二次函数七大综合专题.doc

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1、二次函数七大综合专题二次函数与三角形的综合题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。如图，已知抛物线与交于A(1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AE

2、DB的面积；（3） AOB与DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。（2016益阳第21题）如图，顶点为的抛物线经过坐标原点O，与轴交于点B（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交轴于点C，交抛物线于点，求证：OCDOAB；（3）在轴上找一点，使得PCD的周长最小，求出P点的坐标考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。解析：（1）抛物线顶点为， 设抛物线对应的二次函数的表达式为， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得 抛物线对应的二次函数的表达式为： （2）将 代入中，得B点坐标为：， 设直线OA对应的一次函数的表达式为， 将代入表达式中，得

3、， 直线OA对应的一次函数的表达式为BDAO，设直线BD对应的一次函数的表达式为，将B代入中，得 ，直线BD对应的一次函数的表达式为由得交点D的坐标为，将代入中，得C点的坐标为，由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD, 在OAB与OCD中， OABOCD（3）点关于轴的对称点的坐标为，则与轴的交点即为点，它使得PCD的周长最小过点D作DQ，垂足为Q，则PODQ,即， 点的坐标为二次函数与平行四边形的综合题例1：如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角

4、线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出AOE的面积与x的函数关系式进

5、而可得出S与x的函数关系式将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴是x=，设解析式为y=a（x）2+k把A，B两点坐标代入上式，得，解得a=，k=故抛物线解析式为y=（x）2，顶点为（，）（2）点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=（x）2，y0，即y0，y

6、表示点E到OA的距离OA是OEAF的对角线，S=2SOAE=2OA|y|=6y=4（x）2+25因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），所以自变量x的取值范围是1x6根据题意，当S=24时，即4（x）2+25=24化简，得（x）2=解得x1=3，x2=4故所求的点E有两个，分别为E1（3，4），E2（4，4），点E1（3，4）满足OE=AE，所以平行四边形OEAF是菱形；点E2（4，4）不满足OE=AE，所以平行四边形OEAF不是菱形；当OAEF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，3），而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使平

7、行四边形OEAF为正方形【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识综合性强，难度适中（2016泰安第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形

8、，且AE为其一边，求点M、N的坐标【考点】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出HMNAOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x2）2+9，抛物线与y轴交于点A（0，5），4a+9=5，a=1，y=（x2）2+9=x2+4x+5，（2）当y=0时，x2

9、+4x+5=0，x1=1，x2=5，E（1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，A（0，5），B（5，0），m=1，n=5，直线AB的解析式为y=x+5；设P（x，x2+4x+5），D（x，x+5），PD=x2+4x+5+x5=x2+5x，AC=4，S四边形APCD=ACPD=2（x2+5x）=2x2+10x，当x=时，S四边形APCD最大=，（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，MNAE，MN=AE，HMNAOE，HM=OE=1，M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），A（0，

10、5），E（1，0），直线AE解析式为y=5x+5，MNAE，MN的解析式为y=5x+b，点N在抛物线对称轴x=2上，N（2，10+b），AE2=OA2+0E2=26 MN=AE MN2=AE2，MN2=（21）2+8（10+b）2=1+（b+2）2 M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，点N在抛物线对称轴上，M1N=M2N，1+（b+2）2=26，b=3，或b=7，10+b=13或10+b=3当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数

11、关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题（2016重庆第26题）如图1，二次函数的图象与一次函数y=kx+b(k0)的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0,1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b(k0)的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且SAMOS四边形AONB=148。（1）求直线AB和直线BC的解析式；（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD/x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PEx轴于点E，PFBC于点F，当PF与PE的乘积最大时，

12、在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；（3）如图2，直线AB上有一点K（3,4），将二次函数沿直线BC平移，平移的距离是t(t0)，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A/，点C/；当A/C/K是直角三角形时，求t的值。参考答案：（1）点A的坐标为(0,1)，AO=1。SAMOS四边形AONB=148，SAMOSBMN=149。由AMOBMN可知，AOBN=17。BN=7。令y=7，则，解得x1=6，x2=-2。点B在第一象限，点B的坐标为(6,7)。 （1分）将点A(0,1)，B(6,7)代入y=kx+b中得，解得直线AB的解

13、析式为y=x+1。（2分）点C是二次函数图象的顶点，点C的坐标为(2,-1)。 （3分）设直线BC的解析式为y=mx+n(m0)，将点B(6,7)，C(2,-1)代入得，解得。直线BC的解析式为y=2x-5。（4分）（2）设点P的坐标为(a,a+1)。则点D的坐标为(,a+1)。PE=a+1，PD=()-a=。设直线BC与x轴的交点为点Q，由PDFBQN可知，PF=。（5分）PEPF=(a+1)=。0a6，当x=时，PEPF有最大值。此时点P的坐标为(,)。把y=代入二次函数中得，解得x1=-1，x2=5。点G的坐标为(5, )。 （6分）过点B作BRx轴交y轴于R，点H是线段AB上一点，作H

