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母是_.2、分式的最简公分母为 。例7计算：正解：原式=十、分式通分的方法：先找出要通分的几个分式的最简公分母；运用分式的基本性质把它们变形成同分母的分式。例： ，的最简公分母是 ，通分后 ，= 。，的最简公分母是 ，通分后= ，= 。十一、分式的乘法：分子相乘，积作分子；分母相乘，积作分母；如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。题型二：约分【例2】约分：（1）；（3）；（3）.5、计算 6、已知a+b3，ab
11、1，则+的值等于 例：= =十二、分式的除法：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。例：= =九、 零指数幂与负整指数幂 （） （） （） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。十、 科学记数法a10-n，其中n是正整数，1a10.7个0如=10、负指数幂与科学记数法1直接写出计算结果：（1）（-3）-2 ； （2） ；（3） ； （4） 2、用科学记数法表示 501= 3、一种细菌半径是10-5米,用小数表示为 米。24、十三、分式的乘方：分子、分母分别乘方。例： = =十四、同分母的分式相加减：分母不变，只把分子相加减，再把结果化成最简分式。例： = =十五、异分母
12、的分式相加减：先通 分成同分母的分式，在进行加减。例：= =十六、分式的计算：1、 2、【例3】计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）28（2012遵义）化简分式（） ，并从1x3中选一个你认为合适的整数x代入求值36、，其中1计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）3、 4、 5、 6、 1. （11分）先化简，再求值：，其中x=22.（本题6分）先化简，再求值：，其中x=3、（8分）先化简，再求值：，其中：x=2。十七、分式的化简：1、计算等于 。2、化简分式的结果是 3、计算的结果是 4、计算的结果是 5、计算的结果是 6、化简等于 7、分式:,中,最简分
13、式有 .8、计算的结果是 9、计算的结果是 十八、化简分式求代数式的值：1、若，则的值是 。2先化简后求值（1），其中满足.（2）已知，求的值.3、 （ ）A、-2 B、-3 C、-4 D、-5题型五：求待定字母的值【例5】若，试求的值.2.已知：，则_ _1. 若已知（其中A、B为常数），则A=_，B=_；题型三：化简求值题【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.10、已知，求分式的值。9（2005杭州市）当_时，分式的值为零10（妙法巧解题）已知，求的值4、已知a23a+1=0，则=_11、已知,则M与N的关系为( )N =N N D.不能确定.题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（
14、1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，试求的值.13、若4x=5y，则的值等于（ ）A B C D 16、已知，则 。【例3】已知：，求的值.提示：整体代入，转化出.2已知：，求的值.3已知：，求的值.4若，求的值.5如果，试化简. 2、当1x2时，化简分式= 。3、当x 时，。4、若3x=2y,则的值等于 5、若x等于本身的倒数，则的值是 6、当 时，的值是1；7、若的值是 8、若= 9、如果，则 .10、已知，那么= .11、已知，则 ， ， 12、若，则的值为 （四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）（2）（3）（4）题型二：化简
15、求值题【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）；（2）.练习：的2220120+（6）3；1计算：（1）（2）（3）（4）2已知，求（1），（2）的值.7已知x+=3，则x2+= _ 10、已知，求分式的值。第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 分式方程化分式为整式解方程验根（4）写出解1、学完
16、分式运算后，老师出了一道题“化简：”小明的做法是：原式；小亮的做法是：原式；小芳的做法是：原式其中正确的是（ ）A小明 B小亮 C小芳 D没有正确的7. 已知，其中A、B为常数，那么AB的值为（）A、2B、2C、4D、48. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. B. C. D. （一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方
17、程（1）； （2）提示：（1）换元法，设；（2）裂项法，.【例3】解下列方程组题型三：求待定字母的值【例4】若关于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围.提示：且，且.29、已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 .24指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并求出正确的答案题目：当x为何值，分式有意义解： = ，由x20，得x2所以当x2时，分式有意义题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于的方程提示：（1）是已知数；（2）.题型五：列分式方程解应用题练习：1解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（5）（6）（7）2解关于的方程：（1）；（2
