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1、平行四边形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念 , 了解它们之间的关系并能运用这2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法 些知识进行有关的证明和计算 .3. 掌握三角形中位线定理 .【知识网络】【要点梳理】 要点一、平行四边形1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .2性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形 .3面积：S平行四边形底 高4判定： 边：（ 1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且
2、相等的四边形是平行四边形角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（ 7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释： 平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；2）四个角都是直角；3）对角线互相平分且相等；4）中心对称图形，轴对称图形3面积： S矩形 长 宽判定：（ 1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 .（ 2）对角线相等的平行四
3、边形是矩形 .（ 3）有三个角是直角的四边形是矩形 . 要点诠释： 由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中， 30 度角所对应的直角边等于斜边的一半 要点三、菱形对角线 对角线1. 定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .2性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（ 2）四条边相等；（ 3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（ 4）中心对称图形，轴对称图形 .3面积： S菱形 底 高4判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （ 2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （ 3）四边相等的四边形是菱形 .要点四、正方
4、形1. 定义： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形2性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（ 5） 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（ 6）中心对称图形，轴对称图形 .13面积： S正方形 = 边长边长 对角线对角线24判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（ 2）一组邻边相等的矩形是正方形；（ 3）对角线相等的菱形是正方形；（ 4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（ 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（ 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形典型例题】 类型一、平行四
5、边形1、（2015?海淀区二模）如图1，在 ABC中， AB=AC， ABC=，D 是 BC边上一点，以 AD为边作 ADE，使 AE=AD， DAE+BAC=180 1）直接写出 ADE的度数（用含 的式子表示） ；2）以 AB， AE为边作平行四边形 ABFE，如图 2，若点 F 恰好落在 DE上，求证： BD=CD；如图 3，若点 F 恰好落在 BC上，求证： BD=CF【思路点拨】（ 1）由在 ABC中，AB=AC，ABC=，可求得 BAC=180 2， 又由 AE=AD， DAE+BAC=180 ，可求得 DAE=2，继而求得 ADE 的度数；（2）由四边形 ABFE是平行四边形，易
6、得 EDC=ABC=，则可得 ADC=ADE+EDC=90 ， 证得 ADBC， 又由 AB=AC，根据三线合一的性质， 即可证得结论； 由在ABC中，AB=AC，ABC=，可得B=C=，四边形 ABFE是平行四边形，可得 AEBF， AE=BF即可证得： EAC=C=，又由（ 1）可证得 AD=CD，又由 AD=AE=B，F 证得结论【答案与解析】解：（1）在 ABC中， AB=AC， ABC=，BAC=180 2， DAE+BAC=180 ，DAE=2，AE=AD， ADE=90；（2）证明：四边形 ABFE是平行四边形，ABEFEDC=ABC=，由（ 1）知， ADE=90， ADC=A
