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1、抛物线定义的应用-教师版一.综述抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.抛物线的考题中,对抛物线定义的考查一直都是热点.凡已知条件中涉及到抛物线上点到焦点距离或到准线(或与准线平行的线)距离的都可以考虑利用定义进行转化,从而解决问题.以开口朝右的抛物线为例,设抛物线的焦点为F,准线为l,点为抛物线C上的动点.则有: 焦半径;过焦点的弦AB长为二.例题精讲 破解规律例1. 抛物线y2=2px，p0，F为抛物线的焦点，A,B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D(a,0)，a0，m=|AF|+BF.证明：a
2、是p,m的等差中项.分析:先化简m=AF+BF得到m=x1+x2+p,再根据线段AB的中垂线的性质得到x1+x2=2a-2p，把这两个式子结合起来即可证明a是p,m的等差中项.解析:设Ax1,y1,Bx2,y2，由抛物线定义知:|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p又AB中垂线交x轴于D(a,0)，故(x1-a)2+y12=(x2-a)2+y22(x1+x2-2a)(x1-x2)=y22-y12=2p(x2-x1)，因为x2x1，所以x1+x2-2a=-2p，x1+x2=2a-2p，故m=|AF|+|BF|=x1+x2+p=2a-p即a=m+p2，a是p,m的等差中项.点评
3、:由抛物线定义将m转化为AB的横坐标的表达式,再利用垂直平分线的性质得到另外一组表达式,化简后即可得到所证目标.规律总结: 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.现学现用1: 抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F，过F且倾斜角为60的直线为l，M-3,0，若抛物线C上存在一点N，使M,N关于直线l对称，则p=（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解析:M,N关于过F倾斜角为60的直线对称，MF=N
4、F，由抛物线定义知，NF 等于点N 到准线的距离，即NF=xN+p2，由于MF=p2-3 ，xN+p2=p2-3，xN=3，代入抛物线方程可得yN=-6p，kMN=-6p3-3=-33，解得p=2，故选A.例2. 过抛物线焦点的直线与该抛物线交于， 两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（ ）A. B. C. 4 D. 2分析:题目中给出AB是抛物线过焦点的弦, 可以考虑用抛物线的定义,将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化,从而解决问题.答案:B解析:如图所示，过弦中点作准线的垂线，做直线的垂线，过点作准线的垂线，由梯形中位线的性质结合抛物线的定义可得：
5、，则弦的中点到直线的距离等于.本题选择B选项.点评:如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题规律总结:关于抛物线的焦点弦问题,可以根据定义做出一个直角梯形,再结合几何性质解决问题现学现用2: 已知抛物线上有一条长为的动弦，则中点到轴的最短距离为_。解析:易知抛物线的准线方程为，设，且的中点为，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，则，由抛物线定义，得（当且仅当三点共线时取等号），即中点到轴的最短距离为.例3: 抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，准线为l，点A,B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=23.设线段AB的中点M在准线l上的投影为N，则MNAB
6、的最大值为（ ）分析:题目中给出点A,B为抛物线上的两个动点, AFB=23,根据图象可联系到余弦定理,并利用抛物线定义将FA,FB的长转化为到准线的距离.再结合均值不等式求最值.A. 33 B. 32 C. 3 D. 34答案A解析:设AF=a,BF=b ，如图，根据抛物线的定义，可知AF=AQ,BF=BP，再梯形ABPQ中，有MN=12a+b，ABF中，AB2=a2+b2-2abcos23=a2+b2+ab=a+b2-ab，又因为aba+b22，所以AB234a+b2AB32a+b ，所以MNAB12a+b32a+b=33，故最大值是33，故选A.点评:本题考查了抛物线的综合，抛物线的性质
7、中最重要的一条是抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，利用这条性质可以做出相应的图形，将边长进行转化，本题的另一个难点是利用余弦定理求AB，以及利用基本不等式转化为已知焦半径，突破这两点，本题就迎刃而解了.规律总结: 抛物线中的最值问题常可以结合定义找出所求量的几何意义,利用解三角形的知识结合均值不等式求出最值.也有些题利用两点间连线段最短,点到直线垂线段最短等几何最值.现学现用3: 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一个动点P到直线l1与l2的距离之和的最小值为（ ）A. 3716 B. 115 C. 3 D. 2解析:由题可知l2：x=-1是抛物
