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1、抛物线与不等式一选择题1（2014南宁）如图，已知二次函数y=x2+2x，当1xa时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（）Aa1B1a1Ca0D1a2 (1) (2) (3)2（2014黄石）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，则函数值y0时，x的取值范围是（）Ax1Bx3C1x3Dx1或x33（2014义乌市）如图是二次函数y=x2+2x+4的图象，使y1成立的x的取值范围是（）A1x3Bx1Cx1Dx1或x34（2013槐荫区二模）如图，直线y=x与抛物线y=x2x3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线PQx轴，交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，
2、则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是（）Ax1或xBx1或x 3Cx1或x3Dx1或1x3 (4) (5) （6）5（2012石家庄二模）如图，一次函数y1=mx+n（m0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的图象相交于两点A（1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1y2成立的x的取值范围（）A1x9B1x9C1x9Dx1或x9二解答题6（2013香洲区二模）先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题例题：解一元二次不等式x23x+20解：令y=x23x+2，画出y=x23x+2如图所示，由图象可知：当x1或x2时，y0所以一元二次不等式x23x+20的解集为x1或x
3、2填空：（1）x23x+20的解集为_；（2）x210的解集为_；用类似的方法解一元二次不等式x25x+607（2010淮北模拟）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+cx+m的解集（直接写出答案）8（2005滨州）（）请将下表补充完整；判别式=b24ac0=00二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根有两个不相等的实数根x1=，x2=，（x1x2）有两个相等的实数根x1=x2=无实数根使y0的x的取值范围xx1或xx2不等式ax2+bx+c0（a0
4、）的解集x不等式ax2+bx+c0（a0）的解集（）利用你在填上表时获得的结论，解不等式x22x+30；（）利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；（）试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）时的解题步骤9已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数且a0）满足条件：对任意实数x都有y2x；且当0x2时，总有y成立（1）求a+b+c的值；（2）求ab+c的取值范围10已知函数y=x22x3的图象，根据图象回答下列问题（1）当x取何值时y=0（2）方程x22x3=0的解是什么？（3）当x取何值时，y0？当x取何值时，y0？（
5、4）不等式x22x30的解集是什么？11（2008株洲）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x2的图象为l1（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l2，如图2，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标；（3）设P为y轴上一点，且SABC=SABP，求点P的坐标；（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q，使QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由
6、12把抛物线y=x2向右、向下平移，使它经过点A（1，0）且与x轴的另一个交点B在A的右侧，与y轴交于点C，如图所示（1）求ABC的度数；（2）设D是平移后抛物线的顶点，若BDBC，试确定平移的方法13把抛物线y=2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，问所得的抛物线与x轴有没有交点，若有，求出交点坐标；若没有，说明理由14（2014南安市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒将线段CP的中点绕点
7、P按顺时针方向旋转90得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）求t为何值时，DPA的面积最大，最大为多少？（3）在点P从O向A运动的过程中，DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值若不能，请说明理由；（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长15如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=4厘米，BC=8厘米，在等腰PQR中，QPR=120，底边QR=12厘米，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合如果等腰PQR以2厘米/秒的速度沿直线l按箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为S平方厘米
8、（1）当t=2时，求S的值；（2）当6t10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值16如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8当F运动到什么位置时，AEF的面积最小，最小为多少？抛物线与不等式参考答案与试题解析1B 2D 3D 4D 5A 二解答题6解：（1）解x23x+2=0得x1=1，x2=2，所以，不等式x23x+20的解集为1x2；（2）解x21=0得，x1=1，x2=1，所以，不等式x210的解集为x1或x1；令y=x25x+6，解x25x+6=0得，x1=6，x2=1，所以一元二次不等式x25x+60的解集为6x1故答案为：（1）
