《九年级中考复习-二次函数与圆的提高类综合练习(含答案解析).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级中考复习-二次函数与圆的提高类综合练习(含答案解析).docx（26页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、二次函数与圆的综合习题类型一 圆的基本性质应用例1：如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-52）2+98与M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）（1）求a值及A，B两点坐标；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当CPD为锐角时，请求出m的取值范围；（3）点E是抛物线的顶点，M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C，D，顺次连接A，C，D，E四点，四边形ACDE（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）A（1，0），B（4，0）（2）m0或1m4或m5（3）存在M（17582，-2）【解析】
2、解：（1）抛物线y=a（x-52）2+98经过点C（0，-2），-2=a（0-52）2+98，a=-12，y=-12（x-52）2+98，当y=0时，-12（x-52）2+98=0，x1=4，x2=1，A、B在x轴上，A（1，0），B（4，0）（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-12（x-52）2+98，C、D关于对称轴x=52对称，C（0，-2），D（5，-2），如图1中，连接AD、AC、CD，则CD=5，A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），AC=5，AD=25，AC2+AD2=CD2，CAD=90，CD为M的直径，当点P在圆外部的抛物线上运动时，CPD为锐角，m0或1m4或m5
3、（3）存在如图2中，将线段CA平移至DF，则AF=CD=CD=5，A（1，0），F（6，0），作点E关于直线CD的对称点E，连接EE正好经过点M，交x轴于点N，抛物线顶点（52，98），直线CD为y=-2，E（52，-418），连接EF交直线CD于H，AE，CD是定值，AC+ED最小时，四边形ACDE的周长最小，AC+DE=FD+DE=FD+EDEF，则当点D与点H重合时，四边形ACDE的周长最小，设直线EF的解析式为y=kx+b，E（52，-418），F（6，0），可得y=4128x-12314，当y=-2时，x=19041，H（19041，-2），M（52，-2），DD=5-19041=1
4、541，52-1541=17582，M（17582，-2）针对训练1已知二次函数yax22axc(a0)的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC与它的对称轴交于点F，且CF：FB1：3(1)求A、B两点的坐标；(2)若COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；(3)在(2)的条件下，Q(m，0)是x轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M，是否存在点Q，使得M恰好落在y轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)B(4，0)，A(2，0)；(2)y=-38x
5、2+34x+3；(3)存在，Q(23，0)或Q(223，0)【解析】（1）如图所示：对称轴为：直线x=-2a2a=1， OE=1，OCEF，CFFB=OEEB=13， EB=3，由对称性得：BE=AE=3，A(2,0),B(4,0)；(2)如图，I是OBC的内切圆，过点I作IDOC于点D，OD=OE=1, 设CD=x，则OC=x+1,BC=x+3,在RtOCB中，OB=4，OC2+OB2=BC2, 即x+12+42=x+32,解得x=2, OC=3, C(0,3)，c=3，把A(2,0), C(0,3)代入抛物线y=ax2-2ax+c中得：c=34a+4a+c=0 解得：a=-38c=3, 抛
6、物线的解析式为：y=-38x2+34x+3；(3)如图,由题意MCN=NCB，MNOM，MCN=CNM,CNM =NCB，MN=CM，直线BC解析式为y=-34x+3， M(m,-34m+3),N(m,-38m2+34m+3)，作MEOC于E，sinBCO=EMMC=BOBC， mCM=45， CM=54m， 当N在直线BC上方时,-38m2+34m+3-(-34m+3)=54m， 解得：m=23或0(舍弃)，Q(23，0)，当N在直线BC下方时, -34m+3-(-38m2+34m+3)=54m，解得m=223或0(舍弃)，Q(223，0)综上所述：点Q坐标为 (23，0)或Q(223，0)
7、.2对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线yx+3的一对关联点（1）请写出反比例函数y6x的图象上的一对关联点的坐标： ；（2）抛物线yx2+bx+c的对称轴为直线x1，与y轴交于点C（0，1）点A，B是抛物线yx2+bx+c的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）求A，B两点坐标（3）T的半径为3，点M，N是T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m1），请直接写出m的取值范围【答案】（1）（2，3），（3，2）（2）A，B
