中考数学经典压轴题专题.doc

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1、专题1：抛物线中的等腰三角形基本题型：已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为等腰三角形，求点坐标。分两大类进行讨论：（1）为底时（即）：点在的垂直平分线上。利用中点公式求出的中点；利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为，进而求出的垂直平分线的斜率；利用中点与斜率求出的垂直平分线的解析式；将的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。（2）为腰时，分两类讨论：以为顶角时（即）：点在以为圆心以为半径的圆上。以为顶角时（即）：点在以为圆心以为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出(或)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对

2、称轴）的解析式联立即可求出点坐标。专题2：抛物线中的直角三角形基本题型：已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为直角三角形，求点坐标。分两大类进行讨论：（1）为斜边时（即）：点在以为直径的圆周上。利用中点公式求出的中点；利用圆的一般方程列出的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点坐标。（2）为直角边时，分两类讨论：以为直角时（即）：以为直角时（即）：利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为，进而求出 （或）的斜率；进而求出（或）的解析式；将（或）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。所需知识点：

3、一、 两点之间距离公式：已知两点，则由勾股定理可得：。二、 圆的方程：点在M上，M中的圆心M为，半径为R。则，得到方程：。P在的图象上，即为M的方程。三、 中点公式：四、 已知两点，则线段PQ的中点M为。五、 任意两点的斜率公式：已知两点，则直线PQ的斜率： 。中考压轴题专题3：抛物线中的四边形基本题型：一、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为平行四边形，求点坐标。分两大类进行讨论：（1）为边时 （2）为对角线时二、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为距形，求点坐标。在四边形为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：

4、（1）邻边互相垂直 （2）对角线相等三、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为菱形，求点坐标。在四边形为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等 （2）对角线互相垂直四、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为正方形，求点坐标。在四边形为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等 （2）对角线互相垂直在四边形为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直 （2）对角线相等五、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为梯形，求点坐标。分三大类进行讨论：（1

5、）为底时 （2）为腰时 （3）为对角线时典型例题：典型例题：例1（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线A

6、G下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大求出此时P点的坐标和APG的最大面积. 例2（2009年烟台市）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；OBxyAMC1（第26题图）（4） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）例3.（2009临

7、沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答 （1）因为抛物线与x

8、轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点A的右侧时，x4，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以因此当时，D

9、CA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1） 图5 图6例4.如图1，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段时，求tanCED的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答思路点拨1第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后 续的解题2第

10、（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系3根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了满分解答（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，3)，得所以抛物线的函数表达式为（2）由，知A(1，0)，B(3，0)设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，3)，得 解得，所以直线BC的函数表达式为（3）因为AB4，所以因为P、Q关于直线x1对称，所以点P的横坐标为于是得到点P的坐标为，点F的坐标为所以，进而得到，点E的坐标为直线BC:与抛物线的对称轴x1的交点D的坐标为（1，2）过点D作DH

11、y轴，垂足为H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，图2 图3 图4考点伸展第（3）题求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标 例5.（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3） 若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个 位置能够

12、使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），例6.（2013眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线A

13、D上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由抛物线的解析式为：y=x2+2x-3（2）存在APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：以点A为直角顶点如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点FOA=OD=1，则AOD为等腰直角三角形，PAAD，则OAF为等腰直角三角形，OF=1，F（0，-1）设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，-1）的坐标代入得：解得k=1，b=-1，y=x-1将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得，x2+2x-3=x-1，整理得：x2+x-2

14、=0，解得x=-2或x=1，当x=-2时，y=x-1=-3，P（-2，-3）；以点P为直角顶点此时PAE=45，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合P（-3，0）；以点E为直角顶点此时EAP=45，由可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上，即P（-3，0）；综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形点P的坐标为（-2，-3）或（-3，0） 例7.（2010宜宾）将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平

15、面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点A（0，6）， c=6（1分）抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0）， 例8（2012从化市一模）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-

16、3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）如图（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求APQ的最大面积和此时Q点的坐标（1） y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4 D（1，4）例9.（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6（1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PAP

17、D最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由CDOBAyx（1）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k（2）点A、B关于直线x=4对称PA=PBPA+PD=PB+PDDB当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点MPMOD，BPM=BDO，又PBM=DBO BPMBDO 例10（四川省内江市）如图所示，已知点A(1，0)，B(0，3)，C(0，t)，且t0，tanBAC3，抛物线经过A、B、C三点，点P(2，m)是抛物线与直线l：yk(x1)的一个交点（1）求

18、抛物线的解析式；（2）对于动点Q(1，n)，求PQQB的最小值；（3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求AMP的边AP上的高h的最大值 （3）过点P作PNx轴于点N，过点M作MKx轴于点K，设点M的坐标为（x，-x2+2x+3）， 例11.（广东省深圳市）已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OAOB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m0，n0），连接DP交BC于点E当B

19、DE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标O图3C又连接CD、CP（如图3），CDP是否有最大面积若有，求出CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由ABxyOPD（1）（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分）例12.（2008年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；（3） AOB与BDE是否相似如果相似，请予以证明；如果不

20、相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为）满分解答：1. 解：（ 1）由已知得：解得c=3,b=2抛物线的线的解析式为(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积= =9（3）相似. 如图，BD= BE= DE=所以, 即： ,所以是直角三角形所以,且, 所以.例13.(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在

21、，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由AOxyBFC图16 解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，1分点都在抛物线上， 抛物线的解析式为3分顶点4分（2）存在5分7分9分（3）存在10分理由：解法一：延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点 11分过点作于点AOxyBFC图9HBM点在抛物线上，在中，在中，12分设直线的解析式为 解得13分 解得 在直线上存在点，使得的周长最小，此时14分例14.(2008年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于

22、点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与 重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少解：（1）在中，令xyABCEMDPNO，1分又点在上 的解析式为2分（2）由，得 4分，5分6分（3）过点作于点7分8分由直线可得：在中，则，9分10分11分此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为例15（2010内江）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（1）请求出抛物线顶点M的坐标

23、（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；（2）经探究可知，BCM与ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM为直角三角形的抛物线若存在，请求出；如果不存在，请说明理由满分解答：（1）A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）（4分） （3） 存在使BCM为直角三角形的抛物线； 3题图 过点C作CNDM于点N，则CMN为Rt，CN=OD=1，DN=OC=3m， MN=DM-DN=m CM2=CN2+MN2=1+m2； 在RtOBC中，BC2=OB2+OC2=9+9m2， 在RtBDM中，BM2=BD2+DM2=4+16m2； 如果BCM是Rt，且BMC=90，那么CM2+BM2=BC2，即1+m2+4+16m2=9+9m2， 如果BCM是Rt，且BCM=90，那么BC2+CM2=BM2，即9+9m2+1+m2=4+16m2，解得m=1，m0，m=1；存在抛物线y=x2-2x-3，使得BCM是Rt；如果BCM是Rt，且CBM=90，那么BC2+BM2=CM2，