《九类常见递推数列求通项公式方法.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《九类常见递推数列求通项公式方法.doc(13页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、递推数列通项求解方法类型一:()思路1(递推法):。思路2(构造法):设,即得,数列是以为首项、为公比的等比数列,则,即。例1 已知数列满足且,求数列的通项公式。解:方法1(递推法):。方法2(构造法):设,即,数列是以为首项、为公比的等比数列,则,即。类型二: 思路1(递推法):。思路2(叠加法):,依次类推有:、,将各式叠加并整理得,即。例2 已知,求。解:方法1(递推法):。方法2(叠加法):,依次类推有:、,将各式叠加并整理得,。类型三: 思路1(递推法):。思路2(叠乘法):,依次类推有:、,将各式叠乘并整理得,即。例3 已知,求。解:方法1(递推法):。方法2(叠乘法):,依次类推
2、有:、,将各式叠乘并整理得,即。类型四: 思路(特征根法):为了方便,我们先假定、。递推式对应的特征方程为,当特征方程有两个相等实根时, (、为待定系数,可利用、求得);当特征方程有两个不等实根时、时,(、为待定系数,可利用、求得);当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理,此处暂不作讨论。例4 已知、,求。解:递推式对应的特征方程为即,解得、。设,而、,即,解得,即。类型五: ()思路(构造法):,设,则,从而解得。那么是以为首项,为公比的等比数列。例5 已知,求。解:设,则,解得,是以为首项,为公比的等比数列,即,。类型六: (且)思路(转化法):,递推式两边同时除以得,我们令,那么问题就
3、可以转化为类型二进行求解了。例6 已知,求。解:,式子两边同时除以得,令,则,依此类推有、,各式叠加得,即。类型七: ()思路(转化法):对递推式两边取对数得,我们令,这样一来,问题就可以转化成类型一进行求解了。例7 已知,求。解:对递推式左右两边分别取对数得,令,则,即数列是以为首项,为公比的等比数列,即,因而得。类型八:()思路(转化法):对递推式两边取倒数得,那么,令,这样,问题就可以转化为类型一进行求解了。例8 已知,求。解:对递推式左右两边取倒数得即,令则。设,即,数列是以为首项、为公比的等比数列,则,即,。类型九: (、)思路(特征根法):递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个
4、相等实根时,数列即为等差数列,我们可设(为待定系数,可利用、求得);当特征方程有两个不等实根、时,数列是以为首项的等比数列,我们可设(为待定系数,可利用已知其值的项间接求得);当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理,此处暂不作讨论。例9 已知, (),求。解:当时,递推式对应的特征方程为即,解得、。数列是以为首项的等比数列,设,由得则,即,从而,。常见递推数列通项公式的求法重、难点:1. 重点: 递推关系的几种形式。2. 难点:灵活应用求通项公式的方法解题。【典型例题】例1 型。(1)时,是等差数列,(2)时,设 比较系数: 是等比数列,公比为,首项为 例2 型。(1)时,若可求和,
5、则可用累加消项的方法。例:已知满足,求的通项公式。解: 对这()个式子求和得: (2)时,当则可设 解得:, 是以为首项,为公比的等比数列 将A、B代入即可(3)(0,1)等式两边同时除以得令 则 可归为型例3 型。(1)若是常数时,可归为等比数列。(2)若可求积,可用累积约项的方法化简求通项。例:已知:,()求数列的通项。解: 例4 型。考虑函数倒数关系有 令 则可归为型。 练习:1. 已知满足,求通项公式。解:设 是以4为首项,2为公比为等比数列 2. 已知的首项,()求通项公式。解: 3. 已知中,且求数列通项公式。解: 4. 数列中,求的通项。解: 设 5. 已知:,时,求的通项公式。
6、解:设 解得: 是以3为首项,为公比的等比数列 【模拟试题】1. 已知中,求。2. 已知中,()求。3. 已知中,()求。4. 已知中,()求。5. 已知中,其前项和与满足()(1)求证:为等差数列 (2)求的通项公式6. 已知在正整数数列中,前项和满足 (1)求证:是等差数列 (2)若求的前n项和的最小值1. 解:由,得 2. 解:由得: 即是等比数列 3. 解:由得 成等差数列, 4. 解: () ()设即 是等差数列 5. 解:(1) 是首项为1,公差为2的等差数列 (2) 又 6. 解:(1) 时,整理得: 是正整数数列 是首项为2,公差为4的等差数列 (2) 为等差数列 当时,的最小值为