14、JBR于点J，连接GH。JBH=AMO=45，JH=BH，GH+BH=GH+HJ。当点G，H，J三点在同一条直线上时，GH+BH的值最小。此时点H的坐标为(5,6)， （7分）GH+BH的值最小为。 （8分）（3）过点A作ATBC，平移过程中AC=A/C/=，CC/=AA/=t。设点C/的坐标为(,)则点A/的坐标为(,)点K的坐标为(3,4)A/K2=，C/K2=，(A/C/)2=8。当A/C/为斜边时，8=()+()解得t1=或t2=。 （10分）当A/K为斜边时，=8+()解得t=。 （11分）当C/K为斜边时，=8+()解得t=0。 （12分）综上所述，当A/C/K是直角三角形时，t=

15、或或或0。与直角三角形性质有关的综合题 （2016枣庄第25题）如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.若直线ymxn经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标第25题图参考答案：解：（1）依题意，得解之，得抛物线解析式为 2分第25题图 对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0），B（3，0）把B（3，0）、C（0，3）分别直线ymxn，得 解之，得 直线

16、BC的解析式为 3分（2）MA=MB，MA+MC=MB+MC.使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点. 设直线BC与对称轴x1的交点为M，把x1代入直线，得y2. M（1，2）6分 （3）设P（1，t），结合B（3，0），C（0， 3），得BC218， PB2(13)2t24t2， PC2(1)2(t3)2t26t10.若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即 184t2t26t10. 解之,得t2. 若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即 18t26t104t2解之，得t4 若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即 4t2t26t1018解之，得t1，t2 综上所述，满足条件

17、的点P共有四个,分别为 (1，2), (1，4), (1，) ,(1，)10分与相似三角形性质有关的综合题（2016湖州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程

18、）【考点】二次函数综合题【专题】二次函数图象及其性质【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得MCP=90，则若PCM与BCD相似，则要进行分类讨论，分成PCMBDC或PCMCDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标【解答】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=x2+bx+c得， 解得二次函数解析式为y=x2+2x+4，配方得y=（x1）2+5，点M的坐标

19、为（1，5）；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得， 解得直线AC的解析式为y=x+4，如图所示，对称轴直线x=1与ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）15m3，解得2m4；（3）连接MC，作MGy轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）MG=1，GC=54=1MC=，把y=5代入y=x+4解得x=1，则点N坐标为（1，5），NG=GC，GM=GC，NCG=GCM=45，NCM=90，由此可知，若点P在AC上，则MCP=90，则点D与点C必为相似三角形对应点若有PCMB

20、DC，则有BD=1，CD=3，CP=，CD=DA=3，DCA=45，若点P在y轴右侧，作PHy轴，PCH=45，CP=PH=把x=代入y=x+4，解得y=，P1（）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=代入y=x+4，解得y=P2（）；若有PCMCDB，则有CP=3PH=3=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=3代入y=x+4，解得y=7P3（3，1）；P4（3，7）所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（3，7）【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数解析式及相似三角形性质，解题的关键是分类讨论三角形

21、相似的不同情况，结合特殊角的使用来求出点P的坐标二次函数与圆的性质有关的综合题（2016巴中第31题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx5m（m0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PFPD交y轴于点F，连接DF（1）如图所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）如图所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=x上任意一点P（不与原点重合），PDF的大小为定值请你判断该猜想

22、是否正确，并说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）先提取公式因式将原式变形为y=m（x2+4x5），然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=2，故此可知当x=2时，y=6，于是可求得m的值；（2）由（1）的可知点A、B的坐标；（3）先由一次函数的解析式得到PBF的度数，然后再由PDPF，FOOD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明PDF=60【解答】解：（1）y=mx2+4mx5m，y=m（x2+4x5）=m（x+5）（x1）令y=0得：m（x+5）（x1）=0，m0，x=5或x=1A（5，0）

23、、B（1，0）抛物线的对称轴为x=2抛物线的顶点坐标为为6，9m=6m=抛物线的解析式为y=x2x+（2）由（1）可知：A（5，0）、B（1，0）（3）如图所示：OP的解析式为y=x，AOP=30PBF=60PDPF，FOOD，DPF=FOD=90DPF+FOD=180点O、D、P、F共圆PDF=PBFPDF=60二次函数与方程根和关系的关系、函数值大小比较有关的综合题【题17】（2016广州第24题）已知抛物线与x轴相交于不同的两点,（1） 求的取值范围（2） 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；（3） 当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由.难易 综合性强考点 根的判别式，韦达定理，最值的求法解析 （1）根据根的判别式求出m的取值范围，注意（2）令,得出,故过定点P(3,4)（3）利用韦达定理写出AB的长度，再根据m的取值范围，求出面积的范围参考答案 （1） 根据已知可知所以 所以所以m的取值范围为且.（2） 令，则,令得，当时，；当时，；所以抛物线过定点（1，0），（3，4），因为（1，0）在x轴上，所以抛物线一定经过非坐标轴上一点P，P的坐标为(3,4)（3） 设A,B的坐标为,则因为,所以,所以2AB因为,所以,所以,所以当时，有最大值，最大值为