8、两点坐标为（1，2）和（2，1）（3）1m1+32【解析】解：（1）23326，点（2，3），（3，2）是反比例函数y6x的图象上的一对关联点故答案为：（2，3），（3，2）（2）抛物线yx2bxc的对称轴为直线x1，b21，解得：b2抛物线yx2bxc与y轴交于点C（0，1），c1，抛物线的解析式为yx22x1由关联点定义，可知：点A，B关于直线yx对称又直线AB与x轴交于点D（1，0），直线AB的解析式为yx1联立直线AB及抛物线解析式成方程组，得：yx1yx22x1，解得：x1=-1y1=2，x2=-1y2=2，A，B两点坐标为（1，2）和（2，1）（3）由关联点定义，可知：点M，N关于
9、直线yx对称，T的圆心在直线yx上T的半径为3，M1M2222332，m的取值范围为1m132.类型二 与圆有关的位置关系例2如图，已知点A（2，0），以A为圆心作A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作A的切线l（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A，抛物线与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点E，如果CO=2BE，求此抛物线的解析式；（2）过点C作A的切线CD，D为切点，求此切线长；（3）点F是切线CD上的一个动点，当BFC与CAD相似时，求出BF的长【答案】（1）y=34（x-2）（x-6）；（2）CD=23；（3）BF的长为433或3【解析】（1）A（2，0），A与y轴切于原
10、点，A的半径为2点B的坐标为为（4，0）点A、C关于x=4对称，C（6，0）又CO=2BE，E（4，-3）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），（a0）；抛物线经过点E（4，-3）-3=a（4-2）（4-6），解得：a=34抛物线的解析式为y=34（x-2）（x-6）；（2）如图1所示：连接AD，AD是A的切线，ADC=90，AD=2，由（1）知，C（6，0）A（2，0），AC=4，在RtACD中，CD2=AC2-AD2=42-22=12，CD=23（3）如图2所示：当FBAD时，连结ADFBC=ADC=90，FCB=ACD，FBCADC，CFCA=BCDC，即CF4=223解得：CF
11、=433如图3所示：当BFCD时，连结AD、过点B作BFCD，垂足为FADCD，BFAD，BFCADC，BCAC=CFCD，即24=CF23CF=3综上所述，BF的长为433或3针对训练1如图，抛物线y=x24x1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x24x1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作P，过点D作P的切线，切点为E，求点DE的长；（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的P能否与x轴相切？如果能够，求出P的半径；如果不能，请说明理由【答案】（1）点D的坐标为（2，-5
12、）；（2）DE=62；（3）能够相切，理由见解析.【解析】（1）y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=（x-2）2-5，点D的坐标为（2，-5）；（2）当y=4时，x2-4x-1=4，解得x=-1或x=5，M坐标为（-1，4），点N坐标为（5，4），MN=6P的半径为3，点P的坐标为（2，4），连接PE，则PEDE，PD=9，PE=3，根据勾股定理得DE=62；（3）能够相切理由：设P的半径为r，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r）或（2+r，-r），代入抛物线解析式得：（2+r）2-4（2+r）-1=r，解得r=21+12或r=1-212（舍去），把（2+r，-r）代入抛物线得：（
13、2+r）2-4（2+r）-1=-r，解得：r=-1+212，或r=-1-212（舍去）2如图，P的圆心P（m，n）在抛物线y12x2上（1）写出m与n之间的关系式；（2）当P与两坐标轴都相切时，求出P的半径；（3）若P的半径是8，且它在x轴上截得的弦MN，满足0MN215时，求出m、n的范围【答案】（1）n12m2；（2）P的半径为2；（3）14m4或4m14；7n8【解析】解：（1）点P（m，n）在抛物线y12x2上，n12m2；（2）当点P（m，12 m2）在第一象限时，由P与两坐标轴都相切知m12m2，解得：m0（舍）或m2，P的半径为2；当点P（m，12m2）在第三象限时，由P与两坐标
