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1、直线与圆的方程的应用学习目标1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；3.会用“数形结合”的数学思想解决问题知识点坐标法解决几何问题的步骤用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.类型一直线与圆的方程的应用例1某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系依题意，有A(1
2、0,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(5,0)，E(5,0)设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2，于是有解此方程组，得a0，b10.5，r14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1.由于船在水面以上高3 m,33.1，所以该船可以从桥下通过反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤：(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去跟踪训练1如图，一座圆拱桥
3、的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为_米答案2解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程设为x2(yr)2r2，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，2)，将A(6，2)代入圆的方程，得r10，圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1米后，可设点A(x0，3)(x00)，将A(x0，3)代入圆的方程，得x0，当水面下降1米后，水面宽为2x02米类型二坐标法证明几何问题例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，
4、求证：EF平分CD.证明以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设|AB|2r，D(a,0)，则|CD|，C(a，)，圆O：x2y2r2，圆C：(xa)2(y)2r2a2.两方程作差得直线EF的方程为2ax2yr2a2.令xa，得y，H(a，)，即H为CD中点，EF平分CD.反思与感悟(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题通过代数运算，解决代数问题把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论(2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为
5、坐标轴常选特殊点作为直角坐标系的原点尽量使已知点位于坐标轴上建立适当的直角坐标系，会简化运算过程跟踪训练2如图，直角ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值证明如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(m,0)，C(m,0)，P(n,0)，Q(n,0)设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)类型三直线与圆位置关系的应用例3一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预
6、报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域(如图)已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，所以轮船航线所在直线方程为1，即x2y60，台风区域边界所在圆的方程为x2y24.由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离d2.所以直线x2y60与圆x2y24相离，因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响反思与感悟针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将
7、实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题跟踪训练3设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为31，问A、B两人在何处相遇？解由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立直角坐标系，如图，设A、B两人的速度分别为3v km/h，v km/h，设A出发a h，在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q，则P(3av,0)，Q(0，(ab)v)，则|PQ|3bv，|OP|3av，|OQ|(ab)v.在RtOPQ中，|PQ|2|OP|2
8、|OQ|2得5a4b.kPQ，kPQ.设直线PQ的方程为yxm，由PQ与圆x2y29相切，得3，解得m，故A、B两人相遇在正北方离村落中心 km处.1一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A1.4 m B3.5 m C3.6 m D2.0 m答案B解析如图，圆半径|OA|3.6，卡车宽1.6，所以|AB|0.8，所以弦心距|OB|3.5(m)2据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响从现在起经过约_h，台风将影响A城
9、，持续时间约为_h(结果精确到0.1 h)答案2.06.6解析以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是yx，受台风影响的区域边界的曲线方程是(xa)2(ya)22502.依题意有(300a)2a22502，解得15025a15025，t12.0，t6.6，从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.3设村庄外围所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，则从村庄外围到小路的最短距离为_答案2解析由圆心(2，3)到直线xy20距离为，则从村庄外围到小路的最短距离为2.4已知集合A(x，y)|xym0，集合B
10、(x，y)|x2y21若AB，则实数m的取值范围是_答案m1，故m.1利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识2利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题一、选择题1方程xk有惟一解，则实数k的取值范围是()Ak Bk(，)Ck1,1) Dk或1
11、k1答案D解析由题意知，直线yxk与半圆x2y21(y0)只有一个交点，结合图形(图略)易得1k0)，它表示的图形是圆x2y29在x轴之上的部分(如图所示)结合图形不难求得，当30)有公共点10过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_答案xy20解析由题意知点P(1,1)在圆x2y24内，则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O和P(1,1)连线垂直，该直线斜率为1，由点斜式方程得y1(x1)，即xy20.三、解答题11.如图所示，已知P(4,0)是圆x2y236内的一点，A，B是圆上
12、两动点，且满足APB90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程解设AB的中点为R，坐标为(x，y)，连接OR，PR，则在RtABP中，|AR|PR|.又R是弦AB的中点，所以在RtOAR中，|AR|2|AO|2|OR|236(x2y2)又|AR|PR|，所以有(x4)2y236(x2y2)，即x2y24x100.因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的轨迹上运动设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，所以x1，y1，代入方程x2y24x100，得()2()24100，整理得x2y256，此即为所求顶点Q的轨迹方程12.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2y2252.直线AB方程：1，即3x4y1200.设O到AB距离为d，则d2425，所以外籍轮船能被海监船监测到设监测时间为t，则t(h)答外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.
