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1、圆压轴题综合培优训练1如图，以RtABC的直角边AB为直径的O交斜边AC于点D，过点D作O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H（1）求证：E为BC的中点；（2）若O的面积为12，两个三角形AHD和BMH的外接圆面积之比为3，求DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比2如图，在ABC中，CACB，E是边BC上一点，以AE为直径的O经过点C，并交AB于点D，连结ED（1）判断BDE的形状并证明（2）连结CO并延长交AB于点F，若BECE3，求AF的长3如图，点O为RtABC斜边AB上的一点，以OA为半径的O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD（1）求证：AD平分B
2、AC；（2）若BAC60，OA2，求阴影部分的面积（结果保留）4如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D，CEAD，交AD的延长线于点E（1）求证：BDCA；（2）若CE2，DE2，求AD的长（3）在（2）的条件下，求弧BD的长5如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，连接AD过点D作DEAC，垂足为点E（1）求证：DE是O的切线；（2）当O半径为3，CE2时，求BD长6如图，已知O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DFDA，AEBC交CF于E（1）求证：EA是O的切线；（2）求证：BDCF7如图，AH是圆O的直径
3、，AE平分FAH，交O于点E，过点E的直线FGAF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上（1）求证：直线FG是O的切线；（2）若AD8，EB5，求O的直径8如图，AB是O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为点M，连接并延长CO交O于点E，分别连接DE，BE，DB，其中EDB30，CDE的平分线DN交CE于点G，交O于点N，延长CE至点F，使FGFD（1）求证：DF是O的切线；（2）若O半径r为8，求线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积9如图，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，交BC于点F，ABC的平分线交AD于点E（1）求证：DEDB：（2）若B
4、AC90，BD4，求ABC外接圆的半径；（3）若BD6，DF4，求AD的长10在O中，弦AB与弦CD相交于点G，OACD于点E，过点B作O的切线BF交CD的延长线于点F（I）如图，若F50，求BGF的大小；（II）如图，连接BD，AC，若F36，ACBF，求BDG的大小11如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交圆O于点F，且CECB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF，BF，求ABF的度数；（3）如果OA3，求AEAB的值12RtABC中，ACB90，AC：BC4：3，O是BC上一点，O交AB于点D，交BC延长线于点E连接ED，交AC于点G，且AGAD
5、（1）求证：AB与O相切；（2）设O与AC的延长线交于点F，连接EF，若EFAB，且EF5，求BD的长13RtABC中，ABC90，以AB为直径作O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD（）如图，求ODE的大小；（）如图，连接OC交DE于点F，若OFCF，求A的大小14如图，已知圆O是ABC的外接圆，AB是圆O的直径，C是圆上的一点，D是AB延长线上的一点，AECD交DC的延长线于点E，且AC平分EAB（1）求证：DE是圆O的切线（2）若AB6，AE4.8，求BD和BC的长15已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上（1）如图1，MA6，MB8，NO
6、B60，求NB的长；（2）如图2，过点M作MCAB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究MCP、NAB、MBA之间的数量关系，并证明 参考答案一解答题1解：（1）连接BD、OE，AB是直径，则ADB90ADO+ODB，DE是切线，ODE90EDB+BDO，EDBADOCAB，ABC90，即BC是圆的切线，DBCCAB，EDBEBD，则BDC90，E为BC的中点；（2）AHD和BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，AD：BM，而ADHMBH，DH：BH，则DHHM，HM：BH，BMH30BAC，C60，E是直角三角形的中线，DECE，DEC为等边
7、三角形，O的面积：12（AB）2，则AB4，CAB30，BD2，BC4，AC8，而OEAC4，四边形OBED的外接圆面积S2（2）24，等边三角形DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：2（1）证明：BDE是等腰直角三角形AE是O的直径ACBADE90，BDE1809090CACB，B45，BDE是等腰直角三角形 （2）过点F作FGAC于点G，则AFG是等腰直角三角形，且AGFGOAOC，EACFCGBECE3，ACBC2CE6，tanFCGtanEACCG2FG2AGFGAG2，AF23【解答】（1）证明：O切BC于D，O
