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1、 第5讲： 圆的基本性质一、 建构新知1圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
2、弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.平行弦夹的弧相等.3两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4与圆有关的角：(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.如果三角形一边上的
3、中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.二、 经典例题例1如图所示，ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，3)、B (2，2)、C (4，2)，则ABC外接圆半径的长度为 例2如图所示，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE1cm，EB5cm，DEB60，求CD的长 变式：如图，AB、AC都是圆O的弦，OMAB，ONAC，垂足分别为M、N，如果MN3，那么BC 例3如图，在O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E（1）若OC=5，AB=8，求tanBAC；（2）若DAC=BAC，且点D在O的外部，判断直线AD与O的位置关系，并加以证明例4. 如
4、图，O是ABC的外接圆，FH是O 的切线，切点为F，FHBC，连结AF交BC于E，ABC的平分线BD交AF于D，连结BF（1）证明：AF平分BAC；（2）证明：BFFD.例5. 已知射线OF交O于B，半径OAOB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交O于D，过D作O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设DEP的度数为x，OAP的度数为
5、y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.例6如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径三、 基础演练1如图所示，AB、AC为O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BDOB，连接AD如果DAC78，那么ADO等于( )A70 B64 C62 D512在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为( )A54m Bm Cm Dm3设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=
6、8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A. (4+8)cm2 B. (4+16)cm2C. (3+8)cm2 D. (3+16)cm24如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是().A. B. C. D. 5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为O的直径，弦ABCD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A12.5寸 B13寸 C25寸 D26寸 6在平面直角坐标系中如图所示，两
7、个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有( )A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条7一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )A80 B100 C80或100 D160或2008如图所示，AB、AC与O分别相切于B、C两点，A50，点P是圆上异于B、C的一动点，则BPC的度数是( )A65 B115 C65或115 D130或509如下左图，是的内接三角形，点P在 上移动(点P不与点A、C重合)，则的变化范围是_.10如图所示，EB、EC是O是两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果E=46，D
8、CF=32，那么A的度数是_.11已知O1与O2的半径、分别是方程 的两实根，若O1与O2的圆心距=5则O1与O2的位置关系是_ .12已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是_.13. 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_.14. 已知正方形ABCD外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为_，面积为_四、 直击中考1.(2013年湖北)如，在中，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为（ ）A. B. C. D. CADB2.（2013黑龙江）如图，点A，B，C，D为O上的四
9、个点，AC平分BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（） A4 B5 C6 D73（2013江苏）如图，已知AB是O的直径，AD切O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（）AOCAE BEC=BC CDAE=ABEDACOE4.（2013湖北）如图，DC 是O直径，弦ABCD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）ABAF=BFCOF=CFDDBC=905.（2013湖北）如图，M是CD的中点，EMCD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 6.（2013年广东）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，与轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0）
10、，的半径为，则点P的坐标为 _.7.（2013四川）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点G，点F是CD上一点，且满足= ，连接AF并延长交O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3给出下列结论：ADFAED；FG=2；tanE=；SDEF=4其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）8（2013浙江）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为 9. （2013江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的O上，连接OC，过O点作ODOC，OD与O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排
11、列），连接AB（1）当OCAB时，BOC的度数为 ；（2）连接AC，BC，当点C在O上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的面积的最大值（3）连接AD，当OCAD时：求出点C的坐标；直线BC是否为O的切线？请作出判断，并说明理由10.（2013四川）在O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，BAC=25，请直接写出DCA的度数五、 挑战竞赛1.如图所示，ABC的三边满足关系BC=（AB+AC），O，I分别为ABC的外心和内心，BAC的外角平分线交O于点E，
12、AI的延长线交O于点D，DE交BC于点H 求证：（1）AI=BD；（2）OI=AE六、 每周一练1在ABC中，C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示若AB=4，AC=2，S1S2=，则S3S4的值是（）ABCD2.如图，在平面直角坐标系中，ABC是O的内接三角形，ABAC，点P是的中点，连接PA，PB，PC 如图，若，则的值为 3. 如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作O，过点P作O的切线，交AD于点F，切点为E（1）求证：OFBE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使EFOEHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由
