中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)附答案解析.docx

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1、中考数学直角三角形的边角关系 （大题培优 易错 难题 ）附答案解析一、直角三角形的边角关系1小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板 OA所在水平线的夹角为 120时，感觉最舒适（如图 1），侧面示意图为图 2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热 架 ACO后，电脑转到 AO B位置（如图 3 ），侧面示意图为图 4已知 OA=OB=24cm，O COA 于点 C，O C=12cm（1）求 CAO的度数（2）显示屏的顶部 B比原来升高了多少？（3）如图 4，垫入散热架后，要使显示屏OB与水平线的夹角仍保持 120，则显示屏O B应绕点 O按顺时针方向旋转多少度？【答案】（ 1）C

2、AO=30；（ 2）（ 3612 ） cm；（ 3）显示屏 OB应绕点 O按顺时针 方向旋转 30【解析】试题分析：（ 1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点 B 作 BD AO交 AO的延长线于 D，通过解直角三角形求得BD=OBsin BOD=24 =12 ，由 C、 O、B三点共线可得结果；（3）显示屏 OB应绕点 O按顺时针方向旋转 30，求得 EOB=FOA=30，既是显示屏试题解析：（ 1）OCOA 于 C，OA=OB=24cm，O B应绕点 O按顺时针方向旋转 30sin CAO= CAO =3；02）过点 B作BDAO交 AO的延长线于D， sinBOD=， BD=OBs

3、in BOD， AOB=120 ， BOD=60 ， BD=OBsin BOD=24 OC OA，CAO =3，0 AO C=6，0 AO B =，120 AO BA+O C=18，0 O B +OBDC=24+12 12=36 12，显示屏的顶部 B比原来升高了（ 3612） cm；（3）显示屏 OB应绕点 O按顺时针方向旋转 30， 理由： 显示屏 OB与水平线的夹角仍保持 120， EO F=12，0 FO A=CAO =3，0 AO B =，120 EO BF=O A=3，0 延长 CB 交O显示屏 O应B绕点 O按顺时针方向旋转 30 考点：解直角三角形的应用；旋转的性质2已知 Rt

4、ABC中， AB 是O的弦，斜边 AC交O于点 D，且 AD=DC，E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE 的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作O 的切线，交AC 的延长线于点 Fsin CAB的值；直接写出结 若 CF=CD时，求 若 CF=aCD（a0）时，试猜想 sinCAB的值（用含 a 的代数式表示， 果）【答案】（ 1）AE=CE；（ 2）； 【解析】试题分析：（ 1）连接 AE、 DE，如图 1，根据圆周角定理可得 ADE= ABE=90，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接 AE、ED，如图 2，由 ABE=90可得 AE是O 的直径，根据

5、切线的性质可得 AEF=90 ，从而可证到 ADE AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF 当 CF=CD时，可得，从而有 EC=AE= CD，在 Rt DEC中运用三角函数可得sinCED=，根据圆周角定理可得 CAB= DEC，即可求出 sinCAB的值； 当CF=aCD（ a0）时，同 即可解决问题试题解析：（ 1） AE=CE理由：连接 AE、DE，如图 1， ABC=90， ABE=90，ADE=ABE=90， AD=DC， AE=CE；（2）连接 AE、ED，如图 2，ABE=90，AE是O 的直径， EF是OO的切线， AEF=90， ADE= AEF=90，又 DAE

6、=EAF，ADEAEF，=AD?AF， AE= DC， EC=AE，=DC?（a+2）DC=（ a+2）， 当 CF=CD时， AD=DC=CF， AF=3DC，=DC?3DC=EC= DC， sin CAB=sinCED= = = ； 当 CF=aCD（ a0）时， sinCAB= CF=aCD，AD=DC， AF=AD+DC+CF=（a+2）CD， AE=DC，EC=AE， EC=DC，考点： 1圆的综合题；3存在型2探究型；3如图，反比例函数ky k 0 的图象与正比例函数y 2 x 的图象相交于A （1, a ）, B两点，点 C在第四象限， CAy 轴， ABC 90 （1）求 k

