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1、二次函数y=a（x-h)2+k(a0)的图象与性质知识讲解（提高）责编：常春芳 【学习目标】1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a0)的图象掌握抛物线与图象之间的关系；2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法【要点梳理】要点一、函数与函数的图象与性质1.函数的图象与性质 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2.函数的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称
2、轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质运用数形结合、函数、方程思想解决问题要点二、二次函数的平移1.平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”要点诠释：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【典型例
3、题】类型一、二次函数图象及性质1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线 (1)求出a、h、k的值； (2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?【答案与解析】 (1) 抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ，(2)函数与的图象如图所示(3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x增大而减小，当x1时，函数y有最大值是2 (4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值
4、y2【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题举一反三：【高清课程名称：二次函数专题 第二讲：函数与函数的图象与性质高清ID号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习3】【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象（1）试确定a、h、k的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x1时，y随x的增大而减小； 当x1时，y随x的增大而增大.2. 已知函数，则使y=k成立的x
5、值恰好有三个，则k的值为（ ）A0 B1C2D3【答案】D；【解析】函数 的图象如图：，根据图象知道当y=3时，对应成立的x恰好有三个，k=3故选D【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题类型二、二次函数性质的综合应用3.（2014秋滨海县期末）已知：二次函数y=x24x+3（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求出该抛物线与x轴的交点坐标；（3）当x取何值时，y0【解析】解：（1）y=x24x+3，y=（x2）21，对称轴为：直线x=2，顶点（2，1）；（2）令y=0，则，x24x+3=0，（x1）（x3）
6、=0，x1=1，x2=3，与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；（3）当1x3时，y0【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便举一反三：【变式】（2014秋岑溪市期末）已知抛物线y=2（x1）28（1）直接写出它的顶点坐标：，对称轴：；（2）x取何值时，y随x增大而增大？【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x1）28的顶点坐标为（1，8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，8），直线x=1；（2）当x1时，y随x增大而增大4. 如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物
7、线于另一点B (1)求直线AC的解析式； (2)求ABC的面积； (3)当自变量x满足什么条件时，有?【答案与解析】 (1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x0，得， 由待定系数法可求出， (2) 抛物线的对称轴为x-1，根据抛物线对称性知 (3)根据图象知或时，有【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围