18、）.3如果解关于的方程会产生增根，求的值.4当为何值时，关于的方程的解为非负数.5已知关于的分式方程无解，试求的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1解方程：二、化归法例2解方程：三、左边通分法例3：解方程：四、分子对等法例4解方程：五、观察比较法例5解方程：六、分离常数法例6解方程：七、分组通分法例7解方程：（三）分式方程求待定字母值的方法例1若分式方程无解，求的值。例2若关于的方程不会产生增根，求的值。例3若关于分式方程有增根，求的值。例
19、4若关于的方程有增根，求的值。9.若m等于它的倒数，求分式的值；2. 已知x2+4y2-4x+4y+5=0，求()2的值.奥赛初探1. 若,求的值.19已知且y0，则 =_十九、分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。例：下列方程中式分式方程的有 二十、“可化为一元一次方程的分式方程”的解法：去分母：先看方程中有几个分母，找出它们的最简公分母，在方程的左右两边都乘以它们的最简公分母，约去分母，将分式方程化成一元一次方程。解方程：解去分母得到的这个一元一次方程。验根：将解一元一次方程得到的解带入最简公分母中计算：如果最简公分母的值为0，则这个解是方程的增根，原分式方程无解；如果最简公
20、分母的值不为0，则这个解就是原分式方程的解。例：解下列分式方程（步骤参照教材上的例题） 5、中考题解： 例1若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D。例2. m为何值时，关于x的方程会产生增根 解：方程两边都乘以，得 整理，得 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根11、分式方程1若无解，则m的值是 （ ）A. 2 B. 2 C. 3 D. 32解方程： （1） （2）1 （3）。15在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2
21、千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）A千米B千米C千米D无法确定10一辆汽车往返于相距akm的甲、乙两地，去时每小时行mkm，返回时每小时行nkm，则往返一次所用的时间是_13、分式方程应用题19、（8分）甲打字员打9000个字所用的时间与乙打字员打7200个字所用的时间相同，已知甲、乙两人每小时共打5400个字，问甲、乙两个打字员每小时各打多少个字20、（10分）一名同学计划步行30千米参观博物馆，因情况变化改骑自行车，且骑车的速度是步行速度的倍，才能按要求提前2小时到达，求这位同学骑自行车的速度。22列方程解应用题（本题7分）从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地
22、先走，40分钟后，B乘车从甲地出发，结果同时到达。已知B乘车速度是A骑车速度的3倍，求两车的速度。8小张和小王同时从学校出发去距离15千米的一书店买书，小张比小王每小时多走1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走x千米，则可列出的的方程是（ ） A、 B、C、 D、 7、赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是（ ）A、 B、B、 D、二十一、增根：使分式方程的最简公分母的值为0的未知数的值。注意：“可化为一元一次方程的分式方程”有增
23、根，那么原方程无解，但这个增根是去分母后得到的一元一次方程的解，能使这个一元一次方程左右两边的值相等。例：已知关于x的分式方程有增根，则a= 练习：1、若方程有增根，则增根是 。2、取 时，方程会产生增根；3、若关于x的方程 有解,则必须满足条件( )A. ab ，cd B. ab ，c-d -b , cd -b , c-d4、 若分式方程有增根，则a的值是 5、当m=_时,方程会产生增根.6、若方程有增根，则增根是 .7、关于x的分式方程有增根x=-2，则k= .2、.关于x的方程无解，m的值为_。例4（2006年常德市）先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的的值代入求值二十二、零指数幂
24、：任何不等于零的数的零次幂都等于1。例：= = 二十三、负指数幂：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。例：= = = = 知识点二：整数指数幂的运算1（基本技能题）若（x-3）-2有意义，则x_； 若（x-3）-2无意义，则x_2（基本技能题）5-2的正确结果是（ ） A- B C D-3已知a0，下列各式不正确的是（ ） A.（-5a）0=1 B.（a2+1）0=1 C.（a-1）0=1 D.（）0=16 计算： （）-1+（）0-（-）-1 （2m2n-3）-3（-mn-2）2（m2n）0 （）-2 003（-）-2 004二十四、科学记数法：把一个数表示成
25、（或者）的形式，其中n为正整数，例：用科学记数法表示下列各数 = = 201300= 练习：1、将下列用科学记数法表示数还原：= = 2、用科学记数法表示下列各数 = = 3、人体中成熟的红细胞的平均直径为米，用科学记数法表示为 二十 五、列分式填空：1、某农场原计划用m天完成A公顷的播种任务,如果要提前a天结束,那么平均每天比原计划要多播种 公顷.2、某厂储存了t天用的煤m吨，要使储存的煤比预定的多用d天，那么每天应节约煤的吨数为 3、每千克单价为元的糖果千克与每千克单价为元的糖果千克混合，则混合后糖果的单价为 4、全路全长m千米，骑自行车b小时到达，为了提前1小时到达，自行车每小时应多走