7、的值及点 B 的坐标；（2）求 tanC 的值 .【答案】（ 1） k 2， B 1, 2 ；（2）2.【解析】【分析】（ 1）先根据点 A 在直线 y=2x上，求得点 A 的坐标，再根据点 A 在反比例函数 ky k 0 的图象上，利用待定系数法求得 k 的值，再根据点 A、B 关于原点对称即可 x求得点 B 的坐标；（2）作 BHAC于 H，设 AC交 x轴于点 D，根据 ABC 90 ， BHC 90 ，可得 C ABH ，再由已知可得 AOD ABH ，从而得 C AOD ，求出 tanC 即可 .【详解】（ 1）点 A（1， a）在 y 2x上， a=2， A（1， 2），k把 A（

8、1，2）代入 y得 k 2，x k反比例函数 y k 0 的图象与正比例函数 y 2x 的图象交于 A， B 两点， x A、B 两点关于原点 O 中心对称， B 1， 2 ；（2）作 BHAC于 H，设 AC交 x轴于点 D， ABC 90 ， BHC 90 ， C ABH ，CA y 轴， BH x轴， AOD ABH ， C AOD ， AD 2OD 1 tanC tan AOD 2 .点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出 C=AOD是关键 .4如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB

9、 的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点 C，用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为 30，再向主教学楼的方向前进 24 米，到达点 E处（ C，E，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶 端 A 的仰角为 60，已知测角器 CD的高度为 1.6 米，请计算主教学楼 AB 的高 度（ 3 1.7，3 结果精确到 0.1 米）【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构 造等量关系，进而求解【详解】解：在 RtAFG 中， tan AFG= 3 ，AG AGFG=，tan AFG 3AG在 RtACG中， tan ACG=，

10、CGAG CG= 3 AGtan ACG又 CGFG=24m，AG即 3 AG=24m ，AG=12 3 m，AB=12 3 +1.6 22m.45水库大坝截面的迎水坡坡比( DE与 AE的长度之比)为 1：0.6，背水坡坡比为 1：2， 大坝高 DE=30米，坝顶宽 CD=10 米，求大坝的截面的周长和面积【答案】故大坝的截面的周长是( 6 34 +30 5 +98)米，面积是 1470 平方米【解析】试题分析：先根据两个坡比求出 AE和 BF的长，然后利用勾股定理求出 AD和 BC，再由大 坝的截面的周长 =DC+AD+AE+EF+BF+B，C梯形的面积公式可得出答案试题解析： 迎水坡坡比

11、( DE与 AE的长度之比)为 1： 0.6，DE=30m，AE=18 米，在RTADE中， AD= DE2 AE2 =6 34米背水坡坡比为 1： 2，BF=60 米， 在RTBCF中， BC= CF2 BF2 =30 5米，周长 =DC+AD+AE+EF+BF+BC=634 +10+30 5 +88=(6 34+30 5 +98)米， 面积 =( 10+18+10+60) 302=147(0平方米)故大坝的截面的周长是( 6 34+30 5 +98)米，面积是 1470平方米6如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y kx 4交x轴、 y轴分别于点A、点 B ，且 ABO的面积为

12、 8.（2）如图，点 P是第一象限直线 AB上的一个动点，连接 PO ，将线段 OP绕点 O顺时针 旋转 90至线段 OC，设点 P的横坐标为 t，点 C的横坐标为 m，求 m与t 之间的函数关系 式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（ 2）的条件下，过点 B 作直线 BM OP ，交 x轴于点 M ，垂足为点 N ，点 K 在线段 MB的延长线上，连接 PK ，且 PK KB 0P， PMB 2 KPB ，连接 MC ， 求四边形 BOCM 的面积 .【答案】（ 1） k 1；（2）m t 4；（3） SYBOCM 32.【解析】【分析】（1）先求出 A 的坐标，然后利用待定系数