14、轴都相切知m12m2，解得：m0或m2，P的半径为2；（3）如图，作PKMN于点K，连接PM，当MN215时，MK12MN15，PM8，则PKPM2-MK282-(15)27，当MN0时，PK8，7PK8，即7n8，n12m2，712m28，解得：14m4或4m14类型三 构造圆与隐形圆例3：已知：如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D为顶点(1)求抛物线解析式及点D的坐标；(2)若直线l过点D，P为直线l上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形有.且只有三个时，求直线l的解析式；(3)如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O顺时
15、针旋转得到OE，旋转角为(090)，连接EB、EC，当EB+12EC取得最小值时，求直线BE与抛物线的交点坐标 【答案】（1）(1,-4)；（2）y=-3x+3-4或y=3x-4-3；（3）3172.【解析】(1)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3y=x2-2x-3=(x-1)2-4，抛物线的顶点坐标为(1,-4)(2)过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点Q以AB为直径的G如果与直线l相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线l相切，就只有1个点Q了如图所示：以AB为直径作G，作QD与G相切，则
16、QGQD，过Q作QEGDA(-1,0)，B(3,0)，AB=4QG=2又DG=4，sinGDQ=12sinGQE=12，GE=1，QE=QG2-GE2=3点Q的坐标为(1-3,-1)设l的解析式为y=kx+b，则k+b=-4(1-3)k+b=-1，解得：k=-3，b=-4+3，直线l的解析式为y=-3x+3-4由图形的对称性可知：当直线l经过点(1+3,-1)时，直线l与G相切，则k+b=-4(1+3)k+b=-1，解得：k=3，b=-4-3，直线l的解析式为y=3x-4-3综上所述，直线l的解析式为y=-3x+3-4或y=3x-4-3(3)如图所示：取M使OM=34，连接MEOC=3，OE=
17、32，OM34，OE2=OCOM，又MOE=EOC，OMEOEC，ME=12CEEB+12EC=BE+ME，当M、E、B在一条直线上时，EB+12EC有最小值，EB+12EC的最小值=OB2+OM2=32+(34)2=3172针对训练1如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个；连接MA
18、，MB，若AMB不小于60，求t的取值范围【答案】（1）抛物线解析式为y=32x232x3，顶点坐标（12，938）；（2）12PB+PD的最小值为334；（3）5;取值范围是-23-396t-23+396【解析】（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，-）代入解得顶点坐标为方法二：也可以用三点式设代入三点或者顶点式设代入两点求得。如图，过P点作DEAB于E点，由题意已知ABO=30.要使最小，只需要D、P、E共线，所以过D点作DEAB于E点，与y轴的交点即为P点.由题意易知，ADE=ABO=30，,若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，分两种情况，由题意知，AB=2，若AB为边菱形的边，
19、因为M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点，AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个，如图若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M点.综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个.如图，作AB的垂直平分线，与y轴交于F点。由题意知，AB=2，BAF=ABO=30，AFB=120以F为圆心，AF的长为半径作圆交对称轴于M和M点，则AMB=AMB=AFB=60BAF=ABO=30，OA=1FAO=30，AF=FM=FM，OF=，过F点作FGMM于G点，已知FG=，又GM（，M方法二：设M，M到点F的距离d=AF=也可求得2如图，抛物
20、线y12x2+bx+c与x轴交于A、B（A左B右），与y轴交于C，直线yx+5经过点B、C（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若PCB+POB180，求d的值【答案】（1）y12x2+32x+5（2）d24m2524m（2m0）（3）322 【解析】（1）直线yx+5经过点B、C，B（5，0），C（0，5），把B、C坐标代入y12x2+bx+c得到：c=5-252+5b+c=0 ，解得b=32c=5，二次函数的解析式为y12x2+32x+5；（2）如图1中，作PEBC于E，作PFAB
21、交BC于FP（m，12m2+32m+5），PFAB，点F的纵坐标为12m2+32m+5，则有12m2+32m+5x+5，x12m232m，PF12m232mm12m252m，OBOC，BOC90，EFPOBC45，PEEF，PEF是等腰直角三角形，dPE22PF24m2524m（2m0）；（3）如图2中，取BC的中点H，连接PHPCB+POB180，O、B、C、P四点共圆，CPBCOB90，PH12BC522，P（m，12m2+32m+5），H（52，52），（m52）2+（12m2+32m+552）2252，整理得：m（m5）（m2m2）0，解得m0或5或1或2，P在第二象限，m1，d24m2524m322