9、1x2；（2）x1或x17解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，m=1，b=3，c=2，所以y=x1，y=x23x+2；（2）x23x+2x1，解得：x1或x38解：（）判别式=b24ac0=00二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根使y0的x的取值范围x全体实数不等式ax2+bx+c0（a0）的解集xx1或xx2全体实数不等式ax2+bx+c0（a0）的解集x1xx2无解无解（）由原不等式，得x2+2x30，=4+120，解方程x2+2x3=0，得不相等的两个实数根分别为x1=3
10、，x2=1，a=10，原不等式的解集为：x3或x1；（若画出函数y=x2+2x3的图象，并标出与x轴的交点坐标而得解集的，同样可以）（）如x2+x+10等，（只要写出满足要求的一个一元二次不等式即可）；（）（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求方程ax2+bx+c=0的实数根；（4）写出一元二次不等式的解集9解：（1）由题意可知对任意实数x都有y2x，当x=1时，y2；且当0x2时，总有y成立，故当x=1，y2，当x=1时，y=2，故二次函数y=ax2+bx+c经过（1，2）点，a+b+c=2；（2）ax2+bx+c2x，ax2+（b2）x+c0，由（1）知b=2ac，代入
11、得=（a+c）24ac0，（ac）20，所以c=a，b=22a再列得ax2+bx+c（x+1）2，把c=a，b=22a代入可得 （a）x22（a）x+a0，（a）（x1）20， 因为0x2，（x1）0，故a根据图象法可得此抛物线要永远在y=2x这条一次函数上方满足a0综上所述，a的取值范围是0a，ab+c=4a2，把a的取值范围代入可得2ab+c010解：（1）由图象知，函数y=x22x3与x轴的交点为（1，0），（3，0），所以当x=1或3时，y=0；（2）由图象知，x22x3=0的解为x1=1，x2=3；（3）由图象知，当1x3时，y0，当x1或x3时，y0；（4）不等式x22x30的解集
12、为1x311解：（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c=1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c8，依此两个要求，随便找一个数即可故平移后的抛物线的一个解析式y=x2+2x3或y=x2+4x5等（满足条件即可）；（2）设l2的解析式为y=x2+bx+c，联立方程组，解得：，则l2的解析式为y=x2+x点C的坐标为（）（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=得：SABC=S梯形ABEDS梯形BCFES梯形ACFD=延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=x，则点G的坐标为（0，），
13、设点P的坐标为（0，h），当点P位于点G的下方时，连接AP、BP，则SABP=SBPGSAPG=h，又SABC=SABP=，得，点P的坐标为（0，）当点P位于点G的上方时，同理，点P的坐标为（0，）综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，）（4）作图痕迹如答图2所示若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4，由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置12解：（1）设B（a，0），（a1），则平移后抛物线解析式为y=（x1）（xa）=x2（a+1）x+a
14、，抛物线与y轴的交点坐标C（0，a），即OB=OC=a，ABC=45；（2）根据题意，得|AB|=a1，ABD=CBDABC=45，D点坐标为（1+，），即（，），代入抛物线y=（x1）（xa）中，得（1）（a）=，解得a=3，D（2，1），故抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线13解：所得的抛物线与x轴有交点y=2x2+4x+1=2（x1）2+3，平移后的解析式是：y=2（x+1）2令y=0，得2（x+1）2=0，x1=x2=1交点坐标为（1，0）14解：（1）点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，OP=t，而OC=2，P（t，0），设CP的
15、中点为F，则F点的坐标为（，1），将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90得点D，其坐标为（t+1，）；（2）D点坐标为（t+1，），OA=4，SDPA=AP=（4t）=（4tt2）=（t2）2+1，当t=2时，S最大=1；（3）能构成直角三角形当PDA=90时，PCAD，由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，即（）2+1+（4t1）2+（）2=（4t）2，解得，t=2或t=6（舍去）t=2秒当PAD=90时，此时点D在AB上，可知，COPPAD，=，=，PA=1，即t+1=4，t=3秒综上，可知当t为2秒或3秒时，DPA能成为直角三角形（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2，
16、点D运动路线的长为215解：（1）由题意得：当t=2时，Q点远动到BC中点处，如图所示，此时三角形与梯形的重合部分为MQC，其中点M为PQ与CD的交点，易知QC=4，PQC=30，QCM=60，QMC=90，在RtQMC中，有MC=2，QM=2，可以SMQC=QMMC=22=2（cm 2）；（2）当t=6时，点R运动到点C处，点P运动到点A处，因此当6t10时，点P在点A及其左侧，如图所示，点F为AB与PR的交点，PQR与梯形ABCD的重合部分为MQC，由于FBR=60，FRB=30，FBR为Rt，RC=2t12，BR=BCRC=8（2t12）=202t=2（10t），FB=BR=10t，FR=（10t），故SFBR=FBFR=（10t）2，即S与t的函数关系式为：S=（10t）2，（6t10），当t=6时，S取到最大值且最大值为：S=8（cm 2）16解：在矩形ABCD中，B（16，12），EC+CF=8；则AB=OC=16，BC=OA=12；设CF=x，则EC=8x；SAEF=SABCOSAOESABFSECF=OAOCOEOAABBFCECF=121616（8x）1216（12x）x（8x）=x22x+48=（x2）2+46；因此，当x=2时，SAEF取得最小值46故当F运动到CF为2时，AEF的面积最小，最小为46