13、法求出k 的值；（2） 过点P作PD x轴，垂足为 D，过点 C作CE x轴，垂足为 E，证POD OCE可得 OE PD ，进一步得出 m与 t的函数关系式；（3）过点 O作直线 OT AB ，交直线 BM于点 Q ，垂足为点 T ，连接 QP ，先证出QTB PTO ；再证出 KPB BPN ；设 KPB x ，通过计算证出 PO PM ；再过点 P 作 PDx 轴，垂足为点 D ，根据 tan OPDtanBMO 得到 ODBOPDMO列式可求得 t=4；所以 OM=8进一步得出四边形 BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为 32. 【详解】解：（ 1）把x0 代入 ykx 4， y

14、4 ， BO 4 ，又 S ABO4，1 AO BO 4 ， AO4，2 A( 4,0) ，把 x 4 ，y0代入 ykx 4 ，得 0 4k4，解得 k 1.故答案为 1 ；（2）解：把xt 代入 yx 4， y t 4， P(t,t 4)如图，过点 P作 PD x轴，垂足为 D，过点 C 作CE x轴，垂足为 E，线段 OP绕点O顺时针旋转 90 至线段 OC，POC 90 ， OP OC，PODEOC 90 ，OPDEOC，PODOCE， OE PD ， 故答案为 m t 4 .3）解：如图，过点 O作直线 OT AB ，交直线 BM于点 Q ，垂足为点 T ，连接 QP，由（ 1）知，

15、 AO BO 4， BOA 90 ， ABO 为等腰直角三角形， ABO BAO 45 ， BOT 90 ABO 45ABO ， BT TO ， BTO 90 ， TPO TOP 90 ， PO BM ，BNO 90 ，BQTTPO ，QTBPTO ，QTTP，POBQ ，PQTQPTPOPKKB，QBPKKB ，QK KPKQPKPQPQTKQPQPTKPBBPNKPQxTQB TPK ，设 KPBBPNx，PMB2 KPBPOMPAOAPO 45x ， NMO PMOPMBNMO 45x POM PO PM过点 P 作 PDx 轴，垂足为点 D ， OM 2OD 2t ，OPD 90POD

16、 45 xBMO，tan OPDtan BMO ，OD BOt4，PD MO ，t42t ，t1 4 ， t 22（舍） OM 8 ，由（ 2 ）知， m t 48 OM ， CM P y 轴， PNMPOC90 ，PMB2x ， BM P OC ，四边形 BOCM 是平行四边形，90POM 45 x ， SY BOCMBO OM 4 8 32 .故答案为 32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适 当的辅助线构造全等三角形是本题的关键7如图， AB是O的直径， E是O上一点， C在 AB的延长线上， ADCE交 CE的延长 线于点 D，且 A

17、E平分 DAC（1）求证： CD是O 的切线；2）若 AB6，ABE60，求 AD 的长9【答案】（ 1）详见解析；（ 2）2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到 OAE DAE，再利用半径相等得 AEO OAE，等量代 换即可推出 OEAD，即可解题，（ 2）根据 30的三角函数值分别在 RtABE中， AE ABcos30 ， 在 Rt ADE中， AD=cos30 AE即可解题 .【详解】证明：如图，连接 OE，AE平分 DAC， OAEDAEOAOE， AEOOAE AEODAEOEADDCAC，OEDCCD是O 的切线 AEB 90 ，ABE60 EAB 30 ，在 RtAB

18、E中， AEABcos30=6 3 =3 3，2在 RtADE中， DAE BAE30， AD=cos30 23 3【点睛】 本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示 出所求线段是解题关键 .128如图，已知二次函数yx2 bx c 的图象经过点 A（ -3， 6），并与 x 轴交于点 B（-2P1， 0）和点 C，顶点为点 （1）求这个二次函数解析式；（2）设 D为 x轴上一点，满足 DPC= BAC，求点 D的坐标；N，使（3）作直线 AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线 AP 上是否存在点0），点M、N的坐标：若不存在，请说明理由P（1，-