7、DE+EDC=90 ，ADBCAB=AC，BD=C；D证明： AB=AC， ABC=， C= B=四边形 ABFE是平行四边形，AEBF， AE=BFEAC=C=，由（ 1）知， DAE=2， DAC=，DAC=CAD=CDAD=AE=B，FBF=CDBD=CF总结升华】 此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定注意（ 2）中证得 ADBC 是关键，（2）中证得 AD=CD是关键举一反三：【变式】已知 ABC中， AB3，AC4，BC5，分别以 AB、AC、 BC为一边在 BC边同侧作 正 ABD、正 ACE和正 BCF，求以 A、 E、 F、D四点为顶点围成的四边形的面积【
8、答案】证明： AB3， AC4， BC5， BAC 90 ABD、 ACE和 BCF为正三角形， ABBDAD，ACAECE，BCBFFC , 1 FBA 2 FBA 60 1 2易证 BAC BDF（ SAS）， DFACAE4， BDF 90 同理可证 BAC FECABAD EF3四边形 AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）DFAE， DFBD延长 EA交 BD于 H点， AHBD，则 H为 BD中点3平行四边形 AEFD的面积 DF DH 4 6.2类型二、矩形2、如图， O是矩形 ABCD的对角线的交点， E、F、G、H分别是 OA、OB、OC、OD上的点，
9、且 AEBFCG DH（ 1）求证：四边形 EFGH是矩形；（2）若 E、 F、G、 H分别是 OA、OB、OC、OD的中点，且 DGAC， OF 2 cm ，求矩形 ABCD的面积答案与解析】1）证明：四边形 ABCD是矩形，OA 0B OCOD，AE BF CGDH，AO AEOBBFCOCGDODH， 即： OE OF OGOH， 四边形 EFGH是矩形；2）解：G 是 OC的中点，GO GC，DGAC， DGODGC90， 又 DG DG， DGCDGO，CD OD，F是 BO中点， OF 2 cm ，BO 4cm ，四边形 ABCD是矩形，DO BO4 cm ，DC 4cm ，DB8
10、cm ，CB DB2 DC2 4 3 ， 矩形 ABCD的面积 4 4 3 16 3cm2 【总结升华】 本题主要考查矩形的判定， 首先要判定四边形是平行四边形， 然后证明对角线 相等举一反三：【变式】（2015秋?抚州校级期中） 在平行四边形 ABCD中，过点 D作 DEAB于点 E，点 F 在 边 CD上， DF=BE， 连接 AF， BF（1）求证：四边形 BFDE是矩形；（2）若 CF=9，BF=12，DF=15，求证： AF平分 DAB答案】 证明：（ 1）四边形 ABCD为平行四边形， DCAB，即 DFBE， 又DF=BE，四边形 DEBF为平行四边形， 又DEAB， DEB=9
11、0，四边形 DEBF为矩形；2）四边形 DEBF为矩形， BFC=90， CF=9， BF=12，BC=15，AD=BC=1，5AD=DF=1，5DAF=DFA，ABCD，FAB=DFA，FAB=DFA，AF 平分 DAB3、在 RtABC中，ACB=90，BC=4过点 A作 AEAB 且 AB=AE，过点 E分别作 EFAC， EDBC，分别交 AC和 BC的延长线与点 F， D若 FC=5，求四边形 ABDE的周长【思路点拨】 首先证明 ABC EAF，即可得出 长，进而得出四边形 EFCD是矩形，求出四边形 【答案与解析】解： ACB=90， AEAB， 1+B=1+2=90B=2EFA
12、C，4=5=903=4 在ABC和EAF中，BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出 AB 的ABDE的周长即可342 B ， AB AE ABC EAF（ AAS） BC=AF， AC=EF BC=4， AF=4FC=5，AC=EF=9在 Rt ABC中， AB= CB2 AC242 9297 . AE= 97 EDBC， 7=6=5=90 四边形 EFCD是矩形CD=EF=，9 ED=FC=5四边形 ABDE的周长 =AB+BD+DE+EA=97 +4+9+5+ 97 =18+2 97 【总结升华】 此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识， 根据已知得出 AC
13、=EF=9是解题关键类型三、菱形4、如图，平行四边形 ABCD中，ABAC，AB1，BC 5对角线 AC，BD 相交于点 O，将直线 AC绕点 O顺时针旋转，分别交 BC， AD于点 E，F.（ 1）证明：当旋转角为 90时，四边形 ABEF是平行四边形；（ 2）试说明在旋转过程中，线段AF 与 EC总保持相等；（ 3）在旋转过程中，四边形 BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能， 说明理由并求出此时 AC绕点 O 顺时针旋转的度数【思路点拨】 （1）当旋转角为 90时， AOF=90，由 ABAC，可得 ABEF，即可证明 四边形 ABEF为平行四边形； （2）证明 AOFCOE
14、即可；（3）当 EFBD时，四边形 BEDF 为菱形，又由 ABAC，AB=1，BC= 5，易求得 OA=AB，即可得 AOB=45 ， 求得 AOF=45， 则可得此时 AC绕点 O 顺时针旋转的最小度数为 45【答案与解析】（1）证明：当 AOF 90时， AB EF，又 AF BE，四边形 ABEF为平行四边形2）证明： Q 四边形 ABCD为平行四边形， AOCO， FAO ECO， AOF COE. AOF COEAFCE3）四边形 BEDF可以是菱形理由：如图，连接 BF， DE，由（ 2）知 AOF COE，得 OEOF， EF与 BD互相平分当 EF BD时，四边形 BEDF为