8、线y2=4x的准线设抛物线的焦点1，0为F，则动点P到直线l2的距离等于PF则动点P到直线l1与l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x-3y+6=0的距离最小值是4-0+65=2故选D三.课堂练习 强化技巧1. 已知动圆在运动过程中，其圆心到点与到直线的距离始终保持相等.求圆心的轨迹方程为_答案:解析:圆心到点与到直线的距离相等，圆心的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线，设其方程为，则，解得.圆心的轨迹方程为2. 直线与抛物线交于两点，若，则_答案:解析:由消去y整理得，直线与抛物线交于两点，解得设，则， 检验知满足条件3. 已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物
9、线的焦点，点P在抛物线上且满足PA=mPF，若m取最大值时，点P恰好在以A,F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. 3+1 B. 2+1 C. 5+12 D. 2+12答案:B解析:过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，|PA|=m|PB|， |PA|=m|PN| 1m=|PN|PA|，设PA的倾斜角为，则sin=1m，当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx1，代入x2=4y，可得x2=4（kx1），即x24kx+4=0，=16k216=0，k=1， P（2，1），双曲线的实轴长为PAPB=2（21）， 双曲线
10、的离心率为22(2-1)=2+1故选B四.课后作业 巩固内化1. 设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F，A(x1,2),B(x2,8)是C上两点，且x2x10，若|BF|=3|AF|，则x1+x2=A. 32 B. 6 C. 62 D. 8答案:C解析:3FA=FB,根据抛物线的定义，可得32+p2=8+p2，解得p=2，所以抛物线方程为x2=4y，将y1=2,y2=8代入方程，得x1=22,x2=42，x1+x2=62，故选C.2. 设是抛物线上的三点，若的重心恰好是该抛物线的焦点，则（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8答案:C解析:由题意可得F（1，0）是抛物线的焦点，也是三
11、角形ABC的重心，故 ，=3 再由抛物线的定义可得 =xA+1+xB+1+xC+1 =3+3=6，故选：C3. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则_答案:1解析:由可得焦点坐标为，准线方程为，设过点直线方程为代入抛物线方程，得，化简后为： ，设，则有，根据抛物线定义可知， ， ，故答案为.4. 已知动点满足，则点的轨迹为（ ）A. 直线 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆答案:B解析:把化为 ，由于点不在直线上，满足抛物线的定义，则点的轨迹为抛物线.5. 已知点是抛物线上的一点， 为抛物线的焦点， 在圆上，则的最小值为_答案:5解析:，即圆上的点到准线的最小距离。又准线方程为。
12、所以最小值为.6. 设Ax1,y1， Bx2,y2分别为曲线y=x上不同的两点， F14,0，若AF=2BF，且x1=px2+q，则pq=_答案:8解析:曲线y=x，化简为y2=x, AF=2BF根据抛物线的定义得到x1+14=2x2+14x1=2x2+14 又因为x1=px2+q，故p=2,q=14,pq=8. 故答案为8.7. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，与其准线交于点，且，则_答案:解析:如上图，过P点作准线的垂线交于H点，则，由 有，所以,解得，所以.8. 已知椭圆与抛物线有相同的焦点， 为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D
13、. 答案:A解析:椭圆， ，即，则椭圆的焦点为，不妨取焦点抛物线 ， 抛物线的焦点坐标为， 椭圆与抛物线有相同的焦点， ，即，则抛物线方程为，准线方程为， ，由抛物线的定义得： 到准线的距离为，即点的纵坐标，又点在抛物线上， ，不妨取点坐标关于准线的对称点的坐标为，则，即三点共线时，有最小值，最小值为，故选A.9. 抛物线的焦点为， 为抛物线上的点，设，若， 的面积为，则的值为_答案:3解析:， 则点横坐标为.代入求得， .解得10. 已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，点Mx0,22 (x0p2)是抛物线C上一点，以M为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线x=p2截得的弦长为3 MA，若MAAF=2，则AF=_答案:1解析:由题意，Mx0,22在抛物线上，则8=2px0，则px0=4， 由抛物线的性质可知， DM=x0-p2,MAAF=2，则MA=2AF=23MF=23x0+p2，被直线x=p2截得的弦长为3MA，则DE=32MA=33x0+p2，由MA=ME=r，在RtMDE中，DE2+DM2=ME2，即13x0+p22+x0-p22=49x0+p22，代入整理得4x02+p2=20， 由，解得x0=2,p=2，AF=13x0+p2=1，故答案为1.