19、2）；（ 2）点 P（7，0）；（ 3）点 N（ -55 解析】 分析】 1）将点B坐标代入二次函数表达式，即可求解；2）利用SABC= 1ACBH1= BCA，y22求出 sin 222 10 51 ，则 tan =1 ，在21 ，即可求解；2 2 2A 关于对称轴的对称点 A（ 5， 6）N，此时 AM+MN 最小，即可求解PMD中， tan =M D =PM x（3）作点 交 AP 于点 【详解】，过点A作 ANAP 分别交对称轴与点 M、1）将点A、 B坐标代入二次函数表达式得：9 3b21b23，解得：3，213故：抛物线的表达式为： y= x2-x- ，223令 y=0，则 x=-

20、1 或 3，令 x=0 ，则 y=- ，故点 C 坐标为（ 3，0），点 P（1，-2）；（2）过点 B作BHAC交于点 H，过点 P作 PGx轴交于点 G，设： DPC=BAC=，由题意得： AB=2 10 ，AC=6 2 ，BC=4， PC=2 2 ，11S ABC= ACBH= BCyA，22解得：BH=2 2 ，1= ，2sin B=H = 2 2 = 1 ，则 tanAB 2 10 5由题意得：GC=2=PG，故 PCB=45，延长 PC，过点 D 作 DMPC交于点 M，则 MD =MC=x，在PMD 中，MD x 1 tan = = =PM x 2 2 2解得： x=2 2 ，则

21、 CD= 2 x=4 ，故点 P（ 7，0）；（3）作点 A 关于对称轴的对称点 A（5，6），过点 A作ANAP分别交对称轴与点 M、交 AP于点 N，此时 AM+MN 最小，81直线 AP表达式中的 k 值为：=-2，则直线 AN表达式中的 k 值为 ，421设直线 AN 的表达式为： y= x+b ，2将点 A坐标代入上式并求解得： b=7 ，217故直线 AN 的表达式为： y= x+ ，22当 x=1 时， y=4，故点 M（ 1，4）， 同理直线 AP的表达式为： y=-2x ， 联立 两个方程并求解得： x=- 7，57 14故点 N（-7，14 ）55【点睛】本题考查的是二次函

22、数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法9如图,在菱形 ABCD中, B 60 ， AB 4.点 P从点 A出发以每秒 2 个单位的速 度沿边 AD向终点 D运动，过点 P作 PQAC 交边 AB 于点 Q ，过点 P向上作3PN / AC ，且PN PQ，以 PN 、 PQ为边作矩形 PQMN .设点 P的运动时间为 t 2秒），矩形 PQMN 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积为 S.1）2）3）当点 M 落在边 BC上时，求 t的值 . 当 0 t 1时，求 S 与t之间的函数关系式， 如图 ,若点 O是 AC 的中点，作直

23、线 OM .当直线 OM 将矩形 PQMN（4）形的面积比为 1：2时，直接写出 t 的值分成两部分图答案】1）PQ 2 3t；（2）4 ；（3） 19 3t2 40 3t 16 3 ；54） t23或用含 t的代数式表示线段 PQ 的长.t 8 7【解析】APQ是等腰【分析】（1）由菱形性质得 D= B=60， AD=AB=CD=4， ACD是等边三角形，证出三角形，得出 PF=QF， PF=PA?sin60=3 t，即可得出结果；2）当点 M 落在边BC上时，由题意得： PDN是等边三角形，得出 PD=PN，由已知得PN= 3 PQ=3t，得出2PD=3t，由题意得出方程，解方程即可；3）

