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1、 中考复习专题 -圆的切线的判定与性质 知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。精典例题：一、若直线l过O上某一点A，证明l是O的切线，只需连OA，证明OAl就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与O相切. 例2 如图，AD是BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求
2、证：PA与O相切.例3 如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M求证：DM与O相切.例4 如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是O的切线例5 如图，AB是O的直径，CDAB，且OA2=ODOP.求证：PC是O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与CFG的外接圆相切.二、若直线l与O没有已知的公共点，又要证明l是O的切线，只需作OAl，A为垂足，证明OA是O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求
3、证：AC与D相切.例8 已知：如图，AC，BD与O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求证：CD是O的切线.习题练习例1如图，AB是O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD例2已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与BC交于点D，与AC交于点E，求证：DEC为等腰三角形例3如图，AB是O的直径，弦AC与AB成30角，CD与O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD例4如图20-12，BC为O的直径，ADBC，垂足为D，BF和AD交于E，求证：AE=BE例5如图，AB是O的直径，以OA为直径的O1与O2的弦相交于D，DEOC，垂足为E （1）
4、求证：AD=DC（2）求证：DE是O1的切线例6如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，A=28 （1）求ACM的度数（2）在MN上是否存在一点D，使ABCD=ACBC，说明理由例7如图，在RtABC中，C=90，AC=5，BC=12，O的半径为3 （1）若圆心O与C重合时，O与AB有怎样的位置关系？ （2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，O与AB相切？19.如图，RtABC内接于O，AC=BC，BAC的平分线AD与0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=
5、BF；（3）若，求O的面积。12、如图，割线ABC与O相交于B、C两点，D为O上一点，E为的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，ADGAGD。（1）求证：AD是O的切线；（2）如果AB2，AD4，EG2，求O的半径。 13、如图，在ABC中，ABC900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD2，AE1，求。1如图，等腰三角形ABC中，ACBC10，AB12。以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E。(1)求证：直线EF是O的切线；(2)求CF:CE的值。ABDCEFGO(第22题图)2如图，AB是O的直径，
6、AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F求证：DE是O的切线；若，求的值。FEDCBAO3如图，中，以为直径作交边于点，是边的中点，连接CEBAOFD（1）求证：直线是的切线；（2）连接交于点，若，求的值4如图，点O在APB的平分线上，O与PA相切于点C (1) 求证：直线PB与O相切； (2) PO的延长线与O交于点E若O的半径为3，PC=4求弦CE的长已知：如图，在中，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且DCOABE（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；（2）若，求的长解：（1）（2）如图18，四边形内接于，是的直径，垂足为，
7、平分（1）求证：是的切线；DECBOA图18（2）若，求的长（第24题）BDCEAO如图所示，是直角三角形，以为直径的交于点，点是边的中点，连结（1）求证：与相切；（2）若的半径为，求24、如图，AB是O的直径，BAC=30，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECF=E.（1）证明CF是O的切线；（2）设O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.【例1】如图，AC为O的直径，B是O外一点，AB交O于E点，过E点作O的切线，交BC于D点，DEDC，作EFAC于F点，交AD于M点。（1）求证：BC是O的切线；（2）EMFM。证明： 【例2】如
8、图，ABC中，ABAC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是O的切线。【例3】如图，已知AB是O的直径，BC为O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA。（1）求证：CD是O的切线；（2）求的值；（3）若ADOC，求CD的长。探索与创新：【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA8。（1）求G的余弦值；（2）求AE的长。【问题二】如图，已知ABC中，ACBC，CAB（定值），O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。（1）求POQ；（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE
9、与O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断DOE的大小是否保持不变，并说明理由。圆的切线证明及线段长求解在在中考中的常见题型1、已知：如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的与，分别交于点E、点F，且=（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；（2）若，求的半径2、已知：如图，O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AEBC，过点C作CDBA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F （1）求证：CD为O的切线； （2）若BC5，AB8，求OF的长ABFCDEO第3题图3、如图，是等腰三角形，以为直径的与交于点，垂足为，的延长线与的延长线交于点（1）求证：是的切线；（2）若的半
10、径为，求的值4、已知：如图，是的直径，切于，交于，为边的中点，连结(1) 是的切线；(2) 若， 的半径为5， 求的长. OBGECMAF5、如图，在中，是角平分线，平分交于点，经过两点的交于点，交于点，恰为的直径（1）求证：与相切；（2）当时，求的半径6、如图，AB是的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且（1）证明CF是的切线(2) 设O的半径为1且AC=CE,求MO的长.7、如图，已知AB为O的直径,DC切O于点C,过D点作 DEAB,垂足为E,DE交AC于点F. 求证：DFC是等腰三角形. 8、在Rt中，F=90，点B、C分别
11、在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联结AC，将AFC 沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长9、已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E，（9题图） 联结EB交OD于点F（1）求证：ODBE；（2）若DE=，AB=5，求AE的长10、如图所示，AB是O的直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若AEC=ODB（1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明；（2） 当AB=10，BC=8时，求BD的长11、已知：AB是O的弦，ODAB于M交O于点D，CBA