15、菱形在 RtABC中， AC5 1 2 ，OA 1 AB，又 AB AC， AOB45 AOF 45， AC绕点 O顺时针旋转 45时，四边形 BEDF为菱形【总结升华】 要证明四边形是菱形， 先证明这个四边形是平行四边形， 再利用对角线互相垂 直的特征证明该平行四边形是菱形 .举一反三：变式】已知 : 如图所示， BD是 ABC的角平分线， EF是 BD的垂直平分线，且交 AB于 E， 交 BC于点 F.求证 : 四边形 BFDE是菱形 .【答案】证明： EF是 BD的垂直平分线，EB=ED， EBD= EDB.又 EBD= FBD， FBD= EDB， ED BF. 同理， DFBE，四边
16、形 BFDE是平行四边形 .又 EB=ED，四边形 BFDE是菱形 .5、在口 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，BD=2AB，点 E、F 分别是 OA、BC的中点 连接 BE、 EF1）求证： EF=BF；2）在上述条件下，若AC=BD， G是 BD上一点，且 BG：GD=3：1，连接 EG、FG，试判断四边形 EBFG的形状，并证明你的结论【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出 BD=2BO，推出 AB=BO，根据三线合一定理得出 BEAC，在 BEC 中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；（2）根据矩形性质和已知求出1G为 OD中点，根据三角形中位线求出
17、EGAD， EG= BC，求21出 EG BC， EG= BC，求出 BF=EG， BF EG， EG=G，F 得出平行四边形，根据菱形的判定推 2出即可【答案与解析】1）证明：四边形 ABCD是平行四边形，BD=2BO， BD=2AB， AB=BO， E为 OA中点，BEAC， BEC=90， F为 BC中点， EF=BF=C，F 即 EF=BF；（2）四边形 EBFG是菱形， 证明：连接 CG， 四边形 ABCD是平行四边形， 四边形 ABCD是矩形，AD=BC， AB=CD，ADBC， BD=2BO=2O，D BD=2AB=2C，DOC=C，DBG： GD=3： 1， OB=OD， G为
18、 OD中点， CGOD（三线合一定理）， 即 CGB=90 ，F为 BC中点，11GF= BC= AD，22E为 OA中点， G为 OD中点，1EGAD， EG= AD，21EGBC， EG= BC，2F为 BC中点，1BF= BC， EG=GF，2 即 EG BF， EG=BF， 四边形 EBFG是平行四边形， EG=G，F平行四边形 EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）【总结升华】 本题考查了平行四边形的性质和判定， 矩形性质， 菱形性质， 三角形的中位线， 直角三角形斜边上中线性质， 等腰三角形的性质等知识点， 主要考查学生综合运用定理进行 推理的能力，注意：直角三角形斜边
19、上中线等于斜边的一半类型四、正方形、正方形 ABCD的边长为 3，E、F 分别是 AB、BC边上的点，且 EDF 45将 DAE绕点 D 逆时针旋转 90，得到 DCM1）求证： EF FM；【答案与解析】 解：（ 1）证明： DAE 逆时针旋转 90得到 DCM，DE DM，EDM90， EDFFDM90， EDF45， FDM EDF45， 在DEF和DMF中，DE DM ，EDF MDFDF DF DEF DMF（ SAS），EF MF；（2）设 EF MF x ， AE CM1，且 BC 3， BM BC CM3 1 4， BFBMMFBMEF4 x ， EB AB AE3 1 2，
20、在 RtEBF中，由勾股定理得 EB2BF2 EF2， 即 22 4 x 2 x2 ，55 解得： x，则 EF 22【总结升华】 此题考查了正方形的性质，旋转的性质， 全等三角形的判定与性质，以及勾股 定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键举一反三：【变式】如图（ 1），正方形 ABCD和正方形 CEFG有一公共顶点 C，且 B、C、E 在一直线上， 连接 BG、 DE（1）请你猜测 BG、 DE的位置关系和数量关系？并说明理由（2）若正方形 CEFG绕 C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2）， BG和 DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由答案】解： (1)BGDE， BGDE；理由是：延长 BG交 DE于点 H， 因为 BC DC， CG CE， BCG DCE 所以 BCG DCE，所以 BG DE， GBC CDE 由于 CDE CED 90， 所以 GBC DEC90， 得 BHE90 所以 BG DE.(2) 上述结论也存在 理由：设 BG交 DE 于 H，BG交 DC于 K， 同理可证 BCG DCE， 得 BG ED， KBC KDH 又因为 KBC BKC 90， 可得 DKH KDH90，从而得 KHD 90所以 BG DE.