8、DBC，ACBC，ACOD，CADADO，OAOD，OADADO，OADCAD，即AD平分CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接EDBAC60，OAOE，AEO是等边三角形，AEOA，AOE60，AEAOOD，又由（1）知，ACOD即AEOD，四边形AEDO是菱形，则AEMDMO，EOD60，SAEMSDMO，S阴影S扇形EOD4（1）证明：连接OD，CD是O切线，ODC90，即ODB+BDC90，AB为O的直径，ADB90，即ODB+ADO90，BDCADO，OAOD，ADOA，BDCA；（2）CEAE，EADB90，DBEC，DCEBDC，BDCA，ADCE，EE，AECCED，EC2D
9、EAE，（2）22（2+AD），AD4（3）直角CDE中，tanDCE，DCE30，又AECCED，ADCE30，DOB2A60，BDADtanA4，OBD是等边三角形，则ODBD，则弧BD的长是5（1）证明：连接OD，如图，AB为0的直径，ADB90，ADBC，ABAC，AD平分BC，即DBDC，OAOB，OD为ABC的中位线，ODAC，DEAC，ODDE，DE是0的切线；（2）证明：BC，CEDBDA90，DECADB，BDCDABCE，BDCD，BD2ABCE，O半径为3，CE2，BD26证明：（1）连接OA，O是等边三角形ABC的外接圆，OAC30，BCA60，AEBC，EACBCA6
10、0，OAEOAC+EAC30+6090，AE是O的切线；（2）ABC是等边三角形，ABAC，BACABC60，A、B、C、D四点共圆，ADFABC60，ADDF，ADF是等边三角形，ADAF，DAF60，BAC+CADDAF+CAD，即BADCAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BDCF7解：（1）如图1，连接OE，OAOE，EAOAEO，AE平分FAH，EAOFAE，FAEAEO，AFOE，AFE+OEF180，AFGF，AFEOEF90，OEGF，点E在圆上，OE是半径，GF是O的切线（2）设ABx，四边形ABCD是矩形，ABCDx，BCAD8，CEBCBE3，AE是BAF的角平分线，
11、BEAB，EFAF，EFBE5，在RtCEF中，根据勾股定理得，CF4，DFCDCFx4，在RtABE和RtAFE中，RtABERtAFE（HL），AFABx，在RtADF中，x2（x4）264，x10，AB10，设O的半径为r，OB10r，在RtBOE中，r2（10r）225，r，O的直径为8（1）证明：连接OD，CD垂直平分OA，OMOAOD，ODC30，CE为O的直径，CDE90，DN平分CDE，CDN45，ODN453015，ODOC，DCOODC30，FGD45+3075，FDFG，FDGFGD75，ODFODN+FDG15+7590，DF是O的切线；（2）解：EDB30，EOB60
12、，RtCDE中，DEC60，DECEOB60，DEAB，SDOESODE，S阴影S扇形ODE；答：线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积是，9（1）证明：AD平分BAC，BE平分ABD，12，34，BED1+32+45+4DBE，DBDE；（2）解：连接CD，如图，BAC90，BC为直径，BDC90，12，DBBC，DBC为等腰直角三角形，BCBD4，ABC外接圆的半径为2；（3）解：521，FDBBDA，DBFADB，即，AD910解：（I）如图，连接OB，BF为O的切线，OBBF，OBF90，OACD，OED90，AOB180F18050130，OAOB，1A（180130）25，
13、290165，BGF1802F180655065；（II）如图，连接OB，BO的延长线交AC于H，BF为O的切线，OBBF，ACBF，BHAC，与（）方法可得到AOB180F18036144，OAOB，OBAOAB（180144）18，AOBOHA+OAH，OAH1449054，BACOAH+OAB54+1872，BDGBAC7211（1）证明：连接OBCDOA，ADE90，DAE+AED90，OAOB，AOBA，CECB，CBECEBAED，ABO+CBE90，OBC90，OBBC（2）解：连接OFADOD，FDOA，FAFOAO，AOF是等边三角形，AOF60，ABFAOF30（3）解：延
14、长AO交O于H，连接BHAH是直径，ABHADE90，DAEHAB，DAEBAH，AEABADAH6912（1）证明：连结OD，ACB90，OED+EGC90，ODOE，ODEOED，AGAD，ADGAGD，AGDEGC，OED+EGCADG+ODEADO90，ODAB，OD为半径，AB是O的切线；（2）解：连接OF，EFAB，AC：BC4：3，CF：CE4：3，又EF5，CF4，CE3，设半径r，则OFr，CF4，COr3在RtOCF中，由勾股定理，可得r，EFAB，CEFB，ECFODB90，CEFDBO，BD13证明：（）连接OE，BD，AB是O的直径，ADB90，CDB90，E点是BC
15、的中点，DEBCBE，ODOB，OEOE，ODEOBE，ODEOBE，ABC90，ODE90；（）CFOF，CEEB，FE是COB的中位线，FEOB，AODODE，由（）得ODE90，AOD90，OAOD，AADO14解：（1）如图，连接OC，AC平分EAB，EACBAC；又在圆中OAOC，ACOBAC，EACACO，OCAE，由AEDC知OCDC，DE是O的切线（2）DD，EOCD90，DCODEA，BD2；RtEACRtCAB，AC2，由勾股定理得：BC15解：（1）如图1，AB是半圆O的直径，M90，在RtAMB中，AB，AB10OB5，OBON，又NOB60，NOB是等边三角形，NBO
16、B5（2）结论：MCP+MBA+NAB90理由：方法一：如图2中，画O，延长MC交O于点Q，连接NQ，NBMCAB，又OMOQ，MCCQ，即 C是MQ的中点，又P是MQ的中点，CP是MQN的中位线，CPQN，MCPMQN，MQNMON，MBNMON，MQNMBN，MCPMBN，AB是直径，ANB90，在ANB中，NBA+NAB90，MBN+MBA+NAB90，即MCP+MBA+NAB90方法二：如图21中，连接MO，OP，NO，BNP是MN中点，又OMON，OPMN，且MOPMON，MCAB，MCOMPO90，设OM的中点为Q，则 QMQOQCQP，点C，P在以OM为直径的圆上，在该圆中，MCPMOPMQP，又MOPMON，MCPMON，在半圆O中，NBMMON，MCPNBM，AB是直径，ANB90，在ANB中，NBA+NAB90，NBM+MBA+NAB90，即MCP+MBA+NAB90