24、当 0t4 时，5PQ=2 3t，PN= 3 PQ=3t，S=矩形 PQMN的面积 =PQ PN，即可得出24 结果；当 t1 时， PDN是等边三角形，得出 PE=PD=AD-PA=4-2，t5FEN= PED=60 ，得出 NE=PN-PE=5t-4，FN= 3NE= 3 （5t-4）， S=矩形 PQMN 的面积- 2EFN的面积，即可得出结果； （4）分两种情况：当 0t4时， ACD是等边三角形， AC=AD=4，得出 OA=2， OG是5MNH 的中位线，得出 OG=4t-2， NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可；4当 t 2时，由平行线得出5OEFMEQ，得出

25、EFEQOF EF 2 tMQ ，即 EF 3t 3t解得 EF=2 3t 3t ，得出 EQ= 3t 2 3t 3t ，由三角形面积关系得出方程，解方4t 2 4t 2 程即可详解】1）在菱形 ABCD中， B=60， D= B=60 ，AD=AB=CD=4， ACD是等边三角形， CAD=60 ， PQAC，2 APQ是等腰三角形，PF=QF， PF=PA?sin60PQ=2 3 t；2）当点 M 落在边 BC上时，如图2 所示：由题意得：PDN 是等边三角形，PD=PN，PN= 3 PQ= 3 23 t=3t，22PD=3t， PA+PD=AD， 即 2t+3t=4 ，4 解得： t=

26、3）当 0t4 时，如图 1所示：523 t=3t，33PQ=2 3 t， PN= 3 PQ= 322S=矩形 PQMN的面积 =PQ PN=2 3t 3t=6 3 t2；4当 t1 时，如图 3 所示：5 PDN是等边三角形，PE=PD=AD-PA=4-2，t FEN=PED=60， NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4，FN= 3 NE= 3 （5t-4 ），S=矩形 PQMN的面积 -2EFN的面积 =6 3 t2-2 1 3（5t-4）2=-19t2+40 3t-16 3， 2即 S=-19t2+40 3 t-16 3 ；4）分两种情况：当 0 t 4时，如图 4 所示：5A

27、C=AD=4，O 是 AC的中点，OA=2，OG 是MNH 的中位线，OG=3t-（2-t）=4t-2，NH=2OG=8t-4，1 11MNH 的面积 = MN NH= 23t （ 8t-4） = 63t2，2 232 解得： t= ；3当 4 t 2时，如图 5所示：5ACQM， OEF MEQ，EFEQOFMQ ，即EFEF 3t2t3t解得： EF=2 3t 3t ，4t 2EQ= 3t 2 3t 3t2 ，4t 21 MEQ的面积 = 3t（ 3t22 3t4t3t22）=1363t2，解得： t= 8 ；72 综上所述，当直线 OM 将矩形 PQMN分成两部分图形的面积比为 1：2时

28、，t 的值为 2 或【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾 股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较 大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键10如图， AB为 O的直径， P是 BA延长线上一点， CG是O的弦 PCAABC，CGAB，（1）求证：垂足为 DPC是O 的切线；（2）求证：PA AD ； PC CD ；3（3）过点 A作 AEPC交O于点 E，交 CD于点 F，连接 BE，若 sinP ，CF5，求 BE 5的长【答案】（ 1）见解析；（ 2） BE=12【解析】【

29、分析】（1）连接 OC，由 PC切O 于点 C，得到 OCPC，于是得到 PCA+ OCA=90 ，由 AB为 O 的直径，得到 ABC+ OAC=90 ，由于 OC=OA，证得 OCA=OAC，于是得到结论； （2）由 AE PC，得到 PCA=CAF根据垂径定理得到弧 AC=弧 AG，于是得到 ACF=ABC，由于PCA=ABC，推出 ACF=CAF，根据等腰三角形的性质得到3CF=AF，在 RtAFD中， AF=5，sinFAD= ，求得 FD=3，AD=4，CD=8，在 Rt OCD中，5设 OC=r，根据勾股定理得到方程 r2=（r-4）2+82，解得 r=10，得到 AB=2r=2