26、千米.10、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）A、 B、 C . D.二十六、列分式方程填空：1、某煤厂原计划天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 2、工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x人挖土，其它的人运土，列方程 72-x= x+3x=72 上述所列方程，正确的有（ ）个二十七、列分式方程解应用题：1、某校师生到距
27、学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的倍，求两种车的速度各是多少2、怀化市某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召，在本乡建起了农民文化活动室，现要将其装修若甲、乙两个装修公司合做需8天完成，需工钱8000元；若甲公司单独做6天后，剩下的由乙公司来做，还需12天完成，共需工钱7500元若只选一个公司单独完成从节约开始角度考虑，该乡是选甲公司还是选乙公司请你说明理由3、华溪学校科技夏令营的学生在3名老师的带领下，准备赴北京大学参观，体验大学生活现有两个旅行社前来承包，报价均为每人2000元，他
28、们都表示优惠；希望社表示带队老师免费，学生按8折收费；青春社表示师生一律按7折收费经核算，参加两家旅行社费用正好相等 （1）该校参加科技夏令营的学生共有多少人（2）如果又增加了部分学生，学校应选择哪家旅行社7若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是 4、在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成 （1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； （2）求两队合做完成这项工程所需的天数分式1.若使分式没有意义，那么a的值是（ ）A、0 B、或0 C、2或0 D、或02.分式
29、有意义，那么a的取值范围是 3.分式的值为0，则x的值为（ ）A、 B、 C、 D、4.已知的值是，那么的值是 5.化简分式的结果是 .6.化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、7.当的值是 6、小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时A、 B、 C、 D、8.甲、乙两人相距公里，他们同时乘摩托车出发。若同向而行，则小时后并行。若相向而行，则小时后相遇，则较快者的速度与较慢者速度之比是（ ）A、 B、 C、 D、9.已知的值为 10.已知的值是 11.已知的值为 12.已知 13.已知的值为
30、（ ）A、 B、 C、 D、14.若的值是 15.一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达，如果要提前2小时到达，那么车速应比原来车速提高 %。16.甲、乙两人从两地同时出发,若相向而行,则a小时相遇;若同向而行,则b小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的( )A. 倍 B. C. 倍 D. 倍17.已知a、b均为正数,且= .求的值.18.计算: 。19.已知=，求的值. 20.若xy=4，xy=3，求+的值.21.若b+ =1，c+ =1，求。 22.观察下面一列有规律的数: ，根据其规律可知第n个数应是 _ (n为整数)23，关于x的分式方程x=c的解是x
31、1=c，x2= ；x= c，即x=c+的解是x1=c，x2=；x=c的解是x1=c，x2=； x=c的解是x1=c，x2=.(1) 请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x=c (m0)与它的关系，猜想它的解是什么,并利用方程解的概念进行验证.(2) 如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边形式与左边的完全相同，只是把其中未知数换成某个常数.那请你利用这个结论解关于x的方程:x=a+24、设，则的值等于 25、若实数满足则的最大值是 26、一组按规律排列的式子：，其中第7个式子是 第n个式子是 27.若= 28、已知 的值 29、若0x1,且 的值 行程应用题1、从甲地到乙地有两
32、条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。2、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。3、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少4、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于
33、情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。工程问题应用题：1：某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天2、某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1。5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件3、现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.4、某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝水流问题：1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知