12、B交AD的延长线于C（1）求证：ADDC；（2）过D作O的切线交BC于E，若DE2，CE=1，求O的半径12、如图，为的直径，平分交于点，的延长线于点，交的延长线于点，（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，求的长13、如图，等腰三角形ABC中，ACBC6，AB8以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E（1）求证：直线EF是O的切线；（2）求sinE的值14、如图，为半圆的直径，点C在半圆上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且.（1）求证：是半圆O的切线；（2）若，求的长.15、已知：如图，在ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分AB
13、D交AC于点E，点O是AB上一点，O过B、E两点, 交BD于点G，交AB于点F（1）求证：AC与O相切；（2）当BD=2，sinC=时，求O的半径16、如图，AB是O的直径，点C在O上，M是 的中点，OM交O的切线BP于点P（1）判断直线PC和O的位置关系，并证明你的结论（2）若sinBAC0.8，O的半径为2， 求线段PC的长17、如图，在O中，AB是直径，AD是弦，ADE = 60，C = 30（1）判断直线CD是否为O的切线，并说明理由；OBCDEA （2）若CD = ，求BC的长18、已知，如图，直线MN交O于A,B两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证
14、：DE是O的切线；（2）若cm，cm，求O的半径.19、已知：如图，为的直径，弦,切于,联结（1）判断是否为的切线，若是请证明；若不是请说明理由（2）若,求的半径20、如图，O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EFAC，交BA、BC的延长线于点E、F（1）求证：EF是O的切线；（2）求DE的长21、已知：在O中，AB是直径，AC是弦，OEAC于点E，过点C作直线FC，使FCAAOE，交AB的延长线于点D.（1）求证：FD是O的切线；（2）设OC与BE相交于点G，若OG2，求O半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE3时，求图中阴影部分的面积.22、已知：如
15、图，点是上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，（1）求证：是的切线；（2）若，求弦的长23、如图，点D是O直径CA的延长线上一点，点B在O上，且ABADAO（1）求证：BD是O的切线；（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF9，cosBFA，求EF的长24、如图，已知AB为O的弦，C为O上一点，C=BAD，且BDAB于B. （1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为3，AB=4，求AD的长.25、已知：如图，AB是O的直径，E是AB延长线上的一点，D是O上的一点，且AD平分FAE，EDAF交AF的延长线于点C（1）判断直线CE与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若A
16、FFC=53，AE=16，求O的直径AB的长26、已知：如图，在ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E（1）求证：AD是圆O的切线；ABCDPEO（第26题）（2）若PC是圆O的切线，BC = 8，求DE的长27、已知：如图，在ABC中，ABC的平分线BD交AC于点D，DEDB交AB于点E，过B、D、E三点作O（1）求证:AC是O的切线；（2）设O交BC于点F，连结EF，若BC=9， CA=12. 求的值.（第28题）28、在RtABC中，C=90， BC=9， CA=12，ABC的平分线BD交AC于点D， DEDB交AB于点E，
17、O是BDE的外接圆，交BC于点F（1）求证:AC是O的切线; （2）联结EF，求的值14、如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。（1）求证：CD是半圆的切线；（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为，点A到直线CD的距离为，试求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。 15、如图，AB是O的直径，点C在O的半径AO上运动，PCAB交O于E，PT切O于T，PC2.5。（1）当CE正好是O的半径时，PT2，求O的半径；（2）设，求出与之间的函数关系式；（3）PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出PTC的面积；
18、若不能，请说明理由。1120. 已知：AB是O的弦，ODAB于M交O于点D，CBAB交AD的延长线于C（1）求证：ADDC；（2）过D作O的切线交BC于E，若DE2，CE=1，求O的半径20在Rt中，F=90，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联结AC，将AFC 沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长）20如图所示，AB是O的直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若AEC=ODB（1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长（20题图
19、） 20已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E，联结EB交OD于点F（1）求证：ODBE；（2）若DE=，AB=5，求AE的长20. 如图，AB是的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且（1）证明CF是的切线(2) 设O的半径为1且AC=CE,求MO的长. 20. 已知：AB是O的弦，ODAB于M交O于点D，CBAB交AD的延长线于C（1）求证：ADDC；（2）过D作O的切线交BC于E，若DE2，CE=1，求O的半径20在Rt中，F=90，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C
20、，联结AC，将AFC 沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长20如图所示，AB是O的直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若AEC=ODB（1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长（20题图） 20（本小题满分5分）已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E，联结EB交OD于点F（1）求证：ODBE；（2）若DE=，AB=5，求AE的长20. 如图，AB是的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延
21、长线于点E,直线CF交EN于点F,且（1）证明CF是的切线(2) 设O的半径为1且AC=CE,求MO的长. 1.如图，AB为O的直径，AD平分BAC交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，FB是O的切线交AD的延长线于点F。 （1）求证：DE是O的切线； （2）若DE=3，O的半径为5，求BF的长。2如图，已知ABC内接于O,AC是直径，D是弧AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线于E、F（1）求证：EF是O的切线.（2）若EF8，EC6，求O的半径.3已知是O的直径，是O的切线，A是切点，BP与0交于点C.（）如图，若AB=2，求的长（结果保留根号）；（）如图，若D为
22、AP的中点，求证直线CD是O的切线.ABCOP图ABCOPD图 4如图，已知ABC中，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E，连结OE，CD=，ACB=30.（1）求证：DE是O的切线；（2）分别求AB，OE的长；OBACEMD1如图，以线段AB为直径的O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，BOE=60，（1）求的度数；（2）求证：BC是O的切线；（3）求MD的长度2如图， RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，过点D的切线交BC于E（1）求证：；（2）若tanC=，DE=2，求AD的长 .3如图，O的直径AB=12，弧BC的长为2，D在OC的延长线上，且CD=OC.（1）求A的度数；（2）求证：DB是O的切线.4. 如图，O的圆心在RtABC的直角边AC上，O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连结BO、ED，有BOED，作弦EFAC于G，连结DF（1）求证：AB为O的切线；（2）若O的半径为5，sinDFE=，求EF的长1.如图，AB为O的直径，劣弧，BDCE，连接AE并延长交BD于D。求证：（1）BD是O的切线