30、0，由于 AB 为3 BE 3O 的直径，得到 AEB=90 ，在 RtABE中，由 sinEAD= ，得到 ，于是求得5AB 5结论【详解】PC切O 于点 C，OCPC， PCO=90 ， PCA+ OCA=90 ，AB 为O 的直径， ACB=90 ， ABC+ OAC=90 ， OC=OA， OCA=OAC， PCA= ABC； （2）解： AEPC， PCA= CAF， ABCG， 弧 AC=弧 AG， ACF=ABC， PCA= ABC， ACF=CAF， CF=AF， CF=5， AF=5， AE PC， FAD=P，3sin P= ，5sinFAD=3在 Rt AFD中，AF=5

31、，sinFAD=3FD=3， AD=4， CD=8， 在 Rt OCD中，设 OC=r， r 2=（r 4）2+82 ， r=10 ， AB=2r=20，AB 为 O的直径， AEB=90 ，在 RtABE中， sin EAD=3 ， BE5 ABAB=20，BE=12【点睛】 本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接 OC构造直角三角形11已知：如图，直线 y x 12分别交 x轴、y轴于 A、 B点，将 AOB折叠，使 A点 恰好落在 OB 的中点 C处，折痕为 DE（1）求 AE 的长及 sinBEC的值；（2）求CDE的面积3 75【答案】（ 1）

32、5 2 ， sin BEC= ；（ 2）54【解析】【分析】（1）如图，作 CFBE于F点，由函数解析式可得点 B，点 A坐标，继而可得 A= B=45 ，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，CF=BF=3 2 ，设 AE=CE=x，则 EF=AB-BF-AE=12 2 -3 2 -x=9 2 -x，在 Rt CEF中，利用勾股定理求出 x 的值即可求得答案；（2）如图，过点 E作EMOA于点 M ，根据三角形面积公式则可得SCDE=SAED= 2 AD AE，设 AD=y，则 CD=y，OD=12-y，在 RtOCD中，利用勾股定理求 4出 y，继而可求得答案 .【详

33、解】1）如图，作 CFBE于 F点，A=B=45，又点 C是 OB中点， OC=BC=6，CF=BF=3 2 ，设 AE=CE=x，则 EF=AB-BF-AE=12 2 -3 2 -x=9 2 -x，在 RtCEF中，CE2=CF2+EF2，即 x2=（9 2-x）2+（3 2 ）2， 解得： x=5 2 ，CF 3 故可得 sinBEC=CCFE 53 ，AE=5 2；2）如图，过点 E作EMOA于点 M，2 2 2=2 AD AE，4设 AD=y，则 CD=y， OD=12-y，在 RtOCD中， OC2+OD2=CD2，即 62+（12-y） 2=y2，15 15 解得： y= 15 ，

34、即 AD=15 ，22SCDE=S AED=2 AD AE=7544点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键12近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻如图，上午9时，巡 逻船位于 A 处，观测到某港口城市 P位于巡逻船的北偏西 67.5 ，巡逻船以 21 海里/时的速度向正北方向行 驶，下午 2 时巡逻船到达 B 处，这时观测到城市 P位于巡逻船的南偏西 36.9 方向，求此时 3312巡逻船所在 B 处与城市 P的距离？（参考数据： sin36.9 ，tan36.9 ，sin67.5 ，5413tan67.5 12）答案】 100 海里PC=x海里，用含有 x 的式子表示 AC， BC的值， BP的值即可解答C，设 PC=x 海里AC=解析】 【分析】过点 P 作 PCAB，构造直角三角形，设 从而求出 x 的值，再根据三角函数值求出 【详解】，在 RtPCB中， tanB= ， BC= AC+BC=AB=21 ，5 ，解得 x=60 ， （海里） 巡逻船所在 B处与城市 P的距离为 100 海里 【点睛】 本题考查了方向角问题，注意结合实际问题，利用解直角三角形的相关知识求解是解此题 的关键，注意数形结合思想的应用 .